Эллиптические цилиндрические координаты

Координатные поверхности эллиптических цилиндрических координат. Желтый лист представляет собой призму полугиперболы, соответствующую ν=-45°, тогда как красная трубка представляет собой эллиптическую призму, соответствующую µ=1. Синий лист соответствует z =1. Три поверхности пересекаются в точке P (показана черной сферой) с декартовыми координатами примерно (2,182, -1,661, 1,0). Фокусы эллипса и гиперболы лежат в точке x = ±2,0.

Эллиптические цилиндрические координаты — это трехмерная ортогональная система координат , возникающая в результате проецирования двумерной эллиптической системы координат на перпендикуляр $z$-направление. Следовательно, координатные поверхности представляют собой призмы софокусных эллипсов и гипербол . Два фокуса $F_{1}$ и $F_{2}$ обычно принимаются фиксированными на $-a$ и $+a$соответственно на $x$-ось декартовой системы координат .

Основное определение

Наиболее распространенное определение эллиптических цилиндрических координат. $(\mu ,\nu ,z)$ является

$x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu$

$y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu$

$z=z$

где $\mu$ является неотрицательным действительным числом и $\nu \in [0,2\pi ]$.

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическое тождество

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$

показывает, что кривые постоянной $\mu$ образуют эллипсы , тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество

${\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$

показывает, что кривые постоянной $\nu$ образуют гиперболы .

Масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для эллиптических цилиндрических координат $\mu$ и $\nu$ равны

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$

тогда как оставшийся масштабный коэффициент $h_{z}=1$. Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

$dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz$

а лапласиан равен

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \cdot \mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ можно выразить в координатах $(\mu ,\nu ,z)$ заменив масштабные факторы в общих формулах, найденных в ортогональных координатах .

Альтернативное определение

Альтернативный и геометрически интуитивно понятный набор эллиптических координат. $(\sigma ,\tau ,z)$ иногда используются, где $\sigma =\cosh \mu$ и $\tau =\cos \nu$. Следовательно, кривые константы $\sigma$ представляют собой эллипсы, тогда как кривые постоянной $\tau$ являются гиперболами. Координата $\tau$ должен принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как $\sigma$ координата должна быть больше или равна единице.

Координаты $(\sigma ,\tau ,z)$ имеют простую связь с расстояниями до фокусов $F_{1}$ и $F_{2}$. Для любой точки плоскости (x,y) сумма $d_{1}+d_{2}$ его расстояний до фокусов равно $2a\sigma$, тогда как их разница $d_{1}-d_{2}$ равно $2a\tau$. Таким образом, расстояние до $F_{1}$ является $a(\sigma +\tau )$, тогда как расстояние до $F_{2}$ является $a(\sigma -\tau )$. (Напомним, что $F_{1}$ и $F_{2}$ расположены в $x=-a$ и $x=+a$, соответственно.)

Недостатком этих координат является то, что они не имеют преобразования 1 к 1 в декартовы координаты.

$x=a\sigma \tau$

$y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)$

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат $(\sigma ,\tau ,z)$ являются

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$

и, конечно, $h_{z}=1$. Следовательно, бесконечно малый элемент объема становится

$dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz$

а лапласиан равен

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \cdot \mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ можно выразить в координатах $(\sigma ,\tau )$ заменив масштабные коэффициенты в общие формулы находится в ортогональных координатах .

Приложения

Классические применения эллиптических цилиндрических координат заключаются в решении уравнений в частных производных . например, уравнение Лапласа или уравнение Гельмгольца , для которых эллиптические цилиндрические координаты допускают разделение переменных . Типичным примером может служить электрическое поле, окружающее плоская проводящая пластина шириной $2a$.

Трехмерное волновое уравнение , выраженное в эллиптических цилиндрических координатах, может быть решено путем разделения переменных, что приводит к дифференциальным уравнениям Матье .

Геометрические свойства эллиптических координат также могут быть полезны. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q}$ эта сумма равна фиксированному вектору $\mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q}$, где подынтегральная функция была функцией длин векторов $\left|\mathbf {p} \right|$ и $\left|\mathbf {q} \right|$. (В таком случае можно было бы расположить $\mathbf {r}$ между двумя фокусами и совмещены с $x$-ось, т.е. $\mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}}$.) Для конкретности, $\mathbf {r}$, $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q}$ может представлять импульсы частицы и продуктов ее распада соответственно, а подынтегральная функция может включать кинетические энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов).

Библиография

• Морс П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики . Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 657. ИСБН  0-07-043316-Х . LCCN   52011515 .
• Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 182–183 . LCCN   55010911 .
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 179. LCCN   59014456 . АСИН B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Математический инструментарий инженера . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 97. LCCN   67025285 .
• Цвиллингер Д. (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ИСБН  0-86720-293-9 . что и Морс и Фешбах (1953), с заменой uk _{ξ k} на _{То же ,} .
• Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Координаты эллиптического цилиндра (η, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 17–20 (табл. 1.03). ISBN  978-0-387-18430-2 .

Внешние ссылки

• Описание MathWorld эллиптических цилиндрических координат