Список сферических групп симметрии

Выбранные группы точек в трех измерениях
Группа многогранников , [n,3], (*n32)
Инволюционная симметрия С ₎ , (* [ ] =	Циклическая симметрия C _нв , (*nn) [н] =	Двугранная симметрия Днх _, (*n22) [п,2] =
Тетраэдрическая симметрия Т _д , (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия О _х , (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I _h, (*532) [5,3] =

Конечные группы сферической симметрии также называются точечными группами в трех измерениях . Существует пять фундаментальных классов симметрии, которые имеют треугольные фундаментальные области: диэдрическая , циклическая , тетраэдрическая , октаэдрическая и икосаэдрическая симметрия.

В этой статье перечислены группы по обозначениям Шенфлиса , обозначениям Коксетера , ^[1] орбифолдное обозначение , ^[2] и заказать. Джон Конвей групп использует вариант нотации Шенфлиса, основанный на алгебраической структуре кватернионов , помеченной одной или двумя заглавными буквами и индексами целых чисел. Порядок группы определяется как нижний индекс, если только порядок не удваивается для символов с префиксом плюс или минус «±», что подразумевает центральную инверсию . ^[3]

обозначения Германа – Могена Также даны (международные обозначения). Кристаллографические . группы, всего 32, представляют собой подмножество с порядками элементов 2, 3, 4 и 6 ^[4]

Инволюционная симметрия

Существует четыре инволюционные группы: отсутствие симметрии (C ₁ ), зеркальная симметрия ( C _s ), 2-кратная вращательная симметрия ( C ₂ ) и симметрия центральной точки ( C _i ).

Международный	Гео	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер	Заказ	Абстрактный
1	1	11	С ₁	С ₁	][ [ ] ⁺	1	З ₁
2	2	22	Д ₁ = С ₂	D_Д2 = С ₂	[2] ⁺	2	З ₂
1	22	×	C_Там = _С2	СС ₂	[2 ⁺,2 ⁺]	2	З ₂
2 = м	1	*	С _с = С _1в = С _1ч	±C ₁ = компакт-диск ₂	[ ]	2	З ₂

Циклическая симметрия

Существует четыре бесконечных циклических симметрий семейства с n = 2 или выше. ( n может быть равно 1 как особый случай отсутствия симметрии )

Международный	Гео	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер		Заказ	Абстрактный	Фонд. домен
4	42	2×	С ₄	СС ₄	[2 ⁺,4 ⁺]		4	З ₄
2/м	2 2	2*	С _{2 часа} = Д _1д	±C ₂ = ±D ₂	[2,2 ⁺] [2 ⁺,2]		4	З ₄

Международный	Гео	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер	Заказ	Абстрактный
2 3 4 5 6 н	2 3 4 5 6 н	22 33 44 55 66 пп	С ₂ С ₃ С ₄ С ₅ C_С6 С _н	С ₂ С ₃ С ₄ С ₅ C_С6 С _н	[2] ⁺ [3] ⁺ [4] ⁺ [5] ⁺ [6] ⁺ [н] ⁺	2 3 4 5 6 н	З ₂ З ₃ З ₄ Z_Z5 З ₆ З _н
2 мм 3m 4 мм 5 м 6 мм нм (n нечетно) нмм (n четное)	2 3 4 5 6 н	22 33 44 55 66 нн	С _{2 в} С _3В С _4В С _5В С _6в С _нв	компакт-диск ₄ компакт-диск ₆ компакт-диск ₈ компакт-диск ₁₀ компакт-диск ₁₂ компакт-диск _2н	[2] [3] [4] [5] [6] [н]	4 6 8 10 12 2н	Д ₄ Д ₆ Д ₈ Д ₁₀ Д ₁₂ Д _{2 н}
3 8 5 12 -	62 82 10.2 12.2 2н.2	3× 4× 5× 6× n×	S_S6 С ₈ С ₁₀ С ₁₂ С _2н	±C ₃ СС ₈ ±C ₅ СС ₁₂ CC _2n / ±C _n	[2 ⁺,6 ⁺] [2 ⁺,8 ⁺] [2 ⁺,10 ⁺] [2 ⁺,12 ⁺] [2 ⁺,2 н ⁺]	6 8 10 12 2н	З ₆ З ₈ З ₁₀ З ₁₂ З _{2 н}
3/м= 6 4/м 5/м = 10 6/м н/м	3 2 4 2 5 2 6 2 № 2	3* 4* 5* 6* н*	С _{3 часа} С _{4 часа} С _5ч С _{6 часов} С _нх	СС ₆ ±C ₄ СС ₁₀ ±C ₆ ±C _н / CC _2n	[2,3 ⁺] [2,4 ⁺] [2,5 ⁺] [2,6 ⁺] [2,н ⁺]	6 8 10 12 2н	З ₆ Z ₂×Z ₄ З ₁₀ Z ₂×Z ₆ Z ₂×Z _n ≅Z _{2 n} (нечетное n )

Двугранная симметрия

Существует три бесконечных двугранных симметрий семейства с n = 2 или выше ( n в частном случае может быть равно 1).

