Теорема Хартогса о продолжении

В теории функций многих комплексных переменных теорема продолжения Хартогса — это утверждение об особенностях голоморфных функций многих переменных. Неформально оно гласит, что носитель особенностей таких функций не может быть компактным , поэтому множество сингулярностей функции нескольких комплексных переменных должно (грубо говоря) «уходить на бесконечность» в каком-то направлении. Точнее, он показывает, что изолированная особенность всегда является устранимой особенностью для любой аналитической функции от $n > 1$ комплексных переменных. Первую версию этой теоремы доказал Фридрих Хартогс . ^{[ 1 ]} и как таковое оно известно также как лемма Хартогса и принцип Хартогса : в ранней советской литературе ^{[ 2 ]} ее также называют теоремой Осгуда-Брауна в знак признания более поздних работ Артура Бартона Брауна и Уильяма Фогга Осгуда . ^{[ 3 ]} Это свойство голоморфных функций нескольких переменных также называют феноменом Хартогса : однако выражение «феномен Хартогса» также используется для определения свойства решений систем уравнений в частных производных или уравнений свертки, удовлетворяющих теоремам типа Хартогса. ^{[ 4 ]}

Историческая справка

Оригинальное доказательство было дано Фридрихом Хартогсом в 1906 году с использованием интегральной формулы Коши для функций нескольких комплексных переменных . ^{[ 1 ]} Сегодня обычные доказательства опираются либо на формулу Бохнера–Мартинелли–Коппельмана , либо на решение неоднородных уравнений Коши–Римана с компактным носителем. Последний подход принадлежит Леону Эренпрейсу , который инициировал его в статье ( Ehrenpreis 1961 ). Еще одно очень простое доказательство этого результата было дано Гаэтано Фичерой в статье ( Fichera 1957 ), используя его решение проблемы Дирихле для голоморфных функций нескольких переменных и связанную с ним концепцию CR-функции : ^{[ 5 ]} позже он распространил эту теорему на определенный класс операторов в частных производных в статье ( Fichera 1983 ), а его идеи позже были исследованы Джулиано Братти. ^{[ 6 ]} Японская школа теории операторов в частных производных также много работала над этой темой, при этом заметный вклад внес Акира Канеко. ^{[ 7 ]} Их подход заключается в использовании фундаментального принципа Эренпрайса .

Феномен Хартогса

Например, в двух переменных рассмотрим внутреннюю область

H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{or}}\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}

в двумерном полидиске $\Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}$ где $0<\varepsilon <1.$

Теорема Хартогса (1906) : Любая голоморфная функция $f$ на $H_{\varepsilon }$ можно аналитически продолжить $\Delta ^{2}.$ А именно, существует голоморфная функция $F$ на $\Delta ^{2}$ такой, что $F=f$ на $H_{\varepsilon }.$

Такое явление называется феноменом Хартогса , что привело к понятию теоремы расширения Хартогса и области голоморфности .

Официальное заявление и доказательство

Пусть

f

— голоморфная функция на множестве

G \ K

, где

G

— открытое подмножество

C н

(

n \geq 2

) и

K

компактное подмножество

G

. Если дополнение

G \ K

связно, то

f

можно продолжить до единственной голоморфной функции

F

на

G

. ^{[ 8 ]}

Доказательство Эренпрайса основано на существовании гладких функций выпуклости , единственном продолжении голоморфных функций и лемме Пуанкаре — последней в виде, что для любой гладкой и компактной дифференциальной (0,1)-формы $ω$ на $C н$ при $\partial ω = 0$ существует гладкая функция $η$ с компактным носителем на $C н$ с $\partial η знак равно ω$ . ключевое предположение $n \geq 2$ Для справедливости этой леммы Пуанкаре необходимо ; если $n = 1$ , то вообще невозможно, чтобы $η$ имел компактный носитель. ^{[ 9 ]}

Анзац для $F$ — это $φ f - v$ для гладких функций $φ$ и $v$ на $G$ ; такое выражение имеет смысл при условии, что $φ$ тождественно равна нулю, где $f$ не определено (а именно на $K$ ). Более того, для любой голоморфной функции на $G$ , которая равна $f$ на некотором продолжение (основанное на связности $G \ K$ ) показывает, что она равна $f$ на всем G $открытом множестве, единственное \ K$ .

