Теорема о двойном пузыре

В математической теории минимальных поверхностей теорема о двойном пузыре утверждает, что форма, которая охватывает и разделяет два заданных объема и имеет минимально возможную площадь поверхности , представляет собой стандартный двойной пузырь : три сферические поверхности, встречающиеся под углами 120 ° на общем круге. Теорема о двойном пузыре была сформулирована и считалась верной в 19 веке, а к 1989 году стала «серьезным предметом исследований». ^[1] но не было доказано до 2002 года.

Доказательство объединяет несколько ингредиентов. Компактность ( выпрямляемых токов обобщенное определение поверхностей) показывает, что решение существует. Аргумент симметрии доказывает, что решение должно быть поверхностью вращения , и оно может быть дополнительно ограничено наличием ограниченного числа гладких частей. проведенное Джин Тейлор, Доказательство законов Плато, описывает, как эти части должны иметь форму и соединяться друг с другом, а окончательный анализ случая показывает, что среди поверхностей вращения, связанных таким образом, только стандартный двойной пузырь имеет локально-минимальную площадь.

Теорема о двойном пузыре расширяет изопериметрическое неравенство , согласно которому оболочка любой площади с минимальным периметром представляет собой круг , а оболочка любого отдельного объёма с минимальной площадью поверхности — сферу . Аналогичные результаты об оптимальном вложении двух объемов обобщаются на взвешенные формы поверхностной энергии, на гауссову меру поверхностей и на евклидовы пространства любой размерности.

Заявление

Согласно изопериметрическому неравенству , оболочка любой площади с минимальным периметром представляет собой круг , а оболочка с минимальной площадью поверхности любого отдельного объёма — сферу . Существование формы с ограниченной площадью поверхности, заключающей в себе два объема, очевидно: достаточно заключить их в две отдельные сферы. Менее очевидно, что должна существовать некая форма, заключающая в себе два объема и имеющая минимально возможную площадь поверхности: вместо этого может случиться так, что последовательность фигур сходится к минимуму (или к нулю), не достигая его. Эта проблема также поднимает сложные вопросы определений: что подразумевается под формой, площадью поверхности формы и объемом, который она включает, когда такие вещи могут быть негладкими или даже фрактальными ? Тем не менее, можно строго сформулировать задачу об оптимальных оболочках, используя теорию выпрямляемых токов , и доказать, используя компактность в пространстве выпрямляемых токов, что каждые два объема имеют оболочку минимальной площади. ^[2]

Законы Плато гласят, что любая кусочно-гладкая форма минимальной площади, охватывающая любой объем или набор объемов, должна принимать форму, обычно наблюдаемую в мыльных пузырях , в которых поверхности постоянной средней кривизны встречаются по три, образуя двугранные углы 120 ° ( $2\pi /3$ радианы ). ^[2] В стандартном двойном пузыре три участка сфер встречаются под этим углом вдоль общего круга. Две из этих сферических поверхностей образуют внешнюю границу двойного пузыря, а третья внутренняя отделяет два объема друг от друга. В физических пузырьках радиусы сфер обратно пропорциональны разностям давлений между объемами, которые они разделяют, согласно уравнению Юнга-Лапласа . ^[3] Эта связь между давлением и радиусом математически отражается в том факте, что для любого стандартного двойного пузыря три радиуса $r_{1}$ , $r_{2}$ , и $r_{3}$ трех сферических поверхностей подчиняются уравнению ${\frac {1}{r_{1}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}},$ где $r_{1}$ — меньший радиус двух внешних пузырьков. ^[4] В особом случае, когда два объема и два внешних радиуса равны, вычисление среднего радиуса по этой формуле приводит к делению на ноль . В этом случае средняя поверхность представляет собой плоский диск , который можно интерпретировать как участок сферы бесконечного радиуса. Теорема о двойном пузыре утверждает, что для любых двух объемов стандартный двойной пузырь представляет собой форму минимальной площади, которая их окружает; никакой другой набор поверхностей не охватывает такого же объема пространства с меньшей общей площадью. ^[1]

