Симплектическая геометрия

Фазовый портрет осциллятора Ван дер Поля , одномерной системы. Фазовое пространство было первоначальным объектом изучения симплектической геометрии.

Симплектическая геометрия — раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , изучающий симплектические многообразия ; то есть дифференцируемые многообразия снабженные замкнутой невырожденной , 2-формой . Симплектическая геометрия берет свое начало в гамильтоновой формулировке классической механики , где фазовое пространство некоторых классических систем принимает структуру симплектического многообразия.

Термин «симплектика», введенный Германом Вейлем , это калька слова «комплекс»; ранее «симплектическая группа» называлась «комплексной группой прямых». «Комплекс» происходит от латинского complexus , что означает «сплетенный вместе» (co- + plexus), тогда как симплектический происходит от соответствующего греческого sym-plektikos (συμπλεκτικός); в обоих случаях основа происходит от индоевропейского корня *pleḱ. Название отражает глубокие связи между сложными и симплектическими структурами.

По теореме Дарбу симплектические многообразия локально изоморфны стандартному симплектическому векторному пространству , следовательно, имеют только глобальные (топологические) инварианты. «Симплектическая топология», изучающая глобальные свойства симплектических многообразий, часто используется как синоним «симплектической геометрии».

Обзор

Название «комплексная группа», которое я раньше защищал в отношении линейных комплексов, поскольку они определяются исчезновением антисимметричных билинейных форм, становится все более и более смущающим из-за столкновения со словом «комплекс» в значении комплексного числа. Поэтому я предлагаю заменить его соответствующим греческим прилагательным «симплектический». Диксон назвал эту группу «абелевой линейной группой» в честь Абеля, который первым ее изучил.

Вейль (1939 , стр. 165)

Симплектическая геометрия определяется на гладком четномерном пространстве, которое является дифференцируемым многообразием . В этом пространстве определен геометрический объект, симплектическая 2-форма , которая позволяет измерять размеры двумерных объектов в пространстве . Симплектическая форма в симплектической геометрии играет роль, аналогичную роли метрического тензора в римановой геометрии . Если метрический тензор измеряет длины и углы, то симплектическая форма измеряет ориентированные площади.

Симплектическая геометрия возникла в результате изучения классической механики , и примером симплектической структуры является движение объекта в одном измерении. Чтобы указать траекторию объекта, нужны как позиция q, так и импульс p , которые образуют точку ( p , q ) на евклидовой плоскости. $\mathbb {R} ^{2}$. В этом случае симплектическая форма имеет вид

$\omega =dp\wedge dq$

и представляет собой форму площади , которая измеряет площадь A области S на плоскости посредством интегрирования :

$A=\int _{S}\omega .$

Эта область важна, поскольку по мере развития консервативных динамических систем во времени эта область остается инвариантной.

Аналогично определяются многомерные симплектические геометрии. 2 n -мерная симплектическая геометрия формируется из пар направлений

$((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))$

в 2 n -мерном многообразии вместе с симплектической формой

$\omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.$

Эта симплектическая форма дает размер 2 n -мерной области V в пространстве как сумму площадей проекций V на каждую из плоскостей, образованных парами направлений

$A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.$

Сравнение с римановой геометрией

Симплектическая геометрия имеет ряд сходств и отличий от римановой геометрии , которая изучает дифференцируемые многообразия , снабженные невырожденными симметричными 2-тензорами (называемыми метрическими тензорами ). В отличие от риманова случая, симплектические многообразия не имеют локальных инвариантов, таких как кривизна . Это следствие теоремы Дарбу , которая утверждает, что окрестность любой точки 2 n -мерного симплектического многообразия изоморфна стандартной симплектической структуре на открытом множестве $\mathbb {R} ^{2n}$. Еще одно отличие от римановой геометрии состоит в том, что не каждое дифференцируемое многообразие обязательно должно иметь симплектическую форму; существуют определенные топологические ограничения. Например, каждое симплектическое многообразие четномерно и ориентируемо . Кроме того, если M — замкнутое симплектическое многообразие, то 2-я когомологий де Рама группа H ² ( M ) нетривиально; это означает, например, что единственная n -сфера , допускающая симплектическую форму, — это 2-сфера . Между этими двумя предметами можно провести аналогию между геодезическими в римановой геометрии и псевдоголоморфными кривыми в симплектической геометрии: геодезические — это кривые кратчайшей длины (локально), а псевдоголоморфные кривые — это поверхности минимальной площади. Обе концепции играют фундаментальную роль в своих соответствующих дисциплинах.

Примеры и структуры

Каждое кэлерово многообразие также является симплектическим многообразием. Еще в 1970-е годы эксперты по симплектикам не были уверены в существовании каких-либо компактных некелеровых симплектических многообразий, но с тех пор было построено множество примеров (первый принадлежит Уильяму Терстону ); в частности, Роберт Гомпф показал, что каждая конечно представленная группа встречается как фундаментальная группа некоторого симплектического 4-многообразия, что резко контрастирует со случаем Кэлера.

Можно сказать, что большинство симплектических многообразий не являются кэлеровыми; и поэтому не имеют интегрируемой комплексной структуры, совместимой с симплектической формой. Михаил Громов , однако, сделал важное наблюдение, что симплектические многообразия допускают множество совместимых почти комплексных структур , так что они удовлетворяют всем аксиомам кэлерова многообразия, за исключением требования, чтобы отображения перехода были голоморфными .

Громов использовал существование почти комплексных структур на симплектических многообразиях для разработки теории псевдоголоморфных кривых . что привело к ряду достижений в симплектической топологии, включая класс симплектических инвариантов, ныне известных как инварианты Громова – Виттена . Позже, используя технику псевдоголоморфных кривых, Андреас Флоер изобрел еще один важный инструмент симплектической геометрии, известный как гомологии Флоера .

См. также

• Контактная геометрия
• Геометрическая механика
• Карта моментов
• Геометрия Пуассона
• Симплектическое интегрирование
• Симплектическое векторное пространство

Ссылки

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN  978-0-8053-0102-1 .
• Arnol'd, V. I. (1986). "Первые шаги симплектической топологии" [First steps in symplectic topology]. Успехи математических наук (in Russian). 41 (6(252)): 3–18. doi : 10.1070/RM1986v041n06ABEH004221 . ISSN  0036-0279 . S2CID  250908036 – via Russian Mathematical Surveys , 1986, 41:6, 1–21.
• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-850451-1 .
• Фоменко А.Т. (1995). Симплектическая геометрия (2-е изд.). Гордон и Брич. ISBN  978-2-88124-901-3 . (Введение на уровень бакалавриата.)
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN  978-3-7643-7574-4 .
• Вайнштейн, Алан (1981). «Симплектическая геометрия» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 5 (1): 1–13. дои : 10.1090/s0273-0979-1981-14911-9 .
• Вейль, Герман (1939). Классические группы. Их инварианты и представления . Перепечатано издательством Princeton University Press (1997). ISBN   0-691-05756-7 . МИСТЕР 0000255 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с симплектической геометрией, на Викискладе?
• «Симплектическая структура» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]