Голоморфность этой функции тождественна условию $\partial v = f \partial φ$ . Для любой гладкой функции $φ$ дифференциальная (0,1)-форма $f \partial φ$ является $\partial$ -замкнутой. Выбирая $φ$ как гладкую функцию, тождественно равную нулю на $K$ и тождественно равную единице в дополнении некоторого компактного подмножества $L$ группы $G$ , эта (0,1)-форма дополнительно имеет компактный носитель, так что лемма Пуанкаре отождествляет соответствующий $v$ компактного носителя. Это определяет $F$ как голоморфную функцию на $G$ ; осталось только показать (следуя приведенным выше комментариям), что оно совпадает с $f$ на некотором открытом множестве.

На съемочной площадке $С н \ L$ , $v$ голоморфно, поскольку $φ$ тождественно постоянна. Поскольку вблизи бесконечности он равен нулю, единственное продолжение применимо, чтобы показать, что он тождественно равен нулю на некотором открытом подмножестве $G \ L$ . ^{[ 10 ]} Таким образом, на этом открытом подмножестве $F$ равно $f$ , и часть теоремы Хартога о существовании доказана. Уникальность достигается автоматически из-за уникального продолжения, основанного на связности $G$ .

Контрпримеры в первом измерении

Теорема не выполняется, когда $n = 1$ . Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть функцию $f (z) = z -1$ , которая, очевидно, голоморфна в $C \ {0},$ но не может быть продолжена как голоморфная функция на всем $C$ . Таким образом, феномен Хартогса представляет собой элементарное явление, подчеркивающее различие между теорией функций одной и нескольких комплексных переменных.

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б См. оригинальную статью Хартогса (1906) и ее описание в различных исторических обзорах Осгуда (1966 , стр. 56–59), Севери (1958 , стр. 111–115) и Струппы (1988 , стр. 132–134). В частности, в этой последней ссылке на с. 132, Автор прямо пишет: « Как указано в названии ( Hartogs 1906 ), и как вскоре увидит читатель, ключевым инструментом доказательства является интегральная формула Коши ».
^ См., например, Владимиров (1966 , с. 153), который отсылает читателя к книге Фукса (1963 , с. 284) за доказательством (однако в предыдущей ссылке неверно указано, что доказательство находится на стр. 324). ).
^ См. Браун (1936) и Осгуд (1929) .
^ См. Фичера (1983) и Братти (1986a) ( Братти 1986b ).
^ Доказательство Фичеры, а также его эпохальная статья ( Fichera 1957 ), похоже, были упущены из виду многими специалистами по теории функций нескольких комплексных переменных : см. Range (2002) для правильного приписывания многих важных теорем в этой области.
^ См. Брэтти (1986a) ( Братти 1986b ).
↑ См. его статью ( Канеко 1973 ) и ссылки в ней.
^ Хёрмандер 1990 , Теорема 2.3.2.
^ Хёрмандер 1990 , с. 30.
^ Любой связный компонент $C н \ L$ должна пересекать $G \ L$ в непустом открытом множестве. Чтобы увидеть непустоту, соедините произвольную точку $p$ из $C н \ L$ в некоторую точку $L$ по прямой. Пересечение линии с $C н \ L$ может иметь много связных компонентов, но компонент, содержащий $p,$ дает непрерывный путь из $p$ в $G \ L$ .

