Индуцированный гомоморфизм

В математике , особенно в алгебраической топологии , индуцированный гомоморфизм — это гомоморфизм, полученный каноническим способом из другого отображения. ^[1] Например, непрерывное отображение топологического пространства X в топологическое пространство Y вызывает гомоморфизм фундаментальной группы X Y в фундаментальную группу групповой .

В более общем смысле, в теории категорий любой функтор по определению обеспечивает индуцированный морфизм в целевой категории для каждого морфизма в исходной категории.Например, фундаментальные группы , высшие гомотопические группы , сингулярные гомологии и когомологии Де Рама являются алгебраическими структурами, которые являются функториальными , что означает, что их определение обеспечивает функтор из (например) категории топологических пространств в (например) категорию групп или колец. . Это означает, что каждое пространство связано с алгебраической структурой, а каждое непрерывное отображение между пространствами связано с сохраняющим структуру отображением между структурами, называемым индуцированным гомоморфизмом.Гомоморфизм, индуцированный по отображению $h$ часто обозначается $h_{*}$ .

Индуцированные гомоморфизмы часто наследуют свойства отображений, из которых они произошли; например, два отображения, обратные друг другу с точностью до гомотопии, индуцируют гомоморфизмы, обратные друг другу.Обычно индуцированные гомоморфизмы используются следующим образом: показывая, что гомоморфизм с определенными свойствами не может существовать, делается вывод, что не может существовать непрерывное отображение со свойствами, которые индуцировали бы его. Благодаря этому отношения между пространствами и непрерывными отображениями, часто очень сложные, могут быть выведены из отношений между индуцируемыми ими гомоморфизмами. Последние, возможно, проще анализировать, поскольку они включают в себя алгебраические структуры, которые часто можно легко описать, сравнить и вычислить.

В фундаментальных группах [ править ]

Пусть X и Y — топологические пространства с точками x ₀ в X и y ₀ в Y .Пусть h : X→Y — непрерывное отображение такое, что h ( x ₀ ) = y ₀ .Тогда мы можем определить карту $h_{*}$ из фундаментальной группы $π$ ₁ ( X , x ₀ ) в фундаментальную группу $π$ ₁ ( Y , y ₀ ) следующим образом:любой элемент $π$ ₁ ( X , x ₀ ) , представленный циклом f в X , основанным на x ₀ , отображается в цикл в $π$ ₁ ( Y , y ₀ ), полученный композицией с h :

h_{*}([f]):=[h\circ f]

Здесь [ f ] обозначает класс эквивалентности f относительно гомотопии , как в определении фундаментальной группы.Из определений легко проверяется, что $h_{*}$ является корректно определенной функцией $π$ ₁ ( X , x ₀ ) → $π$ ₁ ( Y , y ₀ ) : петли в одном и том же классе эквивалентности, т.е. гомотопические петли в X , отображаются в гомотопические петли в Y , потому что гомотопия может быть составлен с помощью h также .Из определения групповой операции в фундаментальных группах (а именно путем объединения циклов) следует также, что $h_{*}$ является групповым гомоморфизмом:

h_{*}([f+g])=h_{*}([f])+h_{*}([g])

(где + обозначает объединение циклов, причем первый + в X и второй + в Y ). ^[2]Результирующий гомоморфизм $h_{*}$ — гомоморфизм, индуцированный из h .

Его также можно обозначить как $π$ ( h ).Действительно, $π$ задаёт функтор из категории точечных пространств в категорию групп: он сопоставляет фундаментальную группу $π$ ₁ ( X , x ₀ ) каждому точечному пространству ( X , x ₀ ) и индуцированный гомоморфизм $\pi (h)=h_{*}$ к каждой базовой точке, сохраняющей непрерывное отображение h : ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ ) .Чтобы доказать, что он удовлетворяет определению функтора, необходимо дополнительно проверить его совместимость с композицией: для базовую точку непрерывных отображений, сохраняющих h : ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ ) и k : ( Y , y ₀ ) → ( Z , z ₀ ) , мы имеем:

\pi (k\circ h)=\pi (k)\circ \pi (h).