Аналогично, в евклидовой плоскости минимальный периметр системы кривых, охватывающих две заданные области, образован тремя дугами окружностей с одинаковым соотношением между их радиусами, встречающимися под одним и тем же углом 120°. Для двух равных площадей средняя дуга вырождается в отрезок прямой. ^[5] Трехмерный стандартный двойной пузырь можно рассматривать как поверхность вращения этого двумерного двойного пузыря. ^[6] В любом более высоком измерении оптимальная оболочка для двух объемов снова формируется тремя участками гиперсфер , встречающимися под одним и тем же углом 120°. ^[1]^[7]

История

Трехмерное изопериметрическое неравенство , согласно которому сфера имеет минимальную площадь поверхности для своего объема, было сформулировано Архимедом , но не доказано строго до 19 века Германом Шварцем . В 19 веке Джозеф Плато изучал двойной пузырь, и истинность теоремы о двойном пузыре была предположена без доказательства К. В. Бойсом в издании 1912 года его книги о мыльных пузырях. ^[8]^[4] Плато сформулировал законы Плато , описывающие форму и связи между гладкими частями поверхностей в сложных мыльных пузырях; для корпусов минимального объема это было математически доказано Джин Тейлор в 1976 году. ^[9]

К 1989 году проблема двойного пузыря стала «серьезным предметом исследований». ^[1] В 1991 году Джоэл Фуази, студент колледжа Уильямс , возглавил группу студентов, доказавших двумерный аналог гипотезы о двойном пузыре. ^[5]^[8] В своей дипломной работе Фуази был первым, кто точно сформулировал гипотезу трехмерного двойного пузыря, но не смог ее доказать. ^[10]

Доказательство ограниченного случая гипотезы о двойном пузыре для двух равных объемов было анонсировано Джоэлом Хассом и Роджером Шлафли в 1995 году и опубликовано в 2000 году. ^[11]^[12] Доказательство полной гипотезы Хатчингса , Моргана , Риторе и Рос было объявлено в 2000 году и опубликовано в 2002 году. ^[6]^[10]^[13] После более ранних работ над четырехмерным случаем ^[14] полное обобщение на более высокие измерения было опубликовано Райхардтом в 2008 году. ^[7] а в 2014 году Лоулор опубликовал альтернативное доказательство теоремы о двойном пузыре, обобщающее как на более высокие измерения, так и на взвешенные формы поверхностной энергии. ^[1] варианты задачи с учетом других мер размера охватывающей поверхности, таких как ее гауссова мера . Также изучались ^[15]

Доказательство

Лемма Брайана Уайта показывает, что двойной пузырь минимальной площади должен быть поверхностью вращения . В противном случае можно было бы использовать аргумент, аналогичный теореме о сэндвиче с ветчиной, чтобы найти две ортогональные плоскости, которые делят оба объема пополам, заменить поверхности в двух из четырех квадрантов отражениями поверхностей в других квадрантах, а затем сгладить особенности. в плоскостях отражения, уменьшая общую площадь. ^[8] Основываясь на этой лемме, Майкл Хатчингс смог ограничить возможные формы нестандартных оптимальных двойных пузырей, состоящих из слоев тороидальных трубок. ^[16]