Ссылки

Исторические справки

Фукс Б.А. (1963), Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных , Переводы математических монографий, вып. 8, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. vi+374, ISBN. 9780821886441 , МР 0168793 , Збл 0138.30902 .
Осгуд, Уильям Фогг (1966) [1913], Темы теории функций нескольких комплексных переменных (полное и исправленное издание), Нью-Йорк: Dover , стр. IV + 120, JFM 45.0661.02 , MR 0201668 , Zbl 0138.30901 .
Рэндж, Р. Майкл (2002), «Явление расширения в многомерном комплексном анализе: коррекция исторических данных», The Mathematical Intelligencer , 24 (2): 4–12, doi : 10.1007/BF03024609 , MR 1907191 , S2CID 120531925 . Историческая статья, исправляющая некоторые неточные исторические утверждения в теории голоморфных функций многих переменных , особенно относительно вкладов Гаэтано Фичеры и Франческо Севери .
Севери, Франческо (1931), «Решение общей проблемы Дирихле для бигармонических функций», Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , серия 6 (на итальянском языке), 13 : 795–804, JFM 57.0393 .01 , Збл 0002.34202 . Это первая статья, в которой общее решение задачи Дирихле для плюригармонических функций дано для общих вещественных аналитических данных на вещественной аналитической гиперповерхности . Перевод названия гласит: « Решение общей задачи Дирихле для бигармонических функций ».
Севери, Франческо (1958), Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - Прочитаны в 1956–57 в Национальном институте высшей математики в Риме (на итальянском языке), Падуя: CEDAM - Издательство доктора Антонио Милани, Zbl 0094.28002 . Перевод названия: « Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - читался в 1956–57 годах в Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме ». Эта книга состоит из конспектов лекций курса, проведенного Франческо Севери в Национальном институте высшей математики (который в настоящее время носит его имя), и включает приложения Энцо Мартинелли , Джованни Баттисты Риццы и Марио Бенедикти .
Струппа, Даниэле К. (1988), «Первые восемьдесят лет теоремы Хартогса», Seminari di Geometria 1987–1988 , Болонья : Болонский университет - факультет математики, стр. 127–209, МР 0973699 , Збл 0657.35018 .
Владимиров В.С. (1966), Эренпрайс Л. (ред.), Методы теории функций многих комплексных переменных. С предисловием Н. Н. Боголюбова , Кембридж - Лондон : The MIT Press , стр. XII+353, MR 0201669 , Zbl 0125.31904 ( обзор Zentralblatt на оригинальное русское издание). Одна из первых современных монографий по теории многих комплексных переменных , отличающаяся от других того же периода широким использованием обобщенных функций .

