Тетраэдрическая симметрия

Выбранные группы точек в трех измерениях
Группа многогранников , [n,3], (*n32)
Инволюционная симметрия С ₎ , (* [ ] =	Циклическая симметрия C _нв , (*nn) [н] =	Двугранная симметрия Днх _, (*n22) [п,2] =
Тетраэдрическая симметрия Т _д , (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия О _х , (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I _h, (*532) [5,3] =

Правильный тетраэдр — пример твердого тела с полной тетраэдрической симметрией.

Правильный тетраэдр имеет 12 вращательных (или сохраняющих ориентацию ) симметрий и порядок симметрии 24, включая преобразования, сочетающие в себе отражение и вращение.

Группа всех (не обязательно сохраняющих ориентацию) симметрий изоморфна группе S ₄ , симметричной группе перестановок четырех объектов, поскольку для каждой перестановки вершин тетраэдра существует ровно одна такая симметрия. Набор симметрий, сохраняющих ориентацию, образует группу, называемую знакопеременной подгруппой A ₄ группы S ₄ .

Подробности

Киральная и полная (или ахиральная тетраэдрическая симметрия и пиритоэдрическая симметрия ) представляют собой дискретные точечные симметрии (или, что то же самое, симметрии на сфере ). Они относятся к кристаллографическим точечным группам кубической кристаллической системы .

оси вращения
С ₃	С ₃	С ₂
2	2	3

Если смотреть в стереографической проекции, края тетракис-гексаэдра образуют на плоскости 6 кругов (или центрально-радиальных линий). Каждый из этих шести кругов представляет собой зеркальную линию тетраэдрической симметрии. Пересечение этих кругов встречается в точках вращения 2 и 3 порядка.

Ортогональный	Стереографические проекции
Ортогональный	4-кратный	3-кратный	2-кратный
Киральная тетраэдрическая симметрия, T, (332), [3,3] ⁺ = [1 ⁺,4,3 ⁺], =

Пиритоэдрическая симметрия, T _h , (3*2), [4,3 ⁺],

Ахиральная тетраэдрическая симметрия, T _d , (*332), [3,3] = [1 ⁺4,3], =

Киральная тетраэдрическая симметрия

Тетраэдрическая группа вращения T с фундаментальной областью ; о триакис-тетраэдре см. ниже, последний представляет собой одну полную грань	Тетраэдр только можно разместить в 12 различных положениях путем вращения . Они проиллюстрированы выше в формате циклического графика , а также повороты ребра на 180 ° (синие стрелки) и повороты вершин на 120 ° (красноватые стрелки), которые переставляют тетраэдр через эти положения.	В тетракис-гексаэдре одна полная грань является фундаментальной областью; другие твердые тела с такой же симметрией можно получить, регулируя ориентацию граней, например, сглаживая выбранные подмножества граней для объединения каждого подмножества в одну грань, или заменяя каждую грань несколькими гранями или искривленной поверхностью.

Т , 332 , [3,3] ⁺, или 23 , порядка 12 – киральная или вращательная тетраэдрическая симметрия . Существует три ортогональные оси вращения 2-го порядка, как, например, киральная диэдральная симметрия D ₂ или 222, а также четыре оси 3-го порядка, центрированные между тремя ортогональными направлениями. Эта группа изоморфна A ; ₄ , знакопеременной группе из 4 элементов на самом деле это группа четных перестановок четырех трехмерных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243). , (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Классы сопряжения T:

личность
4 × поворот на 120° по часовой стрелке (вид из вершины): (234), (143), (412), (321)
4 × поворот на 120° против часовой стрелки (то же самое)
3 × поворот на 180°

Повороты на 180° вместе с тождеством образуют нормальную подгруппу типа Dih ₂ с факторгруппой типа Z ₃ . Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка, сохраняющих ориентацию.

A ₄ — наименьшая группа, демонстрирующая, что обратная теорема Лагранжа в общем случае неверна: дана конечная группа G и делитель d группы | G |, не обязательно существует подгруппа G с порядком d : группа G = A ₄ не имеет подгруппы порядка 6. Хотя это свойство абстрактной группы в целом, это ясно из группы изометрий киральной тетраэдрическая симметрия: из-за киральности подгруппа должна быть C ₆ или D ₃ , но ни то, ни другое не применимо.

Подгруппы киральной тетраэдрической симметрии

Обувь.	Коксетер		Орб.	ХМ	Генераторы	Структура	Заказ	Индекс
Т	[3,3] ⁺	=	332	23	2	A ₄	12	1
D_Д2	[2,2] ⁺	=	222	222	3	Д ₄	4	3
С ₃	[3] ⁺		33	3	1	З ₃	3	4
С ₂	[2] ⁺		22	2	1	З ₂	2	6
С ₁	[ ] ⁺		11	1	1	З ₁	1	12

Ахиральная тетраэдрическая симметрия

T _d , *332 , [3,3] или 4 3m, порядка 24 – ахиральная или полная тетраэдрическая симметрия , также известная как (2,3,3) группа треугольников . Эта группа имеет те же оси вращения, что и Т, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая через две оси тройного порядка. Оси 2-го порядка теперь являются осями S ₄ ( 4 ). T _d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S ₄ , симметричной группе из 4 объектов. T _d — объединение T и множества, полученного объединением каждого элемента O \ T с инверсией. См. также изометрии правильного тетраэдра .