Кроме того, Хатчингс показал, что количество тороидов в нестандартном, но минимизирующем двойном пузыре может быть ограничено функцией двух объемов. В частности, для двух равных объемов единственно возможный нестандартный двойной пузырь состоит из одного центрального пузыря с одним тороидом вокруг его экватора. Основываясь на таком упрощении задачи, Джоэл Хасс и Роджер Шлафли смогли свести доказательство этого случая гипотезы о двойном пузыре к большому компьютеризированному анализу случая , занявшему 20 минут на персональном компьютере 1995 года. ^[8]^[12] Окончательное доказательство гипотезы о полном двойном пузыре также использует метод Хатчингса, чтобы свести проблему к анализу конечного случая, но он избегает использования компьютерных вычислений и вместо этого работает, показывая, что все возможные нестандартные двойные пузыри неустойчивы: они могут быть возмущается на сколь угодно малые величины, образуя другую поверхность меньшей площади. Возмущения, необходимые для доказательства этого результата, представляют собой тщательно выбранный набор вращений. Поскольку поверхность минимальной площади существует, и ни одна из других поверхностей-кандидатов не имеет минимальной площади, поверхность минимальной площади может быть только стандартным двойным пузырем. ^[8]^[2]

Связанные проблемы

Джон М. Салливан предположил, что для любого измерения $d$ , минимальный корпус до $d+1$ обязательно равные) имеют вид стереографической проекции симплекса объемы ( не . ^[17] В частности, в этом случае все границы между пузырьками будут представлять собой участки сфер. Доказан частный случай этой гипотезы для трех пузырей в двух измерениях; в этом случае три пузыря образованы шестью дугами окружностей и сегментами прямых линий, встречающимися по той же комбинаторной схеме, что и ребра тетраэдра . ^[18] Фрэнк Морган назвал даже случай трех томов в трех измерениях «недоступным». ^[19] но в 2022 году было объявлено о доказательстве трехобъемного случая во всех измерениях и дополнительных частных результатов в более высоких измерениях. ^[20]^[21] Численные эксперименты показали, что для шести и более объемов в трех измерениях некоторые границы между пузырьками могут быть несферическими. ^[17]

Для бесконечного числа равных площадей на плоскости набор кривых минимальной длины, разделяющих эти области, представляет собой шестиугольную мозаику , знакомую по ее использованию пчелами для формирования сот , и ее оптимальность ( гипотеза о сотах ) была доказана Т. К. Хейлсом в 2001. ^[22] Для той же трехмерной задачи оптимальное решение неизвестно; Лорд Кельвин предположил, что оно представляет собой структуру, комбинаторно эквивалентную усеченным кубическим сотам , но эта гипотеза была опровергнута открытием структуры Вейра-Фелана , разделения пространства на ячейки одинакового объема двух разных форм с использованием меньшего среднего количества площади поверхности на ячейку. ^[23]