Научные ссылки

Бохнер, Саломон (октябрь 1943 г.), «Аналитическое и мероморфное продолжение с помощью формулы Грина», Annals of Mathematics , Second Series, 44 (4): 652–673, doi : 10.2307/1969103 , JSTOR 1969103 , MR 0009206 , Zbl 0060.24206 .
Бохнер, Саломон (1 марта 1952 г.), «Уравнения в частных производных и аналитические продолжения», PNAS , 38 (3): 227–230, Бибкод : 1952PNAS...38..227B , doi : 10.1073/pnas.38.3.227 , МИСТЕР 0050119 , PMC 1063536 , PMID 16589083 , Збл 0046.09902 .
Братти, Джулиано (1986a), «О примере Фичеры, касающемся феномена Хартогса» , Отчеты Национальной академии наук, известные как XL , серия 5 (на итальянском и английском языках), X (1): 241–246, MR 0879111 , Zbl 0646.35007 , заархивировано из оригинала на 26 июля 2011 г.
Братти, Джулиано (1986b), «Распространение теоремы Фичеры для систем УЧП с постоянными коэффициентами , касающееся феномена Хартогса», Отчеты Национальной академии наук Делле Scienze Ditta dei XL , серия 5 (на итальянском и английском языках), X (1 ): 255–259, МР 0879114 , Zbl 0646.35008 , заархивировано из оригинала 26 июля 2011 г.
Братти, Джулиано (1988), «Su di un teorema di Hartogs» [О теореме Хартогса], Отчеты Seminario Matematico della Università di Padova (на итальянском языке), 79 : 59–70, MR 0964020 , Zbl 0657.46033
Браун, Артур Б. (1936), «О некоторых аналитических продолжениях и аналитических гомеоморфизмах», Duke Mathematical Journal , 2 : 20–28, doi : 10.1215/S0012-7094-36-00203-X , JFM 62.0396.02 , MR 1545903 , Збл 0013.40701
Эренпрейс, Леон (1961), «Новое доказательство и расширение теоремы Хартога», Бюллетень Американского математического общества , 67 (5): 507–509, doi : 10.1090/S0002-9904-1961-10661-7 , MR 0131663 , Збл 0099.07801 . Фундаментальная статья по теории феномена Хартогса. Опечатка в названии воспроизведена в том виде, в котором она присутствует в оригинальной версии статьи.
Фичера, Гаэтано (1957), «Характеристика следа на границе поля аналитической функции нескольких комплексных переменных», Отчеты Национальной академии Линчеи, Класс физических, математических и естественных наук , серия 8 ( на итальянском языке), 22 (6): 706–715, МР 0093597 , Збл 0106.05202 . Эпохальная работа в теории CR-функций задача Дирихле для аналитических функций многих комплексных переменных , в которой для общих данных решена . Перевод названия гласит: « Характеристика следа на границе области аналитической функции нескольких комплексных переменных ».
Фичера, Гаэтано (1983), «О явлении Хартогса для линейных операторов с частными производными», Отчеты Ломбардского института наук и литературы. Математические науки и приложения, серия A. (на итальянском языке), 117 : 199–211, MR 0848259 , Zbl 0603.35013 . Английский перевод названия гласит: « Явление Хартогса для некоторых линейных операторов в частных производных ».
Фютер, Рудольф (1939–1940), «Über einen Hartogs'schen Satz» [К теореме Хартогса], Commentarii Mathematici Helvetici (на немецком языке), 12 (1): 75–80, doi : 10.1007/bf01620640 , JFM 65.0363 .03 , S2CID 120266425 , Zbl 0022.05802 , заархивировано из оригинала 2 октября 2011 г. , получено 16 января 2011 г. Доступно на портале SEALS. Архивировано 10 ноября 2012 г. на Wayback Machine .
Фютер, Рудольф 1941–1942), «Об одной теореме Хартогса в теории аналитических функций $комплексных$ переменных» n $($ , Commentarii Mathematici Helvetici (на немецком языке), 14 (1): 394–400, doi : 10.1007/bf02565627 , JFM 68.0175.02 , MR 0007445 , S2CID 122750611 , Zbl 0027.05703 , заархивировано из оригинала 2 октября 2011 г. , получено 16 января 2011 г. (см. также Zbl 0060.24505 , сводный обзор нескольких статей Э. Троста). Доступно на портале SEALS. Архивировано 10 ноября 2012 г. на Wayback Machine .
Хартогс, Фриц (1906), «Некоторые следствия из интегральной формулы Коши для функций многих переменных». , Труды Королевской Баварской академии наук в Мюнхене, Математико-физический класс (на немецком языке), 36 : 223–242, JFM 37.0443.01 .
Хартогс, Фриц (1906a), «К теории аналитических функций нескольких независимых переменных, в частности о представлении их рядами, которые прогрессируют в соответствии со степенями переменной» , Mathematical Annals (на немецком языке), 62 : 1– 88, номер документа : 10.1007/BF01448415 , JFM 37.0444.01 , S2CID 122134517 . Доступно в DigiMagazines .
Хёрмандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ с несколькими переменными , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 7 (3-е (пересмотренное) изд.), Амстердам – Лондон – Нью-Йорк – Токио: Северная Голландия , ISBN 0-444-88446-7 , МР 1045639 , Збл 0685.32001 .
Канеко, Акира (12 января 1973 г.), «О продолжении регулярных решений уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами», Proceedings of the Japan Academy , 49 (1): 17–19, doi : 10.3792/pja/1195519488 , MR 0412578 , Збл 0265.35008 , в наличии в проекте «Евклид» .
Мартинелли, Энцо (1942–1943), «Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs» [О доказательстве Р. Фютера теоремы Хартогса], Commentarii Mathematici Helvetici (на итальянском языке), 15 (1) : 340–349, doi : 10.1007/bf02565649 , MR 0010729 , S2CID 119960691 , Zbl 0028.15201 , заархивировано из оригинала 2 октября 2011 г. , получено 16 января 2011 г. . Доступно на портале SEALS. Архивировано 10 ноября 2012 г. на Wayback Machine .
Осгуд, В.Ф. (1929), Учебник теории функций. II , сборник учебников Тойбнера в области математических наук, включая их приложения (на немецком языке), том. Том XX - 1 (2-е изд.), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер , стр. VIII + 307, ISBN. 9780828401821 , ЯФМ 55.0171.02 .
Севери, Франческо (1932), «Фундаментальное свойство полей голоморфизма аналитической функции действительной переменной и комплексной переменной», Отчеты Национальной академии Линчеи, Класс физических, математических и естественных наук , серия 6 (на итальянском языке), 15 : 487–490, JFM 58.0352.05 , Zbl 0004.40702 . Английский перевод названия гласит: « Фундаментальное свойство области голоморфности аналитической функции одной действительной переменной и одной комплексной переменной ».
Севери, Франческо (1942–1943), «A proposito d'un teorema di Hartogs» [О теореме Хартогса], Commentarii Mathematici Helvetici (на итальянском языке), 15 (1): 350–352, doi : 10.1007/bf02565650 , МР 0010730 , S2CID 120514642 , Zbl 0028.15301 , заархивировано из оригинала 2 октября 2011 г. , получено 25 июня 2011 г. Доступно на портале SEALS. Архивировано 10 ноября 2012 г. на Wayback Machine .

