Линейная рекуррентность с постоянными коэффициентами

В математике (включая комбинаторику , линейную алгебру и динамические системы ) линейная рекуррентность с постоянными коэффициентами ^[1]^{: гл. 17}^[2]^{: гл. 10} (также известное как линейное рекуррентное соотношение или линейное разностное уравнение ) устанавливает равным 0 многочлен , который является линейным в различных итерациях переменной , то есть в значениях элементов последовательности . Линейность полинома означает, что каждый из его членов имеет степень 0 или 1. Линейная рекуррентность обозначает эволюцию некоторой переменной во времени, при этом текущий период времени или дискретный момент времени обозначается как $t$ , один период ранее обозначался как $t - 1$ , на один период позже как $t + 1$ и т. д.

Решение , а не каких-либо итеративных значений, что такого уравнения является функцией $t$ дает значение итерации в любой момент времени. Чтобы найти решение, необходимо знать конкретные значения (известные как начальные условия ) $n$ итераций, и обычно это $n$ самых старых итераций. Уравнение или его переменная называется устойчивой, если из любого набора начальных условий существует предел переменной при стремлении времени к бесконечности; этот предел называется установившимся состоянием .

Уравнения разностей используются в различных контекстах, например, в экономике для моделирования эволюции во времени таких переменных, как валовой внутренний продукт , уровень инфляции , обменный курс и т. д. Они используются при моделировании таких временных рядов , потому что значения этих переменных переменные измеряются только через дискретные интервалы времени. В эконометрических приложениях линейные разностные уравнения моделируются с использованием стохастических терминов в форме моделей авторегрессии (AR) и в таких моделях, как векторная авторегрессия (VAR) и модели авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), которые сочетают AR с другими функциями.

Определения

Линейная рекуррентная функция с постоянными коэффициентами представляет собой уравнение следующего вида, записанное через параметры $a 1, ..., a n$ и $b$ :

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,$

или эквивалентно как

$y_{t+n}=a_{1}y_{t+n-1}+\cdots +a_{n}y_{t}+b.$

Положительное целое число $n$ называется порядком повторения и обозначает наибольшую временную задержку между итерациями. Уравнение называется однородным, если $b = 0$ , и неоднородным , если $b \neq 0$ .

Если уравнение однородное, коэффициенты определяют характеристический полином (также «вспомогательный полином» или «сопутствующий полином»).

$p(\lambda )=\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\cdots -a_{n}$

корни которого играют решающую роль в поиске и понимании последовательностей, удовлетворяющих повторяемости.

Преобразование в гомогенную форму

Если $b \neq 0$ , уравнение

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b$

говорят, что он неоднороден . Для решения этого уравнения удобно привести его к однородному виду, без постоянного члена. уравнения Это делается путем нахождения значения устойчивого состояния — значения $y *$ такого, что, если $все n$ последовательных итераций имели это значение, то же самое будет и со всеми будущими значениями. Это значение находится путем установки всех значений $y$ равными $y *$ в разностном уравнении и решения, таким образом получая

$y^{*}={\frac {b}{1-a_{1}-\cdots -a_{n}}}$

при условии, что знаменатель не равен 0. Если он равен нулю, установившегося состояния не существует.

Учитывая установившийся режим, разностное уравнение можно переписать в терминах отклонений итераций от установившегося состояния:

$\left(y_{t}-y^{*}\right)=a_{1}\left(y_{t-1}-y^{*}\right)+\cdots +a_{n}\left(y_{t-n}-y^{*}\right)$

который не имеет постоянного члена и который можно более кратко записать как

$x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}$

где $x$ равно $y - y *$ . Это гомогенная форма.

Если стационарного состояния нет, то разностное уравнение

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b$

может быть объединено с его эквивалентной формой

$y_{t-1}=a_{1}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-(n+1)}+b$

чтобы получить (путем решения обоих для $b$ )

$y_{t}-a_{1}y_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{t-n}=y_{t-1}-a_{1}y_{t-2}-\cdots -a_{n}y_{t-(n+1)}$

в котором подобные члены могут быть объединены в однородное уравнение на один порядок выше исходного.