Исследователи также изучили динамику физических процессов, посредством которых пары пузырьков сливаются в двойной пузырь. ^[24]^[25] Эта тема относится к более общей теме дифференциальной геометрии динамического поведения кривых и поверхностей при различных процессах, которые непрерывно их меняют. Например, поток, сокращающий кривую, — это процесс, при котором кривые в плоскости движутся со скоростью, пропорциональной их кривизне . Для двух бесконечных областей, разделенных линией, с третьей конечной областью между ними, поток, сокращающий кривую на их границах (перемасштабированный для сохранения площади конечной области), сходится к предельной форме в виде вырожденного двойного пузыря: vesica piscis вдоль линии между двумя неограниченными областями. ^[26]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Лоулор, Гэри Р. (2014), «Двойные пузырьки для несмешивающихся жидкостей в $\mathbb {R} ^{n}$ ", Журнал геометрического анализа , 24 (1): 190–204, doi : 10.1007/s12220-012-9333-1 , MR 3145921 , S2CID 123103065
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Морган, Фрэнк (2016), Геометрическая теория меры: руководство для начинающих (5-е изд.), Academic Press, ISBN 978-0-12-804527-5 ; особенно см. главу 13: Скопления мыльных пузырей, стр. 121–142, и главу 14: Доказательство гипотезы о двойном пузыре, стр. 143–158.
^ Айзенберг, Сирил (1978), «Глава 5. Уравнение Лапласа-Янга», «Наука о мыльных пленках и мыльных пузырях» , Tieto Ltd, стр. 107–136 ; переиздание, Dover Books, 1992, ISBN 0-486-26960-4
^ Перейти обратно: ^а ^б Мальчики, CV (1912), «Композитные пузыри» , Мыльные пузыри, их цвета и силы, которые их формируют , Общество распространения христианских знаний, стр. 120–127.
^ Перейти обратно: ^а ^б Фуази, Джоэл; Альфаро Гарсия, Мануэль; Брок, Джеффри Фарлоу; Ходжес, Никелас; Зимба, Джейсон (1993), «Стандартный двойной мыльный пузырь в $\mathbb {R} ^{2}$ однозначно минимизирует периметр», Pacific Journal of Mathematics , 159 (1): 47–59, doi : 10.2140/pjm.1993.159.47 , MR 1211384
^ Перейти обратно: ^а ^б Хатчингс, Майкл ; Морган, Фрэнк ; Риторе, Мануэль; Рос, Антонио (2002), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 155 (2): 459–489, arXiv : math/0406017 , doi : 10.2307/3062123 , JSTOR 3062123 , MR 1906593
^ Перейти обратно: ^а ^б Райхардт, Бен В. (2008), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре в $\mathbb {R} ^{n}$ ", Журнал геометрического анализа , 18 (1): 172–191, arXiv : 0705.1601 , doi : 10.1007/s12220-007-9002-y , MR 2365672 , S2CID 17368958
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Морган, Фрэнк (2004), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре», в книге Хардт, Роберт (редактор), « Шесть тем вариаций» , Студенческая математическая библиотека, том. 26, Американское математическое общество, стр. 59–77, doi : 10.1090/stml/026/04 , hdl : 10481/32449 , ISBN 978-0-8218-3720-7 , МР 2108996 ; исправленная версия статьи, первоначально опубликованной в American Mathematical Monthly (2001), doi : 10.1080/00029890.2001.11919741 , JSTOR 2695380 , MR 1834699
^ Тейлор, Джин Э. (1976), «Структура особенностей на минимальных поверхностях, подобных мыльному пузырю и мыльной пленке», Annals of Mathematics , 2nd Series, 103 (3): 489–539, doi : 10.2307/ 1970949 , JSTOR 1970949 , MR 0428181
^ Перейти обратно: ^а ^б Девлин, Кейт (22 марта 2000 г.), «Раздувание репутации пузыря: четыре математика только что разрешили давнюю загадку, возникающую из-за мыльной воды» , The Guardian