Отсюда следует, что если h не только непрерывное отображение, но и гомеоморфизм между X и Y , то индуцированный гомоморфизм $\pi (h)$ является изоморфизмом между фундаментальными группами (поскольку гомоморфизм, индуцированный обратным к h, является обратным к $\pi (h)$ , по приведенному выше уравнению).(См. раздел III.5.4, стр. 201, у Г. Шуберта.) ^[3]

Приложения [ править ]

1. Тор не гомеоморфен R. ² потому что их фундаментальные группы не изоморфны (поскольку их фундаментальные группы не имеют одинаковой мощности ). В более общем смысле односвязное пространство не может быть гомеоморфным несвязному пространству; у одного есть тривиальная фундаментальная группа, а у другого нет.

2. Фундаментальная группа окружности изоморфна группе целых чисел . Следовательно, одноточечная компактификация R R изоморфную группе целых чисел (поскольку одноточечная компактификация имеет фундаментальную группу , гомеоморфна окружности). Это также показывает, что одноточечная компактификация односвязного пространства не обязательно должна быть односвязной.

3. Обратное утверждение теоремы не обязательно имеет место. Например, Р ² и Р ³ имеют изоморфные фундаментальные группы, но все же не гомеоморфны. Их фундаментальные группы изоморфны, поскольку каждое пространство односвязно. Однако эти два пространства не могут быть гомеоморфными, поскольку удаление точки из R ² оставляет неодносвязное пространство, но удаляя точку из R ³ оставляет односвязное пространство (Если удалить строку, лежащую в R ³, пространство больше не будет просто связанным. Фактически это обобщается на R ^н при этом удаляя ( n − 2) - мерное подпространство из R ^н оставляет неодносвязное пространство).

4. Если A — сильный деформационный ретракт топологического пространства X , то отображение включения из A в X индуцирует изоморфизм между фундаментальными группами (поэтому фундаментальную группу X можно описать, используя только петли в подпространстве A ).

Другие примеры [ править ]

Аналогично существуют индуцированные гомоморфизмы высших гомотопических групп и групп гомологий . Любая теория гомологии сопровождается индуцированными гомоморфизмами. Например, симплициальные гомологии , сингулярные гомологии и гомологии Бореля – Мура имеют индуцированные гомоморфизмы (IV.1.3, стр. 240–241). все ^[3] Аналогичным образом из любых когомологий возникают индуцированные гомоморфизмы, хотя и в обратном направлении (от группы, ассоциированной с Y, к группе, ассоциированной с X ). Например, когомологии Чеха , когомологии де Рама и сингулярные когомологии имеют индуцированные гомоморфизмы (IV.4.2–3, стр. 298–299). ^[3] Такие обобщения, как кобордизм, также вызывают гомоморфизмы.

Общее определение [ править ]

Учитывая некоторую категорию $\mathbf {T}$ топологических пространств (возможно, с некоторой дополнительной структурой), таких как категория всех топологических пространств Top или категория точечных топологических пространств (то есть топологических пространств с выделенной базовой точкой), и функтор $F:\mathbf {T} \to \mathbf {A}$ из этой категории в какую-то категорию $\mathbf {A}$ алгебраических структур, таких как категория групп Grp или абелевых групп Ab , которая затем сопоставляет такую алгебраическую структуру каждому топологическому пространству, тогда для каждого морфизма $f:X\to Y$ из $\mathbf {T}$ (которое обычно представляет собой непрерывное отображение, возможно, сохраняющее некоторую другую структуру, например базовую точку), этот функтор индуцирует индуцированный морфизм $F(f):F(X)\to F(Y)$ в $\mathbf {A}$ (который, например, является групповым гомоморфизмом, если $\mathbf {A}$ — категория групп) между алгебраическими структурами $F(X)$ и $F(Y)$ связанный с $X$ и $Y$ , соответственно.

Если $F$ не является (ковариантным) функтором, а контравариантным функтором , то по определению он индуцирует морфизмы в противоположном направлении: $F(f):F(Y)\to F(X)$ . Группы когомологий дают пример.

Ссылки [ править ]

^ Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0 .
^ Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391 . OCLC 697506452 . стр. 197, предложение 7.24.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Шуберт, Х. (1975). Топология. Введение (Математические руководства) . Издательство BG Teubner, Штутгарт.

Джеймс Манкрес (1999). Топология, 2-е издание, Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2 .

[1] Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0 .

[2] Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1441979391 . OCLC 697506452 . стр. 197, предложение 7.24.

[Sb-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Шуберт, Х. (1975). Топология. Введение (Математические руководства) . Издательство BG Teubner, Штутгарт.

[1]

[2]

[3]