Пример решения для небольших заказов

Корни характеристического полинома играют решающую роль в поиске и понимании последовательностей, удовлетворяющих рекуррентности. Если есть $d$ отдельные корни $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{d},$ тогда каждое решение рекуррентного уравнения принимает вид $a_{n}=k_{1}r_{1}^{n}+k_{2}r_{2}^{n}+\cdots +k_{d}r_{d}^{n},$ где коэффициенты $k_{i}$ определяются так, чтобы соответствовать начальным условиям рекуррентности. Когда одни и те же корни встречаются несколько раз, члены в этой формуле, соответствующие второму и последующим появлениям одного и того же корня, умножаются на возрастающую степень $n$ . Например, если характеристический полином можно разложить как $(x-r)^{3}$ , с тем же корнем $r$ повторится три раза, то решение примет вид $a_{n}=k_{1}r^{n}+k_{2}nr^{n}+k_{3}n^{2}r^{n}.$ ^[3]

Заказ 1

Для заказа 1 повторяемость $a_{n}=ra_{n-1}$ есть решение $a_{n}=r^{n}$ с $a_{0}=1$ и наиболее общее решение $a_{n}=kr^{n}$ с $a_{0}=k$ . Характеристический многочлен, равный нулю ( характеристическое уравнение ), представляет собой просто $t-r=0$ .

Заказ 2

Решения таких рекуррентных соотношений более высокого порядка находятся систематическим путем, часто используя тот факт, что $a_{n}=r^{n}$ является решением для повторения именно тогда, когда $t=r$ является корнем характеристического многочлена. К этому можно подойти напрямую или с помощью производящих функций ( формальных степенных рядов ) или матриц.

Рассмотрим, например, рекуррентное соотношение вида $a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}.$

Когда оно имеет решение того же общего вида, что и $a_{n}=r^{n}$ ? Подставив это предположение ( анзац ) в рекуррентное соотношение, мы находим, что $r^{n}=Ar^{n-1}+Br^{n-2}$ должно быть верно для всех $n>1$ .

Разделив на $r^{n-2}$ , мы получаем, что все эти уравнения сводятся к одному и тому же:

${\begin{aligned}r^{2}&=Ar+B,\\r^{2}-Ar-B&=0,\end{aligned}}$

что является характеристическим уравнением рекуррентного соотношения. Решите для $r$ чтобы получить два корня $\lambda _{1}$ , $\lambda _{2}$ : эти корни известны как характеристические корни или собственные значения характеристического уравнения. В зависимости от природы корней получаются разные решения: если эти корни различны, мы имеем общее решение

$a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}$

а если они идентичны (когда $A^{2}+4B=0$ ), у нас есть

$a_{n}=C\lambda ^{n}+Dn\lambda ^{n}$

Это наиболее общее решение; две константы $C$ и $D$ может быть выбран на основе двух заданных начальных условий $a_{0}$ и $a_{1}$ для получения конкретного решения.

В случае комплексных собственных значений (что также приводит к комплексным значениям параметров решения $C$ и $D$ ), от использования комплексных чисел можно избавиться, переписав решение в тригонометрической форме. В этом случае мы можем записать собственные значения как $\lambda _{1},\lambda _{2}=\alpha \pm \beta i.$ Тогда можно показать, что

$a_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}$

можно переписать как ^[4]^{: 576–585}

$a_{n}=2M^{n}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right)=2GM^{n}\cos(\theta n-\delta ),$

где

${\begin{array}{lcl}M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}&\cos(\theta )={\tfrac {\alpha }{M}}&\sin(\theta )={\tfrac {\beta }{M}}\\C,D=E\mp Fi&&\\G={\sqrt {E^{2}+F^{2}}}&\cos(\delta )={\tfrac {E}{G}}&\sin(\delta )={\tfrac {F}{G}}\end{array}}$

Здесь $E$ и $F$ (или, что то же самое, $G$ и $\delta$ ) — действительные константы, зависящие от начальных условий. С использованием $\lambda _{1}+\lambda _{2}=2\alpha =A,$ $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}=-B,$

можно упростить решение, данное выше, как

$a_{n}=(-B)^{\frac {n}{2}}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right),$

где $a_{1}$ и $a_{2}$ являются начальные условия и

${\begin{aligned}E&={\frac {-Aa_{1}+a_{2}}{B}}\\F&=-i{\frac {A^{2}a_{1}-Aa_{2}+2a_{1}B}{B{\sqrt {A^{2}+4B}}}}\\\theta &=\arccos \left({\frac {A}{2{\sqrt {-B}}}}\right)\end{aligned}}$

Таким образом, нет необходимости решать $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ .

Во всех случаях — вещественных различных собственных значений, вещественных дублированных собственных значений и комплексно-сопряженных собственных значений — уравнение устойчиво (т. е. переменная $a$ сходится к фиксированному значению [в частности, к нулю]) тогда и только тогда, когда оба меньше единицы собственных значения по абсолютной величине . В этом случае второго порядка это условие на собственные значения можно показать ^[5] быть эквивалентным $|A|<1-B<2$ , что эквивалентно $|B|<1$ и $|A|<1-B$ .