^ Петерсон, Иварс (12 августа 1995 г.), «Труд и проблемы из-за двойных пузырей» (PDF) , Science News , 148 (7): 101–102, doi : 10.2307/3979333 , JSTOR 3979333
^ Перейти обратно: ^а ^б Хасс, Джоэл ; Шлафли, Роджер (2000), «Минимизация двойных пузырей», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 151 (2): 459–515, arXiv : math/0003157 , Bibcode : 2000math......3157H , doi : 10.2307 /121042 , JSTOR 121042 , MR 1765704 , S2CID 15663910 ; ранее объявлено в Electronic Research Announcements Американского математического общества , 1995 г., дои : 10.1090/S1079-6762-95-03001-0
^ Ципра, Барри А. (17 марта 2000 г.), «Математика: почему двойные пузыри формируются именно так» , Science , 287 (5460): 1910–1912, doi : 10.1126/science.287.5460.1910a , S2CID 118692796
^ Райхардт, Бен В.; Хейльманн, Кори; Лай, Юань Ю.; Спилман, Анита (2003), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре в $\mathbb {R} ^{4}$ и некоторые случаи более высокой размерности», Pacific Journal of Mathematics , 208 (2): 347–366, doi : 10.2140/pjm.2003.208.347 , MR 1971669
^ Милман, Эмануэль; Ниман, Джо (2022), «Гауссовы гипотезы о двойном и нескольких пузырях», Annals of Mathematics , Second Series, 195 (1): 89–206, arXiv : 1805.10961 , doi : 10.4007/annals.2022.195.1.2 , МР 4358414 , S2CID 238418971
^ Хатчингс, Майкл (1997), «Структура двойных пузырей, минимизирующих площадь», Journal of Geometric Analysis , 7 (2): 285–304, doi : 10.1007/BF02921724 , MR 1646776 , S2CID 119889158
^ Перейти обратно: ^а ^б Салливан, Джон М. (1999), «Геометрия пузырей и пен», в Садоке, Жан-Франсуа; Ривье, Николя (ред.), Пены и эмульсии: Учеб. Институт перспективных исследований НАТО. «Пены и эмульсии, эмульсии и пористые материалы», Каржез, Корсика, 12–24 мая 1997 г. , НАТО Adv. наук. Инст. Сер. E Прил. наук, том. 354, Дордрехт: Клювер Акад. Публикация, стр. 379–402, номер документа : 10.1007/978-94-015-9157-7_23 , ISBN. 978-90-481-5180-6 , МР 1688327
^ Вичирамала, Вачарин (2004), «Доказательство гипотезы о плоском тройном пузыре», Журнал чистой и прикладной математики , 2004 (567): 1–49, doi : 10.1515/crll.2004.011 , MR 2038304
^ Морган (2016) , с. 157 .
^ Морган, Фрэнк (11 июня 2022 г.), «Пост Милмана и Нимана Доказательство гипотез о тройном и четверном пузыре в $R Н$ и $С Н$ » , Ассоциация математических исследований , получено 27 июня 2022 г.
^ Милман, Эмануэль; Ниман, Джо (2022), Структура изопериметрических пузырьков на $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {S} ^{n}$ , arXiv : 2205.09102
^ Хейлз, Томас К. (2001), «Гипотеза о сотах», Дискретная и вычислительная геометрия , 25 (1): 1–22, arXiv : math.MG/9906042 , doi : 10.1007/s004540010071 , MR 1797293 , S2CID 14849112
^ Вейре, Денис ; Фелан, Роберт (1994), «Контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Philosophical Magazine Letters , 69 (2): 107–110, Бибкод : 1994PMagL..69..107W , doi : 10.1080/09500839408241577
^ Бессон, С.; Дебрегеас, Г. (октябрь 2007 г.), «Статика и динамика адгезии между двумя мыльными пузырями» (PDF) , The European Physical Journal E , 24 (2): 109–117, Bibcode : 2007EPJE...24..109B , doi : 10.1140/epje/i2007-10219-y , PMID 17955165 , S2CID 13054565
^ Джурикович, Роман (2001), «Анимация динамики мыльных пузырей, образование и столкновение кластеров», Comput. График. Форум , 20 (3): 67–76, doi : 10.1111/1467-8659.00499 , S2CID 195903208
^ Беллеттини, Джованни; Новага, Маттео (2011), «Эволюция кривизны невыпуклых областей в форме линз», Журнал чистой и прикладной математики , 2011 (656): 17–46, arXiv : 0906.0166 , doi : 10.1515/CRELLE.2011.041 , MR 2818854 , S2CID 14158286