Классы сопряжения T _d :

личность
8 × поворот на 120° (C ₃ )
3 × поворот на 180° (C ₂ )
6 × отражение в плоскости через две оси вращения (C _s )
6 × поворот ротора на 90° (S ₄ )

Подгруппы ахиральной тетраэдрической симметрии

Обувь.	Коксетер	Орб.	ХМ	Генераторы	Структура	Заказ	Индекс
Т _д	[3,3]	*332	4 3м	3	С ₄	24	1
С _3В	[3]	*33	3m	2	Д ₆ =С ₃	6	4
С _{2 в}	[2]	*22	мм2	2	Д ₄	4	6
С _с	[ ]	*	2 или м	1	З ₂ = Д ₂	2	12
Д _2д	[2 ⁺,4]	2*2	4 2 м	2	Д ₈	8	3
С ₄	[2 ⁺,4 ⁺]	2×	4	1	З ₄	4	6
Т	[3,3] ⁺	332	23	2	A ₄	12	2
D_Д2	[2,2] ⁺	222	222	2	Д ₄	4	6
С ₃	[3] ⁺	33	3	1	Z3 = _А3	3	8
С ₂	[2] ⁺	22	2	1	З ₂	2	12
С ₁	[ ] ⁺	11	1	1	З ₁	1	24

Пиритоэдрическая симметрия

Т _ч , 3*2 , [4,3 ⁺] или м 3 , порядка 24 – пиритоэдрическая симметрия . ^[1] Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, с зеркальными плоскостями в двух ортогональных направлениях. Оси 3-го порядка теперь являются осями S ₆ ( 3 ), и существует центральная инверсионная симметрия. Th _либо изоморфен T × Z ₂ : каждый элемент Th _{является} элементом T, либо элементом, объединенным с инверсией. Помимо этих двух нормальных подгрупп, существует еще нормальная подгруппа D ₍ кубовидная 2 ) типа Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z _2h × Z ₂ . Это прямое произведение нормальной подгруппы группы T (см. выше) на C _i . Факторгруппа та же , что и выше: типа Z ₃ . Три элемента последнего - это идентичность, «вращение по часовой стрелке» и «вращение против часовой стрелки», соответствующие перестановкам трех ортогональных осей 2-го порядка, сохраняющих ориентацию.

Это симметрия куба, на каждой грани которого имеется отрезок линии, разделяющий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки соседних граней не пересекаются на краях. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и тому же в сочетании с инверсией. Это также симметрия пиритоэдра , который чрезвычайно похож на описанный куб, в котором каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии и 4 равными сторонами и 1 разной стороной (той, которая соответствует отрезку линии, разделяющему грань куба) ; т. е. грани куба выпирают на разделительной линии и сужаются там. Это подгруппа полной группы икосаэдрической симметрии (как группы изометрии, а не просто как абстрактной группы) с 4 из 10 осями 3-го порядка.

Классы сопряжения Th _{включают} классы T с объединением двух классов из 4, каждый с инверсией:

личность
8 × поворот на 120° (C ₃ )
3 × поворот на 180° (C ₂ )
инверсия (S ₂ )
8 × роторное отражение на 60° (S ₆ )
3 × отражение в плоскости (C _s )

Подгруппы пиритоэдрической симметрии

Обувь.	Коксетер	Орб.	ХМ	Генераторы	Структура	Заказ	Индекс
Т _ч	[3 ⁺,4]	3*2	m 3	2	A ₄×Z ₂	24	1
Д _{2 часа}	[2,2]	*222	М-м-м	3	D ₄×D ₂	8	3
С _{2 в}	[2]	*22	мм2	2	Д ₄	4	6
С _с	[ ]	*	2 или м	1	D_Д2	2	12
С _{2 часа}	[2 ⁺,2]	2*	2/м	2	Z ₂×D ₂	4	6
S_S2	[2 ⁺,2 ⁺]	×	1	1	З ₂	2	12
Т	[3,3] ⁺	332	23	2	A ₄	12	2
Д ₃	[2,3] ⁺	322	3	2	Д ₆	6	4
D_Д2	[2,2] ⁺	222	222	3	Д ₈	4	6
С ₃	[3] ⁺	33	3	1	З ₃	3	8
С ₂	[2] ⁺	22	2	1	З ₂	2	12
С ₁	[ ] ⁺	11	1	1	З ₁	1	24

Твердые тела с киральной тетраэдрической симметрией

Икосаэдр, окрашенный как курносый тетраэдр, обладает киральной симметрией.

Твердые тела с полной тетраэдрической симметрией

Сорт	Имя	Лица	Края	Вершины
Платоново твердое тело	тетраэдр	4	6	4
Архимедово тело	усеченный тетраэдр	8	18	12
Каталонский солид	триакис тетраэдр	12	18	8
Почти промах Джонсон твердый	Усеченный триакис тетраэдр	16	42	28
Почти промах Джонсон твердый	Тетрированный додекаэдр	28	54	28
Однородный звездчатый многогранник	Тетрагемишестиэдр	7	12	6

См. также

Цитаты

^ Коча и др. 2016 .

Ссылки

Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), с. 295
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера
Коджа, Назифе; Аль-Мухаини, Аида; Коджа, Мехмет; Аль Каноби, Амаль (1 декабря 2016 г.). «Симметрия пиритоэдра и решеток» . Научный журнал Университета Султана Кабуса [SQUJS] . 21 (2): 139. doi : 10.24200/squjs.vol21iss2pp139-149 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдрическая группа» . Математический мир .
Учебные материалы, связанные с симметричной группой S4, в Викиверситете

[FOOTNOTEKocaAl-MukhainiKocaAl_Qanobi2016-1] Коча и др. 2016 .

[1]