Фильтры сетевого синтеза

При сигналов обработке фильтры сетевого синтеза — это фильтры, разработанные методом сетевого синтеза . Этот метод позволил создать несколько важных классов фильтров, включая фильтр Баттерворта , фильтр Чебышева и эллиптический фильтр . Первоначально он был предназначен для применения при разработке пассивных линейных аналоговых фильтров , но его результаты также могут быть применены к реализации в активных и цифровых фильтрах . Суть метода заключается в получении значений составляющих фильтра из заданной рациональной функции, представляющей искомую передаточную функцию .

Описание метода

Метод можно рассматривать как обратную задачу сетевого анализа . Сетевой анализ начинается с сети и путем применения различных теорем об электрических цепях прогнозирует реакцию сети. С другой стороны, сетевой синтез начинается с желаемого ответа, и его методы создают сеть, которая выводит этот ответ или приближается к нему. ^{[ 1 ]}

Первоначально сетевой синтез был предназначен для создания фильтров, которые раньше назывались волновыми фильтрами , но теперь обычно называются просто фильтрами. То есть фильтры, цель которых — пропускать волны одних частот и отсекать волны других частот. Синтез сети начинается с задания передаточной функции фильтра H(s) как функции комплексной частоты s. Это используется для создания выражения для входного импеданса фильтра (импеданса ведущей точки), которое затем в результате процесса непрерывного дробного или частичного расширения приводит к требуемым значениям компонентов фильтра. В цифровой реализации фильтра H(s) можно реализовать напрямую. ^{[ 2 ]}

Преимущества метода лучше всего понять, сравнив его с методологией проектирования фильтров , которая использовалась до него, — методом изображений . Метод изображения рассматривает характеристики отдельного участка фильтра в бесконечной цепочке ( лестничной топологии ) одинаковых участков. Фильтры , изготовленные этим методом, страдают от неточностей из-за теоретического согласующего импеданса, импеданса изображения , который обычно не равен фактическому согласующему сопротивлению. В фильтрах сетевого синтеза оконечные нагрузки включаются в проект с самого начала. Метод изображения также требует определенного опыта от дизайнера. Проектировщик должен сначала решить, сколько секций и какого типа следует использовать, а затем после расчета получить передаточную функцию фильтра. Это может быть не то, что требуется, и может потребоваться несколько итераций. С другой стороны, метод сетевого синтеза начинается с требуемой функции и на выходе генерирует разделы, необходимые для построения соответствующего фильтра. ^{[ 2 ]}

Как правило, секции фильтра сетевого синтеза имеют идентичную топологию (обычно самый простой лестничный тип), но в каждой секции используются разные значения компонентов. Напротив, структура фильтра изображений имеет одинаковые значения в каждой секции как следствие подхода бесконечной цепочки, но может изменять топологию от секции к секции для достижения различных желаемых характеристик. В обоих методах используются прототипы фильтров нижних частот с последующим преобразованием частоты и масштабированием импеданса для получения окончательного желаемого фильтра. ^{[ 2 ]}

Важные классы фильтров

Класс фильтра относится к классу полиномов, из которых математически получен фильтр. Порядок фильтра — это количество элементов фильтра, присутствующих в реализации лестницы фильтра. Вообще говоря, чем выше порядок фильтра, тем круче переход отсечки между полосой пропускания и полосой задерживания. Фильтры часто называют в честь математика или математики, на которых они основаны, а не в честь первооткрывателя или изобретателя фильтра.

Фильтр Баттерворта

Фильтры Баттерворта описываются как максимально плоские, что означает, что отклик в частотной области представляет собой максимально гладкую кривую из всех классов фильтров эквивалентного порядка. ^{[ 3 ]}

Класс фильтров Баттерворта был впервые описан в статье британского инженера Стивена Баттерворта в 1930 году , в честь которого он назван. Отклик фильтра описывается полиномами Баттерворта , также принадлежащими Баттерворту. ^{[ 4 ]}

фильтр Чебышева

Фильтр Чебышева имеет более быстрый переход среза, чем фильтр Баттерворта, но за счет этого возникают пульсации частотной характеристики полосы пропускания. Необходимо найти компромисс между максимально допустимым затуханием в полосе пропускания и крутизной характеристики среза. Его также иногда называют фильтром Чебышева типа I, причем тип 2 представляет собой фильтр без пульсаций в полосе пропускания, но с пульсациями в полосе задерживания. Фильтр назван в честь Пафнутия Чебышева, чьи полиномы Чебышева используются при выводе передаточной функции. ^{[ 3 ]}

фильтр Кауэра

Фильтры Кауэра имеют одинаковую максимальную пульсацию в полосе пропускания и полосе задерживания. Фильтр Кауэра имеет более быстрый переход от полосы пропускания к полосе задерживания, чем любой другой класс фильтров сетевого синтеза. Термин «фильтр Кауэра» можно использовать взаимозаменяемо с эллиптическим фильтром, но в общем случае эллиптические фильтры могут иметь неравную пульсацию в полосе пропускания и полосе задерживания. Эллиптический фильтр в пределе нулевой пульсации в полосе пропускания идентичен фильтру Чебышева 2-го типа. Эллиптический фильтр в пределе нулевой пульсации в полосе задерживания идентичен фильтру Чебышева типа 1. Эллиптический фильтр в пределе нулевой пульсации в обеих полосах пропускания идентичен фильтру Баттерворта. Фильтр назван в честь Вильгельма Кауэра , а передаточная функция основана на эллиптических рациональных функциях . ^{[ 5 ]} В фильтрах типа Кауэра используются обобщенные цепные дроби . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Фильтр Бесселя