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Двойной пузырь» , MathWorld

[lawlor-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Лоулор, Гэри Р. (2014), «Двойные пузырьки для несмешивающихся жидкостей в $\mathbb {R} ^{n}$ ", Журнал геометрического анализа , 24 (1): 190–204, doi : 10.1007/s12220-012-9333-1 , MR 3145921 , S2CID 123103065

[gmt-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Морган, Фрэнк (2016), Геометрическая теория меры: руководство для начинающих (5-е изд.), Academic Press, ISBN 978-0-12-804527-5 ; особенно см. главу 13: Скопления мыльных пузырей, стр. 121–142, и главу 14: Доказательство гипотезы о двойном пузыре, стр. 143–158.

[isenberg-3] Айзенберг, Сирил (1978), «Глава 5. Уравнение Лапласа-Янга», «Наука о мыльных пленках и мыльных пузырях» , Tieto Ltd, стр. 107–136 ; переиздание, Dover Books, 1992, ISBN 0-486-26960-4

[boys-4] Перейти обратно: ^а ^б Мальчики, CV (1912), «Композитные пузыри» , Мыльные пузыри, их цвета и силы, которые их формируют , Общество распространения христианских знаний, стр. 120–127.

[abfhz93-5] Перейти обратно: ^а ^б Фуази, Джоэл; Альфаро Гарсия, Мануэль; Брок, Джеффри Фарлоу; Ходжес, Никелас; Зимба, Джейсон (1993), «Стандартный двойной мыльный пузырь в $\mathbb {R} ^{2}$ однозначно минимизирует периметр», Pacific Journal of Mathematics , 159 (1): 47–59, doi : 10.2140/pjm.1993.159.47 , MR 1211384

[hmrr02-6] Перейти обратно: ^а ^б Хатчингс, Майкл ; Морган, Фрэнк ; Риторе, Мануэль; Рос, Антонио (2002), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 155 (2): 459–489, arXiv : math/0406017 , doi : 10.2307/3062123 , JSTOR 3062123 , MR 1906593

[reichardt-7] Перейти обратно: ^а ^б Райхардт, Бен В. (2008), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре в $\mathbb {R} ^{n}$ ", Журнал геометрического анализа , 18 (1): 172–191, arXiv : 0705.1601 , doi : 10.1007/s12220-007-9002-y , MR 2365672 , S2CID 17368958

[m04-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Морган, Фрэнк (2004), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре», в книге Хардт, Роберт (редактор), « Шесть тем вариаций» , Студенческая математическая библиотека, том. 26, Американское математическое общество, стр. 59–77, doi : 10.1090/stml/026/04 , hdl : 10481/32449 , ISBN 978-0-8218-3720-7 , МР 2108996 ; исправленная версия статьи, первоначально опубликованной в American Mathematical Monthly (2001), doi : 10.1080/00029890.2001.11919741 , JSTOR 2695380 , MR 1834699

[taylor-9] Тейлор, Джин Э. (1976), «Структура особенностей на минимальных поверхностях, подобных мыльному пузырю и мыльной пленке», Annals of Mathematics , 2nd Series, 103 (3): 489–539, doi : 10.2307/ 1970949 , JSTOR 1970949 , MR 0428181

[guardian-10] Перейти обратно: ^а ^б Девлин, Кейт (22 марта 2000 г.), «Раздувание репутации пузыря: четыре математика только что разрешили давнюю загадку, возникающую из-за мыльной воды» , The Guardian

[scinews-11] Петерсон, Иварс (12 августа 1995 г.), «Труд и проблемы из-за двойных пузырей» (PDF) , Science News , 148 (7): 101–102, doi : 10.2307/3979333 , JSTOR 3979333

[hs00-12] Перейти обратно: ^а ^б Хасс, Джоэл ; Шлафли, Роджер (2000), «Минимизация двойных пузырей», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 151 (2): 459–515, arXiv : math/0003157 , Bibcode : 2000math......3157H , doi : 10.2307 /121042 , JSTOR 121042 , MR 1765704 , S2CID 15663910 ; ранее объявлено в Electronic Research Announcements Американского математического общества , 1995 г., дои : 10.1090/S1079-6762-95-03001-0

[cipra-13] Ципра, Барри А. (17 марта 2000 г.), «Математика: почему двойные пузыри формируются именно так» , Science , 287 (5460): 1910–1912, doi : 10.1126/science.287.5460.1910a , S2CID 118692796

