Правила сумм (квантовая теория поля)

В квантовой теории поля — правило сумм это соотношение между статической величиной и интегралом по динамической величине. Поэтому они имеют такой вид:

$\int A(x)dx=B$

где $A(x)$ - динамическая величина, например, структурная функция, характеризующая частицу, и $B$ — статическая величина, например, масса или заряд этой частицы.

Правила сумм квантовой теории поля не следует путать с правилами сумм квантовой хромодинамики или квантовой механики .

Характеристики

Существует множество правил сумм. Справедливость конкретного правила сумм может быть обоснованной, если его вывод основан на твердых предположениях или, наоборот, экспериментально показано, что некоторые правила сумм неверны из-за необоснованных предположений, сделанных при их выводе. Список правил сумм ниже иллюстрирует это.

Правила сумм обычно получаются путем объединения дисперсионного соотношения с оптической теоремой : ^[1] используя расширение произведения оператора или текущую алгебру . ^[2]

Правила сумм квантовой теории поля полезны во многих отношениях. Они позволяют проверить теорию, использованную для их вывода, например, квантовую хромодинамику , или предположение, сделанное для вывода, например, лоренц-инвариантность . Их можно использовать для изучения частицы, например, как партонов составляют спины спин протона . Их также можно использовать в качестве метода измерения. Если статическая величина $B$ трудно измерить напрямую, измеряя $A(x)$ и его интеграция предлагает практический способ получить $B$ (при условии, что конкретное правило сумм, связывающее $A(x)$ к $B$ является надежным).

Хотя в принципе $B$ является статической величиной, определение правила сумм было расширено на случай, когда $B$ — амплитуда вероятности , например, амплитуда вероятности комптоновского рассеяния , ^[1] см. список правил сумм ниже.

Список правил сумм

(Список не является исчерпывающим)