Фильтр Бесселя имеет максимально плоскую временную задержку ( групповую задержку ) в своей полосе пропускания. Это придает фильтру линейную фазовую характеристику и позволяет передавать сигналы с минимальными искажениями. Фильтр Бесселя имеет минимальные искажения во временной области из-за зависимости фазы от частоты, в отличие от фильтра Баттерворта, который имеет минимальные искажения в частотной области из-за реакции затухания с частотой. Фильтр Бесселя назван в честь Фридриха Бесселя , а передаточная функция основана на полиномах Бесселя . ^{[ 9 ]}

Сопротивление движущейся точки

ведущей точки Импеданс — это математическое представление входного сопротивления фильтра в частотной области с использованием одного из ряда обозначений, таких как преобразование Лапласа (s-домен) или преобразование Фурье ( jω-домен ). Рассматривая его как однопортовую сеть, выражение расширяется с использованием разложения в непрерывную дробь или частичную дробь . Полученное расширение преобразуется в сеть (обычно лестничную) электрических элементов. Получение выходного сигнала с конца этой сети, реализованной таким образом, преобразует его в двухпортовый сетевой фильтр с желаемой передаточной функцией. ^{[ 1 ]}

Не все возможные математические функции для импеданса точки возбуждения можно реализовать с использованием реальных электрических компонентов. Вильгельм Кауэр (продолжение Р.М. Фостера) ^{[ 10 ]}) проделал большую часть ранней работы над тем, какие математические функции могут быть реализованы и в каких топологиях фильтров . Повсеместная лестничная топология конструкции фильтров названа в честь Кауэра. ^{[ 11 ]}

Существует ряд канонических форм импеданса движущей точки, которые можно использовать для выражения всех (кроме самых простых) реализуемых импедансов. Наиболее известные из них: ^{[ 12 ]}

Первая форма импеданса точки возбуждения Кауэра состоит из лестницы из шунтирующих конденсаторов и последовательных индукторов и наиболее полезна для фильтров нижних частот .
Вторая форма импеданса точки возбуждения Кауэра состоит из лестницы последовательных конденсаторов и шунтирующих катушек индуктивности и наиболее полезна для фильтров верхних частот .
импеданса точки возбуждения Фостера Первая форма состоит из параллельно соединенных LC-резонаторов (последовательные LC-цепи) и наиболее полезна для полосовых фильтров .
импеданса точки возбуждения Фостера Вторая форма состоит из последовательно соединенных LC-антирезонаторов (параллельных LC-цепей) и наиболее полезна для полосовых фильтров .

Дальнейшая теоретическая работа по реализуемым фильтрам с точки зрения заданной рациональной функции в качестве передаточной функции была проведена Отто Брюном в 1931 году. ^{[ 13 ]} и Ричард Даффин с Раулем Боттом в 1949 году. ^{[ 14 ]} Работа была подытожена в 2010 году Джоном Х. Хаббардом . ^{[ 15 ]} Когда передаточная функция задана как положительно-действительная функция (набор положительных действительных чисел инвариантен относительно передаточной функции), то сеть пассивных компонентов (резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов) может быть спроектирована с использованием этой передаточной функции.

Фильтры-прототипы

Фильтры-прототипы используются для того, чтобы сделать процесс проектирования фильтров менее трудоемким. Прототип обычно проектируется как фильтр нижних частот с единичным номинальным сопротивлением и единичной частотой среза , хотя возможны и другие схемы. Полные расчеты конструкции с использованием соответствующих математических функций и полиномов выполняются только один раз. Фактически требуемый фильтр получается в результате масштабирования и преобразования прототипа. ^{[ 16 ]}

Значения элементов прототипа публикуются в таблицах, одна из первых принадлежит Сидни Дарлингтону . ^{[ 17 ]} Как современные вычислительные мощности, так и практика непосредственной реализации передаточных функций фильтров в цифровой сфере в значительной степени сделали эту практику устаревшей.