Международный	Гео	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер	Заказ	Абстрактный
222	2 . 2	222	D_Д2	Д ₄	[2,2] ⁺	4	Д ₄
4 2 м	4 2	2*2	Д _2д	ДД ₈	[2 ⁺,4]	8	Д ₄
М-м-м	22	*222	Д _{2 часа}	±D ₄	[2,2]	8	Z ₂×D ₄

Международный	Гео	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер	Заказ	Абстрактный
32 422 52 622	3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 н . 2	223 224 225 226 22н	Д ₃ Д ₄ Д ₅ Д ₆ Д _н	Д ₆ Д ₈ Д ₁₀ Д ₁₂ Д _2н	[2,3] ⁺ [2,4] ⁺ [2,5] ⁺ [2,6] ⁺ [2, н ] ⁺	6 8 10 12 2 н	Д ₆ Д ₈ Д ₁₀ Д ₁₂ Д _{2 н}
3 m 8 2м 5 м 1212,2 м	6 2 8 2 10. 2 12. 2 № 2	23 24 25 26 2*н	Д _3д Д _4д Д _5д Д _6д Д _нд	±D ₆ ДД ₁₆ ±D ₁₀ ДД ₂₄ ДД _4н /±Д _2н	[2 ⁺,6] [2 ⁺,8] [2 ⁺,10] [2 ⁺,12] [2 ⁺,2n]	12 16 20 24 4n	Д ₁₂ D ₁₆ Д ₂₀ Д ₂₄ Д _{4 н}
6 м2 4/ммм 10 м2 6/ммм	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22н	Д _{3 часа} Д _{4 часа} Д _5ч Д _6ч Д _нх	ДД ₁₂ ±D ₈ ЛО ₂₀ ±D ₁₂ ±Д _2н /ДД _4н	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2, н]	12 16 20 24 4n	Д ₁₂ Z ₂×D ₈ Д ₂₀ Z ₂×D ₁₂ Z ₂×D _{2 n} ≅D _{4 n} (нечетное n )

Полиэдральная симметрия

Существует три типа многогранной симметрии : тетраэдрическая симметрия , октаэдрическая симметрия и икосаэдрическая симметрия с треугольными гранями, , названная в честь правильных многогранников обладающих этой симметрией.

Тетраэдрическая симметрия
Международный	Гео	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер	Заказ	Абстрактный
23	3 . 3	332	Т	Т	[3,3] ⁺	12	A ₄
m 3	4 3	3*2	Т _ч	±T	[4,3 ⁺]	24	2× A ₄
4 3м	33	*332	Т _д	К	[3,3]	24	С ₄

Октаэдрическая симметрия
Международный	Гео	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер	Заказ	Абстрактный	Фонд. домен
432	4 . 3	432	ТО	ТО	[4,3] ⁺	24	С ₄
м 3 м	43	*432	Ой	±O	[4,3]	48	2× S ₄

Икосаэдрическая симметрия
Международный	Гео	Орбифолд	Шенфлис	Конвей	Коксетер	Заказ	Абстрактный	Фонд. домен
532	5 . 3	532	я	я	[5,3] ⁺	60	A_А5
53 2/м	53	*532	I _h	±I	[5,3]	120	2× A ₅

Непрерывные симметрии

Все дискретные точечные симметрии являются подгруппами некоторых непрерывных симметрий. Их можно классифицировать как произведения ортогональных групп O( n ) или специальных ортогональных групп SO( n ). O(1) представляет собой одиночное ортогональное отражение, диэдральный порядок симметрии 2, Dih ₁ . SO(1) — это просто тождество. полуобороты C ₂ Для завершения необходимы .

Группы 3 ранга	Другие имена	Пример геометрии	Пример конечных подгрупп
О(3)		Полная симметрия сферы	[3,3] = , [4,3] = , [5,3] = [4,3 ⁺] =
ТАК(3)	Сферная группа	Вращательная симметрия	[3,3] ⁺ = , [4,3] ⁺ = , [5,3] ⁺ =
О (2) × О (1) О(2)⋊С ₂	Dih _∞×Dih ₁ Dih _∞⋊C ₂	Полная симметрия сфероида , тора , цилиндра , биконуса или гиперболоида . Полная круговая симметрия с полуповоротом.	[ п ,2] = [ п ]×[ ] = [2 п , 2 ⁺] = , [2 р ⁺,2 ⁺] =
ТАК(2)×О(1)	C _∞×Dih ₁	Вращательная симметрия с отражением	[ п ⁺,2] = [ п ] ⁺×[ ] =
ТАК(2) _⋊С2	C _∞⋊C ₂	Вращательная симметрия с полуповоротом	[ п ,2] ⁺ =
О(2)×SO(1)	Dih _∞ Круговая симметрия	Полная симметрия полусферы, конуса , параболоида. или любая поверхность вращения	[ п ,1] = [ п ] =
ТАК (2) × ТАК (1)	C _∞ Группа кругов	Вращательная симметрия	[ п ,1] ⁺ = [ п ] ⁺ =

См. также

Ссылки

^ Джонсон, 2015 г.
^ Конвей, Джон Х. (2008). Симметрия вещей . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс. ISBN 978-1-56881-220-5 . OCLC 181862605 .
^ Конвей, Джон; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . Натик, Массачусетс: АК Питерс. ISBN 978-1-56881-134-5 . OCLC 560284450 .
^ Сэндс, «Введение в кристаллографию», 1993 г.

Дальнейшее чтение

Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), Приложение I.
Сэндс, Дональд Э. (1993). «Кристаллические системы и геометрия». Введение в кристаллографию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 165. ИСБН 0-486-67839-3 .
О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит. ISBN 978-1-56881-134-5
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559–591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , Таблица 11.4 Конечные группы изометрий в трехмерном пространстве

Внешние ссылки

[1] Джонсон, 2015 г.

[Conway_2008-2] Конвей, Джон Х. (2008). Симметрия вещей . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс. ISBN 978-1-56881-220-5 . OCLC 181862605 .

[Conway_2003-3] Конвей, Джон; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия . Натик, Массачусетс: АК Питерс. ISBN 978-1-56881-134-5 . OCLC 560284450 .

[4] Сэндс, «Введение в кристаллографию», 1993 г.

[1]

[2]

[3]

[4]