Правило сумм Адлера . ^[3] Это правило сумм связывает заряженного тока функцию протона структурную $F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x)$ (здесь, $x$ - масштабирующая переменная Бьоркена и $Q^{2}$ — квадрат модуля четырехимпульса , передаваемого между рассеивающимся нейтрино и протоном) к углу Кабиббо $\theta _{c}$ . В нем говорится, что в пределе $Q^{2}\to \infty$ , затем $\int _{0}^{1}F_{2}^{{\bar {\nu }}p}(Q^{2},x)-F_{2}^{\nu p}(Q^{2},x){\frac {dx}{x}}=2(1+\sin ^{2}\theta _{c})$ . ${\bar {\nu }}$ и $\nu$ верхние индексы указывают на то, что $F_{2}$ относится к антинейтрино-протонному или нейтрино-протонному глубоконеупругому рассеянию соответственно.
Если правило сумм . ^[4] Это неполяризованный эквивалент правила сумм GDH (см. ниже). Он связывает вероятность того, что фотон , поглощенный частицей , приводит к образованию адронов фоторождения (эта вероятность называется сечением ) с электрической и магнитной поляризуемостью поглощающей частицы. Правило сумм гласит $\int _{\nu _{0}}^{\infty }\sigma _{tot}/\nu ^{2}d\nu =4\pi ^{2}(\alpha +\beta )$ , где $\nu$ это энергия фотона, $\nu _{0}$ — минимальное значение энергии, необходимое для создания легчайшего адрона (т.е. пиона ), $\sigma _{tot}$ - поперечное сечение фотопроизводства, а $\alpha$ и $\beta$ – электрическая и магнитная поляризуемости частицы соответственно. Если предположить, что правило сумм Балдина справедливо, оно предоставляет важную информацию о наших знаниях об электрической и магнитной поляризуемости, дополняющую их прямые расчеты или измерения. (См., например, рис. 3 в статье ^[5].)
Бьёркена Правило сумм (поляризованное). ^[6]^[7] Это правило сумм представляет собой прототип КХД правила сумм спина что в масштабной области Бьоркена интеграл от спиновой структурной функции протона . В нем минус спиновая структурная функция нейтрона пропорционален аксиальному заряду нуклона говорится , . Конкретно: $\int _{0}^{1}g_{1}^{p}(x)-g_{1}^{n}(x)dx=g_{A}/6$ , где $x$ — масштабирующая переменная Бьоркена, $g_{1}^{p(n)}(x)$ – первая спиновая структурная функция протона (нейтрона), а $g_{A}$ – осевой заряд нуклона, характеризующий β-распад нейтрона . За пределами области масштабирования Бьоркена правило сумм Бьоркена получает поправки масштабирования КХД , которые известны до 5-го порядка точности . ^[2] Правило сумм было экспериментально проверено с точностью лучше 10%. ^[2]
Бьёркена Правило сумм (неполяризованное). ^[8] Правило сумм в ведущем порядке в пертурбативной КХД : $\int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})dx=\int _{0}^{1}F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2})-F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})dx=1-{\frac {2}{3}}{\frac {\alpha _{s}(Q^{2})}{\pi }},$ где $F_{1}^{p\nu }(x,Q^{2}),~F_{1}^{p{\bar {\nu }}}(x,Q^{2})$ и $F_{1}^{n\nu }(x,Q^{2})$ – первые структурные функции для протон - нейтрино , протон-антинейтрино и нейтрон -нейтрино реакций глубоконеупругого рассеяния , $Q^{2}$ - квадрат 4-импульса, которым обменялись нуклон и (анти)нейтрино в реакции, и $\alpha _{s}$ КХД является связью .
Правило сумм Буркхардта–Коттингема . ^[9] Правило сумм было проверено экспериментально. ^[2] Правило сумм является «сверхсходящимся», что означает, что его форма не зависит от $Q^{2}$ . Правило сумм: $\int _{0}^{1}g_{2}(x,Q^{2})dx=0,~\forall ~Q^{2}$ где $g_{2}(x,Q^{2})$ – вторая спиновая структурная функция исследуемого объекта.
$\delta _{LT}$ правило сумм. ^[10]
Efremov–Teryaev–Leader sum rule . ^[11]
Правило сумм Эллиса–Джаффе . ^[12] Экспериментально было показано, что правило сумм не выполняется. ^[2] предполагая, что странный спин кварка вносит существенный вклад в спин протона . Правило сумм Эллиса-Джаффе представляет собой пример того, как нарушение правила сумм учит нас фундаментальному свойству материи (в данном случае, происхождению спина протона).
Правило сумм прямой спиновой поляризуемости . ^[10]
Правило сумм Фубини–Фурлана–Россетти . ^[13]
Герасимова– Дрелла Правило сумм –Хирна (GDH, иногда правило сумм DHG). ^[14]^[15]^[16] Это поляризованный эквивалент правила сумм Балдина (см. выше). Правило сумм: $\int _{\nu _{0}}^{\infty }(2\sigma _{TT})/(\nu )d\nu =-4\pi ^{2}\alpha \kappa ^{2}S/m_{t}^{2}$ , где $\nu _{0}$ - минимальная энергия, необходимая для образования пиона после поглощения фотона целевой частицей, $\sigma _{TT}$ - это разница между сечениями поглощения фотонов, когда спин фотонов ориентирован или противоположен целевому спину, $\nu$ это энергия фотона, $\alpha$ – константа тонкой структуры , а $\kappa$ , $S$ и $m_{t}$ – аномальный магнитный момент , спиновое квантовое число и масса целевой частицы соответственно. Вывод правила сумм ГДГ предполагает, что теория, которая определяет структуру целевой частицы (например, КХД для нуклона или ядра ), является причинной (то есть можно использовать дисперсионные соотношения или, что то же самое, для ГДГ, соотношения Крамерса-Кронига). ), унитарный и лоренц- и калибровочный инвариант . Эти три предположения являются основными предпосылками квантовой теории поля . Таким образом, проверка правила сумм GDH проверяет эти фундаментальные предпосылки. Правило сумм ГДГ проверено экспериментально (с точностью до 10%). ^[2]
Обобщенное правило сумм GDH . Было предложено несколько обобщенных версий правила сумм GDH. ^[2] Первый и наиболее распространенный из них: $\int _{0}^{1}g_{1}(x,Q^{2})dx=Q^{2}S_{1}(0,Q^{2})/8$ , где $g_{1}$ – первая спиновая структурная функция целевой частицы, $x$ — масштабирующая переменная Бьоркена, $Q^{2}$ - это виртуальность фотона или, что эквивалентно, квадрат абсолютного значения четырехимпульса , передаваемого между частицей луча, создавшей виртуальный фотон, и целевой частицей, и $S_{1}(\nu ,Q^{2})$ – первая прямая виртуальная амплитуда комптоновского рассеяния . Можно возразить, что называть это отношение правилом сумм некорректно, поскольку $S_{1}(\nu ,Q^{2})$ не является статическим свойством целевой частицы и не является непосредственно измеримой наблюдаемой величиной . Тем не менее, правило суммы номиналов широко используется.
Правило сумм Готфрида . ^[17]
Правило сумм Гросса–Ллевеллина Смита . ^[18] В нем говорится, что в масштабной области Бьоркена интеграл от $F_{3}(x)$ Структурная функция нуклона составляющих равна числу валентных кварков, нуклон, т. е. равна 3. А именно: $\int _{0}^{1}F_{3}(x)dx=3$ . За пределами области масштабирования Бьоркена правило сумм Гросса – Ллевеллина Смита приобретает поправки к масштабированию КХД , которые идентичны поправкам правила сумм Бьоркена.
Правило суммы импульса : ^[19] Он утверждает, что сумма долей импульса $x$ всех партонов ( кварков , антикварков и глюонов внутри адрона равно 1.
Правило Джи-Суммы : связывает интеграл от обобщенных распределений партонов с угловым моментом, переносимым кварками или глюонами . ^[20]
Правило суммы масс протонов : ^[21]^[22] Он разлагает массу протона на четыре члена: энергию кварка , массу кварка, энергию глюона и квантовую аномальную энергию , причем каждый из этих членов представляет собой интеграл по трехмерному координатному пространству.
Швингера Правило сумм . ^[23]
Вандзуры– Вильчека Правило сумм . ^[24]