Для каждого порядка фильтров в каждом классе требуется отдельный прототип. Для тех классов, в которых присутствует пульсация затухания, для каждого значения пульсации требуется свой прототип. Один и тот же прототип может быть использован для изготовления фильтров, форма полосы которых отличается от прототипа. Например , фильтры нижних частот , верхних частот , полосовые и полосовые фильтры могут быть изготовлены на основе одного и того же прототипа. ^{[ 18 ]}

См. также

Линейный фильтр

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Э. Кауэр, стр. 4
^ Jump up to: ^а ^б ^с Мэтью, стр. 83-84.
^ Jump up to: ^а ^б Мэтью и др., стр. 85–108.
^ Баттерворт, С., «К теории усилителей с фильтрами», Wireless Engineer , vol. 7 , 1930, стр. 536–541.
^ Мэтью, стр.95
^ Фрай, ТК (1929). «Применение цепных дробей при проектировании электрических сетей» . Бык. амер. Математика. Соц . 35 (4): 463–498. дои : 10.1090/s0002-9904-1929-04747-5 . МР 1561770 .
^ Милтон. ГВ (1987). «Многокомпонентные композиты сетей и новые виды цепных дробей. I» . Коммун. Математика. Физ . 111 (2): 281–327. Бибкод : 1987CMaPh.111..281M . дои : 10.1007/bf01217763 . МР 0899853 . S2CID 120984103 .
^ Милтон. ГВ (1987). «Многокомпонентные композиции сетей и новые виды цепных дробей. II» . Коммун. Математика. Физ . 111 (3): 329–372. Бибкод : 1987CMaPh.111..329M . дои : 10.1007/bf01238903 . МР 0900499 . S2CID 189830750 .
^ Мэтью, стр. 108-113.
^ Фостер, Р.М., «Теорема о реактивном сопротивлении», Технический журнал Bell System , том 3 , стр. 259-267, 1924.
^ Э. Кауэр, стр.1
^ Дарлингтон, С., «История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов», IEEE Trans. Схемы и системы , том 31 , стр. 6, 1984.
^ Отто Брюн (1931) «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты», Журнал MIT Journal of Mathematics and Physics , Том 10, стр. 191–236
^ Ричард Даффин и Рауль Ботт , «Синтез импеданса без использования трансформаторов», Журнал прикладной физики 20:816
^ Джон Х. Хаббард (2010) «Синтез электрических цепей Ботта-Даффина», стр. 33–40 в «Праздновании математического наследия Рауля Ботта» , редактор П. Роберта Котюги, CRM Proceedings and Lecture Notes # 50, American Mathematical Общество
^ Мэтью, стр. 83
^ Дарлингтон, С., «Синтез 4-полюсных реактивных сопротивлений, которые обеспечивают заданные характеристики вносимых потерь», Jour. Математика. и физ. , Том 18 , стр. 257–353, сентябрь 1939 г.
^ Примеры см. у Мэтью.

Ссылки

Маттеи, Янг, Джонс, Микроволновые фильтры, сети согласования импедансов и структуры связи , McGraw-Hill, 1964.
Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900–1945)», Труды четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г. Получено онлайн 19 сентября 2008 г.

[Cauer4-1] Jump up to: ^а ^б Э. Кауэр, стр. 4

[Matt83-2] Jump up to: ^а ^б ^с Мэтью, стр. 83-84.

[Matt85-3] Jump up to: ^а ^б Мэтью и др., стр. 85–108.

[4] Баттерворт, С., «К теории усилителей с фильтрами», Wireless Engineer , vol. 7 , 1930, стр. 536–541.

[5] Мэтью, стр.95

[6] Фрай, ТК (1929). «Применение цепных дробей при проектировании электрических сетей» . Бык. амер. Математика. Соц . 35 (4): 463–498. дои : 10.1090/s0002-9904-1929-04747-5 . МР 1561770 .

[7] Милтон. ГВ (1987). «Многокомпонентные композиты сетей и новые виды цепных дробей. I» . Коммун. Математика. Физ . 111 (2): 281–327. Бибкод : 1987CMaPh.111..281M . дои : 10.1007/bf01217763 . МР 0899853 . S2CID 120984103 .

[8] Милтон. ГВ (1987). «Многокомпонентные композиции сетей и новые виды цепных дробей. II» . Коммун. Математика. Физ . 111 (3): 329–372. Бибкод : 1987CMaPh.111..329M . дои : 10.1007/bf01238903 . МР 0900499 . S2CID 189830750 .

[9] Мэтью, стр. 108-113.

[10] Фостер, Р.М., «Теорема о реактивном сопротивлении», Технический журнал Bell System , том 3 , стр. 259-267, 1924.

[11] Э. Кауэр, стр.1

[12] Дарлингтон, С., «История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов», IEEE Trans. Схемы и системы , том 31 , стр. 6, 1984.

[13] Отто Брюн (1931) «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты», Журнал MIT Journal of Mathematics and Physics , Том 10, стр. 191–236

[14] Ричард Даффин и Рауль Ботт , «Синтез импеданса без использования трансформаторов», Журнал прикладной физики 20:816

[15] Джон Х. Хаббард (2010) «Синтез электрических цепей Ботта-Даффина», стр. 33–40 в «Праздновании математического наследия Рауля Ботта» , редактор П. Роберта Котюги, CRM Proceedings and Lecture Notes # 50, American Mathematical Общество

[16] Мэтью, стр. 83

[17] Дарлингтон, С., «Синтез 4-полюсных реактивных сопротивлений, которые обеспечивают заданные характеристики вносимых потерь», Jour. Математика. и физ. , Том 18 , стр. 257–353, сентябрь 1939 г.

[18] Примеры см. у Мэтью.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]