Закон котангенсов

Треугольник, показывающий «вписанную окружность» и разделение сторон. Биссектрисы встречаются в центре вписанной окружности .

Согласно приведенным выше рассуждениям, все шесть частей являются такими, как показано.

В тригонометрии закон котангенсов представляет собой соотношение длин сторон треугольника и котангенсов половин трех углов. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Подобно тому, как три величины, равенство которых выражается законом синусов, равны диаметру описанной окружности треугольника (или обратной ему величине, в зависимости от того, как выражается закон), так и закон котангенсов связывает радиус вписанная окружность треугольника . ( внутренний радиус ) с его сторонами и углами

Заявление

Используя обычные обозначения треугольника (см. рисунок вверху справа), где $a, b, c$ — длины трех сторон, $A, B, C$ — вершины, противоположные этим трем соответствующим сторонам, $α, β, γ.$ — соответствующие углы при этих вершинах, $s$ — полупериметр , то есть $s = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ a + b + c / 2 ⁠$ , а $r$ — радиус вписанной окружности, закон котангенсов гласит, что ${\frac {\cot {\frac {1}{2}}\alpha }{s-a}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\beta }{s-b}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\gamma }{s-c}}={\frac {1}{r}},$

и, кроме того, что внутренний радиус определяется выражением $r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.$

Доказательство

На верхнем рисунке точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника разбивают периметр на 6 отрезков, по 3 пары. В каждой паре отрезки имеют одинаковую длину. Например, два сегмента, смежные с вершиной $А$ , равны. Если мы выберем по одному сегменту из каждой пары, их сумма будет полупериметром $s$ . Примером этого являются сегменты, показанные цветом на рисунке. Два сегмента, составляющие красную линию, в сумме дают $a$ , поэтому синий сегмент должен иметь длину $s - a$ . Очевидно, что остальные пять сегментов также должны иметь длину $s - a$ , $s - b$ или $s - c$ , как показано на нижнем рисунке.

Рассматривая рисунок и используя определение котангенса, мы имеем $\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{r}}\,$ и аналогично для двух других углов, доказывая первое утверждение.

Для второй формулы — формулы внутреннего радиуса — мы начинаем с общей формулы сложения : $\cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.$

Подача заявки на $\cot \left({\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta +{\tfrac {1}{2}}\gamma \right)=\cot {\tfrac {\pi }{2}}=0,$ мы получаем:

$\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}.$ (Это также тройное тождество котангенса .)

Подставив значения, полученные в первой части, получим: ${\begin{aligned}{\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}&={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\\[2pt]&={\frac {3s-2s}{r}}\\[2pt]&={\frac {s}{r}}\end{aligned}}$ Умножение на $⁠ r 3 / s ⁠$ дает значение $r 2$ , доказывая второе утверждение.

Некоторые доказательства с использованием закона котангенсов

Ряд других результатов можно получить из закона котангенсов.

Формула Герона . Обратите внимание, что площадь треугольника $ABC$ также разделена на 6 меньших треугольников, также на 3 пары, причем треугольники в каждой паре имеют одинаковую площадь. Например, два треугольника около вершины $A$ , являющиеся прямоугольными треугольниками ширины $s - a$ и высоты $r$ , имеют площадь каждый $⁠ 1 / 2 ⁠ р (s - а)$ . Таким образом, эти два треугольника вместе имеют площадь $r (s - a)$ , и поэтому площадь $S$ всего треугольника равна

${\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}\\&=r(3s-2s)\\&=rs\end{aligned}}$ Это дает результат $S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ по мере необходимости.

Первая формула Молвейде . Из формулы сложения и закона котангенсов имеем

${\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}={\frac {\cot {\frac {1}{2}}\beta -\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\cot {\frac {1}{2}}\beta +\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.$ Это дает результат ${\frac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\frac {1}{2}}\gamma }}$ по мере необходимости.

Вторая формула Молвейде . Из формулы сложения и закона котангенсов имеем

${\begin{aligned}{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}&={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cot {\tfrac {1}{2}}\beta +1}{\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cot {\tfrac {1}{2}}\beta -1}}\\[4pt]&={\frac {\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha +\cot {\tfrac {1}{2}}\beta +2\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma }{\cot {\tfrac {1}{2}}\alpha +\cot {\tfrac {1}{2}}\beta }}\\[4pt]&={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}$

Здесь требуется дополнительный шаг для преобразования произведения в сумму в соответствии с формулой сумма/произведение.

Это дает результат

${\frac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\sin {\tfrac {1}{2}}\gamma }}$ по мере необходимости.

Сильвестр 2001 Из этого также можно вывести закон касательных ( , стр. 99).

Другие тождества, называемые «законом котангенсов».

Закон котангенсов не так распространен и хорошо известен, как законы синусов , косинусов или тангенсов , поэтому то же название иногда применяется к другим тождествам треугольников, включающим котангенсы. Например:

Сумма котангенсов двух углов равна отношению стороны между ними к высоте, проходящей через третью вершину: ^{[ 3 ]}

\cot \alpha +\cot \beta ={\frac {c}{h_{c}}}.

Закон косинусов можно выразить через котангенс вместо косинуса, что приводит к увеличению площади треугольника. $S$ в личность: ^{[ 4 ]}

c^{2}=a^{2}+b^{2}-4S\cot \gamma .

Так как сумма трёх углов треугольника равна $\pi ,$ сумма попарных произведений их котангенсов равна единице: ^{[ 5 ]}

\cot \alpha \,\cot \beta +\cot \alpha \,\cot \gamma +\cot \beta \,\cot \gamma =1.

См. также

Ссылки

^ Универсальная энциклопедия математики, Pan Reference Books, 1976, стр. 530. Английская версия Джордж Аллен и Анвин, 1964. Перевод с немецкой версии Meyers Rechenduden, 1960.
^ Это называется «теоремой котангенсов». Аполинар, Эфраин (2023). Иллюстрированный глоссарий по школьной математике . стр. 260–261. ISBN 9786072941311 .
^ Джилли, Анджело К. (1959). «F-10c. Закон котангенса». Транзисторы . Прентис-Холл. стр. 266–267.
^ Ненков В.; Святой Стефанов, Х.; Велчев, А. Теоремы косинуса и котангенса для четырехугольника, две новые формулы его площади и их приложения (PDF) (препринт).
^ Шереметьев И.А. (2001). «Диофантовы законы для сетей высшей симметрии» (PDF) . Кристаллографические отчеты . 46 (2): 161–166.

Сильвестр, Джон Р. (2001). Геометрия: древняя и современная . Издательство Оксфордского университета. п. 313. ИСБН 9780198508250 .

[1] Универсальная энциклопедия математики, Pan Reference Books, 1976, стр. 530. Английская версия Джордж Аллен и Анвин, 1964. Перевод с немецкой версии Meyers Rechenduden, 1960.

[2] Это называется «теоремой котангенсов». Аполинар, Эфраин (2023). Иллюстрированный глоссарий по школьной математике . стр. 260–261. ISBN 9786072941311 .

[3] Джилли, Анджело К. (1959). «F-10c. Закон котангенса». Транзисторы . Прентис-Холл. стр. 266–267.

[4] Ненков В.; Святой Стефанов, Х.; Велчев, А. Теоремы косинуса и котангенса для четырехугольника, две новые формулы его площади и их приложения (PDF) (препринт).

[5] Шереметьев И.А. (2001). «Диофантовы законы для сетей высшей симметрии» (PDF) . Кристаллографические отчеты . 46 (2): 161–166.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]