Теорема о сизигиях Гильберта

В математике теорема о сизигиях Гильберта — одна из трёх фундаментальных теорем о кольцах полиномов над полями , впервые доказанная Дэвидом Гильбертом в 1890 году, которые были введены для решения важных открытых вопросов теории инвариантов и лежат в основе современной алгебраической геометрии . Две другие теоремы — это базисная теорема Гильберта , утверждающая, что все идеалы колец многочленов над полем конечно порождены , и Nullstellensatz Гильберта , устанавливающая биективное соответствие между аффинными алгебраическими многообразиями и простыми идеалами колец многочленов.

сизигиях Гильберта касается отношений или сизигий в терминологии Гильберта между генераторами идеала Теорема о или, в более общем смысле, модуля . Поскольку отношения образуют модуль, можно рассматривать отношения между отношениями; теорема утверждает, что, если продолжать в том же духе, начиная с модуля над кольцом многочленов от n неопределенных над полем, в конечном итоге можно найти нулевой модуль отношений, не более чем за n шагов.

Теорема о сизигиях Гильберта теперь считается ранним результатом гомологической алгебры . Это отправная точка использования гомологических методов в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.

История

Теорема о сизигиях впервые появилась в основополагающей статье Гильберта «К теории алгебраических форм» (1890 г.). Статья разделена на пять частей: часть I доказывает базисную теорему Гильберта над полем, а часть II доказывает ее над целыми числами. Часть III содержит теорему о сизигиях (теорема III), которая используется в части IV для обсуждения полинома Гильберта . Последняя часть, часть V, доказывает конечную порождаемость некоторых колец инвариантов . Кстати, часть III содержит также частный случай теоремы Гильберта–Берча .

Сизигии (отношения)

Основная статья: сизигии (математика)

Первоначально Гильберт определил сизигии для идеалов в кольцах полиномов , но эта концепция тривиально обобщается на (левые) модули над любым кольцом .

Учитывая генераторную установку $g_{1},\ldots ,g_{k}$ модуля M над кольцом R отношение собой или первая сизигия между образующими представляет k -кортеж $(a_{1},\ldots ,a_{k})$ элементов R таких, что

$a_{1}g_{1}+\cdots +a_{k}g_{k}=0.$

Позволять $L_{0}$ быть свободным модулем с базой $(G_{1},\ldots ,G_{k}).$ К ​ - кортеж $(a_{1},\ldots ,a_{k})$ может быть отождествлен с элементом

$a_{1}G_{1}+\cdots +a_{k}G_{k},$

и отношения образуют ядро $R_{1}$ линейной карты $L_{0}\to M$ определяется $G_{i}\mapsto g_{i}.$ Другими словами, существует точная последовательность

$0\to R_{1}\to L_{0}\to M\to 0.$

Этот первый модуль syzygy $R_{1}$ зависит от выбора генераторной установки, но, если $S_{1}$ это модуль, полученный с помощью другого генератора, существует два свободных модуля $F_{1}$ и $F_{2}$ такой, что

$R_{1}\oplus F_{1}\cong S_{1}\oplus F_{2}$

где $\oplus$ обозначаем прямую сумму модулей .

Второй модуль сизигии является модулем отношений между образующими первого модуля сизигии. Продолжая в том же духе, можно определить k-й модуль сизигии для каждого натурального числа k .

Если k- й модуль сизигии свободен для некоторого k , то, взяв базис в качестве порождающего, следующий модуль сизигии (и каждый последующий) будет нулевым модулем . Если не брать в качестве генератора базис, то все последующие модули сизигии бесплатны.

Пусть n — наименьшее целое число, если таковое имеется, такое, что n-й сизигийный модуль модуля M свободен или проективен . Из указанного выше свойства инвариантности с точностью до суммы, прямой со свободными модулями, следует, что n не зависит от выбора порождающих наборов. Проективная размерность M если равна этому целому числу, если оно существует, или ∞, нет. Это эквивалентно существованию точной последовательности

$0\longrightarrow R_{n}\longrightarrow L_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,$

где модули $L_{i}$ бесплатны и $R_{n}$ является проективным. Можно показать, что всегда можно выбрать генераторные установки для $R_{n}$ быть свободным, то есть указанная выше точная последовательность является свободным разрешением .

Заявление

Теорема о сизигиях Гильберта утверждает, что если M — конечно порожденный модуль над кольцом многочленов $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ если n неопределимо над полем k , то n- й модуль сизигии M всегда является свободным модулем .

На современном языке это означает, что размерность M n не превосходит проективная и, следовательно, существует свободное разрешение.

$0\longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

длины k ≤ n .

Эта верхняя оценка проективной размерности точная, то есть существуют модули проективной размерности ровно n . Стандартным примером является поле k , которое можно рассматривать как $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$-модуль по настройке $x_{i}c=0$ для каждого i и каждого c ∈ k . Для этого модуля n-й свободен модуль сизигии, но не ( n − 1) -й (доказательство см. в § Комплекс Кошуля ниже).

Теорема справедлива и для модулей, которые не являются конечно порожденными. Поскольку глобальная размерность кольца является верхней границей проективных размерностей всех модулей, теорему о сизигиях Гильберта можно переформулировать как: глобальная размерность кольца $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ это н .

Низкая размерность

В случае нулевых неопределённостей теорема о сизигиях Гильберта — это просто тот факт, что каждое векторное пространство имеет базис .