[4d-14] Райхардт, Бен В.; Хейльманн, Кори; Лай, Юань Ю.; Спилман, Анита (2003), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре в $\mathbb {R} ^{4}$ и некоторые случаи более высокой размерности», Pacific Journal of Mathematics , 208 (2): 347–366, doi : 10.2140/pjm.2003.208.347 , MR 1971669

[gaussian-15] Милман, Эмануэль; Ниман, Джо (2022), «Гауссовы гипотезы о двойном и нескольких пузырях», Annals of Mathematics , Second Series, 195 (1): 89–206, arXiv : 1805.10961 , doi : 10.4007/annals.2022.195.1.2 , МР 4358414 , S2CID 238418971

[hutchings-16] Хатчингс, Майкл (1997), «Структура двойных пузырей, минимизирующих площадь», Journal of Geometric Analysis , 7 (2): 285–304, doi : 10.1007/BF02921724 , MR 1646776 , S2CID 119889158

[s99-17] Перейти обратно: ^а ^б Салливан, Джон М. (1999), «Геометрия пузырей и пен», в Садоке, Жан-Франсуа; Ривье, Николя (ред.), Пены и эмульсии: Учеб. Институт перспективных исследований НАТО. «Пены и эмульсии, эмульсии и пористые материалы», Каржез, Корсика, 12–24 мая 1997 г. , НАТО Adv. наук. Инст. Сер. E Прил. наук, том. 354, Дордрехт: Клювер Акад. Публикация, стр. 379–402, номер документа : 10.1007/978-94-015-9157-7_23 , ISBN. 978-90-481-5180-6 , МР 1688327

[wichiramala-18] Вичирамала, Вачарин (2004), «Доказательство гипотезы о плоском тройном пузыре», Журнал чистой и прикладной математики , 2004 (567): 1–49, doi : 10.1515/crll.2004.011 , MR 2038304

[FOOTNOTEMorgan2016[httpsbooksgooglecombooksidWH41CwAAQBAJpgPA157_157]-19] Морган (2016) , с. 157 .

[morgan-amr-20] Морган, Фрэнк (11 июня 2022 г.), «Пост Милмана и Нимана Доказательство гипотез о тройном и четверном пузыре в $R Н$ и $С Н$ » , Ассоциация математических исследований , получено 27 июня 2022 г.

[mn22-21] Милман, Эмануэль; Ниман, Джо (2022), Структура изопериметрических пузырьков на $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {S} ^{n}$ , arXiv : 2205.09102

[hales-22] Хейлз, Томас К. (2001), «Гипотеза о сотах», Дискретная и вычислительная геометрия , 25 (1): 1–22, arXiv : math.MG/9906042 , doi : 10.1007/s004540010071 , MR 1797293 , S2CID 14849112

[wp-23] Вейре, Денис ; Фелан, Роберт (1994), «Контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях», Philosophical Magazine Letters , 69 (2): 107–110, Бибкод : 1994PMagL..69..107W , doi : 10.1080/09500839408241577

[besdeb-24] Бессон, С.; Дебрегеас, Г. (октябрь 2007 г.), «Статика и динамика адгезии между двумя мыльными пузырями» (PDF) , The European Physical Journal E , 24 (2): 109–117, Bibcode : 2007EPJE...24..109B , doi : 10.1140/epje/i2007-10219-y , PMID 17955165 , S2CID 13054565

[durik-25] Джурикович, Роман (2001), «Анимация динамики мыльных пузырей, образование и столкновение кластеров», Comput. График. Форум , 20 (3): 67–76, doi : 10.1111/1467-8659.00499 , S2CID 195903208

[belnov-26] Беллеттини, Джованни; Новага, Маттео (2011), «Эволюция кривизны невыпуклых областей в форме линз», Журнал чистой и прикладной математики , 2011 (656): 17–46, arXiv : 0906.0166 , doi : 10.1515/CRELLE.2011.041 , MR 2818854 , S2CID 14158286

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]