Бесконечный продукт

В математике для последовательности комплексных чисел a ₁ , a ₂ , a ₃ ... бесконечное произведение

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots

определяется как предел частичных произведений a ₁ a ₂ ... a _n при n неограниченном увеличении . Говорят, что произведение сходится , когда предел существует и не равен нулю. В противном случае говорят, что произведение расходится . Нулевой предел рассматривается специально для того, чтобы получить результаты, аналогичные результатам для бесконечных сумм . Некоторые источники допускают сходимость к 0, если имеется только конечное число нулевых множителей и произведение ненулевых множителей не равно нулю, но для простоты мы не допустим этого здесь. Если произведение сходится, то предел последовательности an _должен при неограниченном увеличении n быть равен 1, а обратное, вообще говоря, неверно.

Наиболее известными примерами бесконечных произведений, вероятно, являются некоторые формулы для π , такие как следующие два произведения соответственно Виета ( формула Вьета , первое опубликованное бесконечное произведение в математике) и Джона Уоллиса ( произведение Уоллиса ):

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}

{\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).

Критерии сходимости

Произведение положительных действительных чисел

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}

сходится к ненулевому действительному числу тогда и только тогда, когда сумма

\sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})

сходится. Это позволяет перевести критерии сходимости бесконечных сумм в критерии сходимости бесконечных произведений. если под логарифмом понимается фиксированная ветвь логарифма , удовлетворяющая условию ln(1) = 0, с оговоркой, что бесконечное произведение расходится, когда бесконечно много n _{Тот же критерий применим к произведениям произвольных комплексных чисел (включая отрицательные действительные числа) ,} выходят за пределы область определения ln, тогда как конечное число таких можно _n не учитывать в сумме.

Если мы определим $a_{n}=1+p_{n}$ , границы

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

покажите, что бесконечное произведение n _{сходится ,} бесконечная сумма pn _. если сходится Это основано на теореме о монотонной сходимости . Мы можем показать обратное, заметив, что, если $p_{n}\to 0$ , затем

\lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1,

и из теста сравнения пределов следует, что две серии

\sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }p_{n},

эквивалентны, что означает, что они либо сходятся, либо расходятся.

Если сериал ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ расходится к $-\infty$ , то последовательность частичных произведений a _n сходится к нулю. Говорят, что бесконечное произведение стремится к нулю . ^{[ 1 ]}

Для случая, когда $p_{n}$ имеют произвольные знаки, сходимость суммы ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ не гарантирует сходимость продукта ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ . Например, если $p_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$ , затем ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ сходится, но ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ расходится к нулю. Однако, если ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|}$ сходится, то произведение ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ сходится абсолютно , то есть множители можно переставлять в любом порядке, не изменяя ни сходимости, ни предельного значения бесконечного произведения. ^{[ 2 ]} Кроме того, если ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}}$ сходится, то сумма ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ и продукт ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ либо оба сходятся, либо оба расходятся. ^{[ 3 ]}

Представления функций продукта

Одним из важных результатов, касающихся бесконечных произведений, является то, что каждую целую функцию f ( z ) (то есть любую функцию, голоморфную на всей комплексной плоскости ) можно разложить на бесконечное произведение целых функций, каждая из которых имеет не более одного корня. В общем, если f имеет корень порядка m в начале координат и имеет другие комплексные корни в точках u ₁ , u ₂ , u ₃ , ... (перечислены с кратностями, равными их порядкам), то

f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace

где λ _n — целые неотрицательные числа, которые можно выбрать так, чтобы произведение сходилось, и $\phi (z)$ — некоторая целая функция (что означает, что член перед произведением не будет иметь корней в комплексной плоскости). Приведенная выше факторизация не является единственной, поскольку она зависит от выбора значений λ _n . Однако для большинства функций будет некоторое минимальное неотрицательное целое число p такое, что λ _n = p дает сходящийся продукт, называемый каноническим представлением продукта . Это p называется рангом канонического произведения. В случае p = 0 это принимает вид

f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).

Это можно рассматривать как обобщение основной теоремы алгебры , поскольку для многочленов произведение становится конечным и $\phi (z)$ является постоянным.

Помимо этих примеров, следует особо отметить следующие представления:

Функция	Бесконечное представление продуктов	Примечания
Простой столб	${\begin{aligned}{\frac {1}{1-z}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{z^{n}/n}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)\end{aligned}}$
Функция Sinc	${\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)$	Это связано с Эйлером . Формула Уоллиса для π является частным случаем этого.
Обратная гамма-функция	${\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}$	Шлёмильх ^{[ нужны разъяснения ]}
Сигма-функция Вейерштрасса	$\sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}$	Здесь $\Lambda _{*}$ есть решетка без начала координат.
Символ Q-Поххаммера	$(z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})$	Широко используется в q-аналоговой теории. Функция Эйлера является частным случаем.
Тета-функция Рамануджана	${\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}$	Выражение тройного произведения Якоби , также используемое в выражении тета-функции Якоби.
Дзета-функция Римана	$\zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}$	Здесь p _n обозначает n- е простое число . Это частный случай произведения Эйлера .

Последнее из них не является представлением произведения того же типа, который обсуждался выше, поскольку ζ не является целым. Скорее, приведенное выше представление произведения ζ ( z ) сходится точно для Re ( z ) > 1, где это аналитическая функция. С помощью техники аналитического продолжения эта функция может быть однозначно расширена до аналитической функции (все еще обозначаемой ζ ( z )) на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 1, где она имеет простой полюс .

См. также

Ссылки

^ Джеффрис, Гарольд ; Джеффрис, Берта Свирлз (1999). Методы математической физики . Кембриджская математическая библиотека (3-е исправленное изд.). Издательство Кембриджского университета . п. 52. ИСБН 1107393671 .
^ Тренч, Уильям Ф. (1999). «Условная сходимость бесконечных произведений» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 106 (7): 646–651. дои : 10.1080/00029890.1999.12005098 . Проверено 10 декабря 2018 г.
^ Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов . Лондон: Blackie & Son Ltd.

Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов . Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-66165-0 .
Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Бостон: МакГроу Хилл . ISBN 0-07-054234-1 .
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-61272-0 .

Внешние ссылки

[1] Джеффрис, Гарольд ; Джеффрис, Берта Свирлз (1999). Методы математической физики . Кембриджская математическая библиотека (3-е исправленное изд.). Издательство Кембриджского университета . п. 52. ИСБН 1107393671 .

[Trench1999-2] Тренч, Уильям Ф. (1999). «Условная сходимость бесконечных произведений» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 106 (7): 646–651. дои : 10.1080/00029890.1999.12005098 . Проверено 10 декабря 2018 г.

[Knopp-3] Кнопп, Конрад (1954). Теория и применение бесконечных рядов . Лондон: Blackie & Son Ltd.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]