Общее решение

Характеристический полином и корни

Решение однородного уравнения

$x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}$

предполагает сначала решение его характеристического многочлена

$\lambda ^{n}=a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-2}\lambda ^{2}+a_{n-1}\lambda +a_{n}$

для его характеристических корней $λ 1, ..., λ n$ . Эти корни можно решить алгебраически, если $n \leq 4$ , но не обязательно в противном случае . Если решение необходимо использовать численно, все корни этого характеристического уравнения можно найти численными методами . Однако для использования в теоретическом контексте может оказаться, что единственная информация, необходимая о корнях, — это то, больше ли какой-либо из них или равен 1 по абсолютной величине .

Возможно, все корни действительны , или некоторые из них могут быть комплексными числами . В последнем случае все комплексные корни образуют комплексно-сопряженные пары.

Решение с различными характеристическими корнями

Если все характеристические корни различны, то решение однородной линейной рекуррентной задачи

$x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}$

можно записать через характеристические корни как

$x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t}$

где коэффициенты $c i$ можно найти, вызвав начальные условия. В частности, для каждого периода времени, для которого известно значение итерации, это значение и соответствующее ему значение $t$ можно подставить в уравнение решения, чтобы получить линейное уравнение с $n$ пока еще неизвестными параметрами; $n$ таких уравнений, по одному для каждого начального условия, могут быть решены одновременно для $n$ значений параметров. Если все характеристические корни действительны, то все значения коэффициентов $c i$ также будут вещественными; но с недействительными комплексными корнями некоторые из этих коэффициентов, как правило, также будут недействительными.

Преобразование комплексного решения к тригонометрической форме

Если есть комплексные корни, они входят в пары сопряженных, как и комплексные члены в уравнении решения. Если два из этих комплексных членов равны $c j λ т j$ и $c j +1 λ т j +1$ корни $λ j$ можно записать как

$\lambda _{j},\lambda _{j+1}=\alpha \pm \beta i=M\left({\frac {\alpha }{M}}\pm {\frac {\beta }{M}}i\right)$

где $i$ — мнимая единица , а $M$ — модуль корней:

$M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.$

Тогда два комплексных члена уравнения решения можно записать как

${\begin{aligned}c_{j}\lambda _{j}^{t}+c_{j+1}\lambda _{j+1}^{t}&=M^{t}\left(c_{j}\left({\frac {\alpha }{M}}+{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}+c_{j+1}\left({\frac {\alpha }{M}}-{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}\left(c_{j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl (}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\right)+c_{j+1}\left(\cos \theta t-i\sin \theta t\right){\bigr )}\end{aligned}}$

где $θ$ — угол, косинус которого равен $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ α / M ⁠$ и чей синус $⁠ β / М ⁠$ ; последнее равенство здесь использовало формулу де Муавра .

Теперь процесс нахождения коэффициентов $c j$ и $c j +1$ гарантирует, что они также являются комплексно-сопряженными, что можно записать как $γ \pm δi$ . Использование этого значения в последнем уравнении дает следующее выражение для двух комплексных членов уравнения решения:

$2M^{t}\left(\gamma \cos \theta t-\delta \sin \theta t\right)$

что также можно записать как

$2{\sqrt {\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}M^{t}\cos(\theta t+\psi )$

где $ψ$ — угол, косинус которого равен $⁠ γ / \sqrt γ 2 + д 2 ⁠$ и чей синус $⁠ δ / \sqrt γ 2 + д 2 ⁠$ .

Цикличность

В зависимости от начальных условий, даже если все корни действительны, итерации могут испытывать временную тенденцию подниматься выше и ниже значения устойчивого состояния. Но истинная цикличность предполагает постоянную тенденцию к колебаниям, и это происходит, если имеется хотя бы одна пара комплексно-сопряженных характеристических корней. Это можно увидеть в тригонометрической форме их вклада в уравнение решения, включающего $cos θt$ и $sin θt$ .

