Теорема Ландвебера о точной функции

В математике точная теорема о функторе Ландвебера , названная в честь Питера Ландвебера , является теоремой в алгебраической топологии . Известно, что комплексная направленность теории гомологии приводит к формальному групповому закону . Теорему о точном функторе Ландвебера (или сокращенно LEFT) можно рассматривать как метод обращения этого процесса вспять: она конструирует теорию гомологии на основе формального группового закона.

Заявление

Кольцо коэффициентов комплексного кобордизма имеет вид $MU_{*}(*)=MU_{*}\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ]$ , где степень $x_{i}$ является $2i$ . Оно изоморфно градуированному кольцу Лазара. ${\mathcal {}}L_{*}$ . Это означает, что если задать формальный групповой закон F (степени $-2$ ) над градуированным кольцом $R_{*}$ эквивалентно заданию градуированного кольцевого морфизма $L_{*}\to R_{*}$ . Умножение на целое число $n>0$ определяется индуктивно как степенной ряд , по формуле

[n+1]^{F}x=F(x,[n]^{F}x)

и

[1]^{F}x=x.

Пусть теперь F — формальный групповой закон над кольцом ${\mathcal {}}R_{*}$ . Определите топологическое пространство X

E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}R_{*}

Здесь $R_{*}$ получает свое $MU_{*}$ -структура алгебры через F. Вопрос в том, является ли E теорией гомологии? Очевидно, это гомотопически инвариантный функтор, осуществляющий вырезание. Проблема в том, что тензоризация в целом не сохраняет точные последовательности. Можно было бы потребовать этого $R_{*}$ быть плоским $MU_{*}$ , но на практике это было бы слишком сильно. Питер Ландвебер нашел еще один критерий:

теорема (теорема Ландвебера о точной функции)

Для каждого простого числа p существуют элементы

v_{1},v_{2},\dots \in MU_{*}

так что мы имеем следующее: Предположим, что

M_{*}

это оцениваемый

MU_{*}

-модуль и последовательность

(p,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})

является регулярным для

M

, для каждого p и n . Затем

E_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M_{*}

— теория гомологий на CW-комплексах .

В частности, каждый формальный групповой закон F над кольцом $R$ дает модуль над ${\mathcal {}}MU_{*}$ поскольку мы получаем через F кольцевой морфизм $MU_{*}\to R$ .

Примечания

Существует также версия для когомологий Брауна–Петерсона BP. Спектр BP является прямым слагаемым $MU_{(p)}$ с коэффициентами $\mathbb {Z} _{(p)}[v_{1},v_{2},\dots ]$ . Утверждение LEFT остается верным, если зафиксировать простое число p и заменить MU на BP.
Классическое доказательство LEFT использует теорему об инвариантных идеалах Ландвебера – Моравы: единственные простые идеалы $BP_{*}$ которые инвариантны относительно взаимодействия $BP_{*}BP$ являются $I_{n}=(p,v_{1},\dots ,v_{n})$ . Это позволяет проверять плоскостность только по $BP_{*}/I_{n}$ (см. Ландвебер, 1976).
ЛЕВУЮ можно усилить следующим образом: пусть ${\mathcal {E}}_{*}$ — (гомотопическая) категория Ландвебера точная $MU_{*}$ -модули и ${\mathcal {E}}$ категория спектров MU-модулей M такая, что $\pi _{*}M$ точен Ландвебер. Тогда функтор $\pi _{*}\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}_{*}$ есть эквивалентность категорий. Обратный функтор (задаваемый LEFT) принимает ${\mathcal {}}MU_{*}$ -алгебры в (гомотопические) спектры MU-алгебр (см. Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7).

Примеры

Архетипическим и первым известным (нетривиальным) примером является комплексная К-теория К. Комплексная К-теория комплексно ориентирована и имеет формальный групповой закон. $x+y+xy$ . Соответствующий морфизм $MU_{*}\to K_{*}$ также известен как род Тодда . Тогда мы имеем изоморфизм

K_{*}(X)=MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}K_{*},

называется изоморфизмом Коннера–Флойда .

Хотя комплексная K-теория раньше строилась геометрическими средствами, многие теории гомологии были сначала построены с помощью точной теоремы о функторе Ландвебера. Сюда входят эллиптические гомологии , теории Джонсона-Вильсона. $E(n)$ и спектры Любина – Тейта $E_{n}$ .

Хотя гомологии с рациональными коэффициентами $H\mathbb {Q}$ точна по Ландвеберу, гомологии с целыми коэффициентами $H\mathbb {Z}$ не является точным по Ландвеберу. Более того, K-теория Моравы K(n) не является точной по Ландвеберу.

Современная переформулировка

Модуль М над ${\mathcal {}}MU_{*}$ то же самое, что квазикогерентный пучок ${\mathcal {F}}$ над ${\text{Spec }}L$ , где L — кольцо Лазара. Если $M={\mathcal {}}MU_{*}(X)$ , то M имеет дополнительные данные a ${\mathcal {}}MU_{*}MU$ сотрудничество. Кодействие на уровне кольца соответствует тому, что ${\mathcal {F}}$ является эквивариантным пучком относительно действия аффинной групповой схемы G. Это теорема Квиллена , что $G\cong \mathbb {Z} [b_{1},b_{2},\dots ]$ и присваивает каждому кольцу R группу степенных рядов

g(t)=t+b_{1}t^{2}+b_{2}t^{3}+\cdots \in R[[t]]

.

Он действует на основе формальных групповых законов. ${\text{Spec }}L(R)$ с помощью

F(x,y)\mapsto gF(g^{-1}x,g^{-1}y)

.

Это всего лишь координатные изменения формальных групповых законов. Следовательно, можно определить стека коэффициент ${\text{Spec }}L//G$ со стеком (1-мерных) формальных групп ${\mathcal {M}}_{fg}$ и $M=MU_{*}(X)$ определяет квазикогерентный пучок над этим стеком. Теперь совершенно легко увидеть, что достаточно того, что M определяет квазикогерентный пучок ${\mathcal {F}}$ который плоский ${\mathcal {M}}_{fg}$ для того, чтобы $MU_{*}(X)\otimes _{MU_{*}}M$ является теорией гомологии. Тогда теорему о точности Ландвебера можно интерпретировать как критерий плоскостности для ${\mathcal {M}}_{fg}$ (см. Лурье 2010).

Уточнения $E_{\infty }$ -кольцевые спектры

Хотя известно, что ЛЕВЫЙ создает (гомотопические) кольцевые спектры из ${\mathcal {}}MU_{*}$ , гораздо более тонкий вопрос – понять, когда эти спектры на самом деле $E_{\infty }$ -кольцевые спектры . По состоянию на 2010 год наилучшего прогресса добился Якоб Лурье . Если X — алгебраический стек и $X\to {\mathcal {M}}_{fg}$ плоской карты стеков, обсуждение выше показывает, что мы получаем предпучок (гомотопических) кольцевых спектров на X. Если это отображение учитывает $M_{p}(n)$ (стопка одномерных p-делимых групп высоты n) и отображение $X\to M_{p}(n)$ является этальным , то этот предпучок можно уточнить до пучка $E_{\infty }$ -кольцевые спектры (см. Гёрс). Эта теорема важна для построения топологических модулярных форм .