В случае одной неопределенной теорема Гильберта о сизигиях является примером теоремы, утверждающей, что над кольцом главных идеалов каждый подмодуль свободного модуля сам по себе свободен.

Рубашка комплексная

Комплекс Кошуля , также называемый «комплексом внешней алгебры», позволяет в некоторых случаях явно описать все модули сизигий.

Позволять $g_{1},\ldots ,g_{k}$ — порождающая система идеала I в кольце полиномов $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$, и пусть $L_{1}$ быть свободным модулем базиса $G_{1},\ldots ,G_{k}.$ Внешняя алгебра ​ $L_{1}$ это прямая сумма

$\Lambda (L_{1})=\bigoplus _{t=0}^{k}L_{t},$

где $L_{t}$ это бесплатный модуль, в основе которого лежат внешние продукты

$G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},$

такой, что $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{t}.$ В частности, имеется $L_{0}=R$ (из-за определения пустого произведения ), два определения $L_{1}$ совпадают, и $L_{t}=0$ для т > к . Для каждого положительного t можно определить линейное отображение $L_{t}\to L_{t-1}$ к

$G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}}\mapsto \sum _{j=1}^{t}(-1)^{j+1}g_{i_{j}}G_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\widehat {G}}_{i_{j}}\wedge \cdots \wedge G_{i_{t}},$

где шляпка означает, что фактор опущен. Непосредственное вычисление показывает, что композиция двух последовательных таких отображений равна нулю и, следовательно, одно из них имеет комплексное значение.

$0\to L_{t}\to L_{t-1}\to \cdots \to L_{1}\to L_{0}\to R/I.$

Это комплекс Кошул . В общем, комплекс Кошуля не является точной последовательностью , но он является точной последовательностью, если работать с кольцом полиномов. $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ и идеал, порожденный регулярной последовательностью однородных многочленов .

В частности, последовательность $x_{1},\ldots ,x_{n}$ регулярен, и, таким образом, комплекс Кошуля является проективным разрешением ${\displaystyle }$$k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle .$ В этом случае n-й модуль сизигии свободен от единицы размерности (порожден произведением всех $G_{i}$); -й модуль Таким образом, ( n − 1) сизигии является фактором свободного модуля размерности n по подмодулю, порожденному $(x_{1},-x_{2},\ldots ,\pm x_{n}).$ Это частное не может быть проективным модулем , иначе существовали бы многочлены $p_{i}$ такой, что $p_{1}x_{1}+\cdots +p_{n}x_{n}=1,$ что невозможно (подставляя 0 вместо $x_{i}$ в последнем равенстве получается 1 = 0 ). Это доказывает, что проективная размерность $k=R/\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle$ это ровно n .

То же доказательство применимо и для доказательства того, что проективная размерность $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle g_{1},\ldots ,g_{t}\rangle$ в точности t, если $g_{i}$ образуют регулярную последовательность однородных многочленов.

Вычисление

Во времена Гильберта не было метода вычисления сизигий. Было известно только, что алгоритм можно вывести из любой верхней границы степени образующих модуля сизигий. Фактически коэффициенты сизигий представляют собой неизвестные многочлены. Если степень этих многочленов ограничена, число их мономов ограничено и . Выражение наличия сизигии дает систему линейных уравнений , неизвестными которой являются коэффициенты этих мономов. Следовательно, любой алгоритм для линейных систем подразумевает алгоритм для сизигий, как только известна граница степеней.

Первая оценка сизигий (а также идеальной проблемы принадлежности ) была дана в 1926 году Гретой Германн : Пусть M — подмодуль свободного модуля L размерности t над $k[x_{1},\ldots ,x_{n}];$ если коэффициенты над базисом L порождающей системы M имеют общую степень не более d , то существует константа c такая, что степени, встречающиеся в порождающей системе первого модуля сизигии, не превосходят $(td)^{2^{cn}}.$ Та же самая граница применяется для проверки принадлежности M элемента L .

С другой стороны, есть примеры, где обязательно возникает двойная показательная степень. Однако такие примеры крайне редки, и это ставит вопрос об алгоритме, который эффективен, когда результат не слишком велик. В настоящее время лучшими алгоритмами вычисления сизигий являются базисные алгоритмы Грёбнера . Они позволяют вычислить первый модуль сизигии, а также практически без дополнительных затрат все модули сизигии.

Сизигии и регулярность

Можно задаться вопросом, какое теоретико-кольцевое свойство $A=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ приводит к выполнению теоремы о сизигиях Гильберта. Оказывается, это регулярность , которая представляет собой алгебраическую формулировку того факта, что аффинное n -пространство является многообразием без особенностей . Фактически имеет место следующее обобщение: пусть $A$ быть нётеровым кольцом . Затем $A$ имеет конечную глобальную размерность тогда и только тогда, когда $A$ является регулярным, а Крулля размерность $A$ конечен; в этом случае глобальное измерение $A$ равна размерности Крулля. Этот результат можно доказать, используя теорему Серра о регулярных локальных кольцах .

См. также

• Теорема Квиллена – Суслина
• Ряд Гильберта и полином Гильберта

Ссылки

• Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра. В целях алгебраической геометрии . Тексты для выпускников по математике, 150. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1995. xvi+785 стр. ISBN   0-387-94268-8 ; ISBN   0-387-94269-6 МР 1322960
• «Теорема Гильберта» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]