Решение с повторяющимися характеристическими корнями

В случае второго порядка, если два корня идентичны ( $λ 1 = λ 2$ ), их можно обозначить как $λ$ , а решение может иметь вид

$x_{t}=c_{1}\lambda ^{t}+c_{2}t\lambda ^{t}.$

Решение преобразованием к матричной форме

Альтернативный метод решения предполагает преобразование $разностного уравнения n-$ первого порядка го порядка в матричное разностное уравнение . Это достигается записью $w 1, t = y t$ , $w 2, t = y t -1 = w 1, t -1$ , $w 3, t = y t -2 = w 2, t -1$ и так далее. . Тогда исходное единственное $уравнение n$ -го порядка

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b$

можно заменить следующими $n$ уравнениями первого порядка:

${\begin{aligned}w_{1,t}&=a_{1}w_{1,t-1}+a_{2}w_{2,t-1}+\cdots +a_{n}w_{n,t-1}+b\\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\\&\,\,\,\vdots \\w_{n,t}&=w_{n-1,t-1}.\end{aligned}}$

Определив вектор $w i$ как

$\mathbf {w} _{i}={\begin{bmatrix}w_{1,i}\\w_{2,i}\\\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix}}$

это можно представить в матричной форме как

$\mathbf {w} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {w} _{t-1}+\mathbf {b}$

Здесь $A$ — $матрица размера n \times n,$ которой первая строка содержит $1 в, ..., n,$ а все остальные строки имеют одну 1, а все остальные элементы равны 0, а $b$ — вектор-столбец с первым элементом $b$ и с остальные его элементы равны 0.

Это матричное уравнение можно решить, используя методы, описанные в статье Матричное разностное уравнение .В однородном случае $y i$ является параперманентом нижней треугольной матрицы ^[6]

Решение с использованием производящих функций

Повторение

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,$

можно решить с помощью теории производящих функций . Сначала мы пишем ${\textstyle Y(x)=\sum _{t\geq 0}y_{t}x^{t}}$ . Тогда рекуррентность эквивалентна следующему уравнению производящей функции:

$Y(x)=a_{1}xY(x)+a_{2}x^{2}Y(x)+\cdots +a_{n}x^{n}Y(x)+{\frac {b}{1-x}}+p(x)$

где $p(x)$ является полиномом степени не более $n-1$ корректировка первоначальных условий.Из этого уравнения мы можем решить, чтобы получить

$Y(x)=\left({\frac {b}{1-x}}+p(x)\right)\cdot {\frac {1}{1-a_{1}x-a_{2}x^{2}-\cdots -a_{n}x^{n}}}.$

Другими словами, не беспокоясь о точных коэффициентах, $Y(x)$ можно выразить как рациональную функцию $Y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.$

Замкнутую форму затем можно получить путем разложения на частичные дроби . В частности, если производящая функция записана как ${\frac {f(x)}{g(x)}}=\sum _{i}{\frac {f_{i}(x)}{(x-r_{i})^{m_{i}}}}$

тогда полином $p(x)$ определяет начальный набор поправок $z(n)$ , знаменатель $(x-r_{i})^{m}$ определяет экспоненциальный член $r_{i}^{n}$ , и степень $m$ вместе с числителем $f_{i}(x)$ определить коэффициент полинома $k_{i}(n)$ .

Связь с решением дифференциальных уравнений

Метод решения линейных дифференциальных уравнений аналогичен описанному выше методу — «интеллектуальное предположение» ( анзац ) для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: $e^{\lambda x}$ где $\lambda$ — комплексное число, которое определяется путем подстановки предположения в дифференциальное уравнение.

Это не совпадение. Рассматривая ряд Тейлора решения линейного дифференциального уравнения:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

видно, что коэффициенты ряда определяются выражением $n$ -я производная от $f(x)$ оценивается в точке $a$ . Дифференциальное уравнение представляет собой линейное разностное уравнение, связывающее эти коэффициенты.

Эту эквивалентность можно использовать для быстрого решения рекуррентного соотношения для коэффициентов в решении степенного ряда линейного дифференциального уравнения.

Эмпирическое правило (для уравнений, в которых полином, умножающий первый член, не равно нулю в нуле) заключается в следующем:

$y^{[k]}\to f[n+k]$ и вообще $x^{m}*y^{[k]}\to n(n-1)...(n-m+1)f[n+k-m]$

Пример: рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда Тейлора уравнения:

$(x^{2}+3x-4)y^{[3]}-(3x+1)y^{[2]}+2y=0$

дается

$n(n-1)f[n+1]+3nf[n+2]-4f[n+3]-3nf[n+1]-f[n+2]+2f[n]=0$

или

$-4f[n+3]+2nf[n+2]+n(n-4)f[n+1]+2f[n]=0.$

Этот пример показывает, как проблемы, которые обычно решаются с использованием метода решения степенных рядов, изучаемого на уроках обычных дифференциальных уравнений, могут быть решены гораздо проще.

Пример: дифференциальное уравнение

$ay''+by'+cy=0$

имеет решение

$y=e^{ax}.$

Преобразование дифференциального уравнения в разностное уравнение коэффициентов Тейлора имеет вид

$af[n+2]+bf[n+1]+cf[n]=0.$

Легко видеть, что $n$ -я производная от $e^{ax}$ оценивается в $0$ является $a^{n}$ .

Решение с помощью z-преобразований

Некоторые разностные уравнения — в частности, линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами — можно решить с помощью z-преобразований . Z , которые приводят к более удобным алгебраическим -преобразования представляют собой класс интегральных преобразований манипуляциям и более простым решениям. Бывают случаи, когда получение прямого решения практически невозможно, однако решение проблемы с помощью тщательно выбранного интегрального преобразования является простым.

Стабильность

В уравнении решения

$x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t},$

член с действительными характеристическими корнями сходится к 0 по мере того, как $t$ становится неопределенно большим, если абсолютное значение характеристического корня меньше 1. Если абсолютное значение равно 1, член будет оставаться постоянным по мере $роста t$ , если корень равен +1, но будет колеблются между двумя значениями, если корень равен -1. Если абсолютное значение корня больше 1, член со временем будет становиться все больше и больше. Пара слагаемых с комплексно-сопряженными характеристическими корнями будет сходиться к 0 при затухании колебаний, если абсолютное значение модуля $М$ корней меньше 1; если модуль равен 1, то колебания постоянной амплитуды в объединенных слагаемых сохранятся; и если модуль больше 1, объединенные члены будут демонстрировать колебания постоянно возрастающей величины.

Таким образом, развивающаяся переменная $x$ будет стремиться к 0, если все характеристические корни имеют величину меньше 1.

Если наибольший корень имеет абсолютное значение 1, ни сходимости к 0, ни расхождения к бесконечности не произойдет. Если все корни с величиной 1 действительны и положительны, $x$ будет сходиться к сумме их постоянных членов $c i$ ; в отличие от устойчивого случая, это сходящееся значение зависит от начальных условий; разные отправные точки приводят к разным точкам в долгосрочной перспективе. Если какой-либо корень равен -1, его член будет способствовать постоянным колебаниям между двумя значениями. Если какой-либо из корней единичной величины является комплексным, то колебания $x$ с постоянной амплитудой будут сохраняться.

Наконец, если какой-либо характеристический корень имеет величину больше 1, то $x$ будет расходиться до бесконечности с течением времени или будет колебаться между все более большими положительными и отрицательными значениями.

Теорема Иссаи Шура утверждает, что все корни имеют величину меньше 1 (стабильный случай) тогда и только тогда, когда все определители определенной цепочки положительны. ^[2]^: 247

Если неоднородное линейно-разностное уравнение было преобразовано к однородной форме, которая была проанализирована, как указано выше, то свойства устойчивости и цикличности исходного неоднородного уравнения будут такими же, как и у полученной однородной формы, со сходимостью в стабильный случай - это установившееся значение $y *$ вместо 0.

См. также

Ссылки

^ Чан, Альфа (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Баумол, Уильям (1970). Экономическая динамика (Третье изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN 0-02-306660-1 .
^ Грин, Дэниел Х.; Кнут, Дональд Э. (1982), «2.1.1 Постоянные коэффициенты - A) Однородные уравнения», Математика для анализа алгоритмов (2-е изд.), Биркхойзер, стр. 17 .
^ Чан, Альфа К., Фундаментальные методы математической экономики , третье издание, McGraw-Hill, 1984.
^ Папаниколау, Василис, «Об асимптотической устойчивости класса линейных разностных уравнений», Mathematics Magazine 69 (1), февраль 1996 г., 34–43.
^ Заторский Роман; Гой, Тарас (2016). «Парапостоянство треугольных матриц и некоторые общие теоремы о числовых последовательностях» . Дж. Межд. Сек . 19 :16.2.2.

[Chiang-1] Чан, Альфа (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7 .

[Baumol-2] Перейти обратно: ^а ^б Баумол, Уильям (1970). Экономическая динамика (Третье изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN 0-02-306660-1 .

[3] Грин, Дэниел Х.; Кнут, Дональд Э. (1982), «2.1.1 Постоянные коэффициенты - A) Однородные уравнения», Математика для анализа алгоритмов (2-е изд.), Биркхойзер, стр. 17 .

[4] Чан, Альфа К., Фундаментальные методы математической экономики , третье издание, McGraw-Hill, 1984.

[5] Папаниколау, Василис, «Об асимптотической устойчивости класса линейных разностных уравнений», Mathematics Magazine 69 (1), февраль 1996 г., 34–43.

[6] Заторский Роман; Гой, Тарас (2016). «Парапостоянство треугольных матриц и некоторые общие теоремы о числовых последовательностях» . Дж. Межд. Сек . 19 :16.2.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]