Внешние ссылки

Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Теорема Хартогса» , Энциклопедия математики , EMS Press
«несостоятельность теоремы Хартогса в одном измерении» . ПланетаМатематика .
Теорема Хартогса в PlanetMath .
Доказательство теоремы Хартогса на PlanetMath .

[hartogs-1] Jump up to: ^а ^б См. оригинальную статью Хартогса (1906) и ее описание в различных исторических обзорах Осгуда (1966 , стр. 56–59), Севери (1958 , стр. 111–115) и Струппы (1988 , стр. 132–134). В частности, в этой последней ссылке на с. 132, Автор прямо пишет: « Как указано в названии ( Hartogs 1906 ), и как вскоре увидит читатель, ключевым инструментом доказательства является интегральная формула Коши ».

[2] См., например, Владимиров (1966 , с. 153), который отсылает читателя к книге Фукса (1963 , с. 284) за доказательством (однако в предыдущей ссылке неверно указано, что доказательство находится на стр. 324). ).

[3] См. Браун (1936) и Осгуд (1929) .

[4] См. Фичера (1983) и Братти (1986a) ( Братти 1986b ).

[5] Доказательство Фичеры, а также его эпохальная статья ( Fichera 1957 ), похоже, были упущены из виду многими специалистами по теории функций нескольких комплексных переменных : см. Range (2002) для правильного приписывания многих важных теорем в этой области.

[6] См. Брэтти (1986a) ( Братти 1986b ).

[7] См. его статью ( Канеко 1973 ) и ссылки в ней.

[FOOTNOTEHörmander1990Theorem_2.3.2-8] Хёрмандер 1990 , Теорема 2.3.2.

[FOOTNOTEHörmander199030-9] Хёрмандер 1990 , с. 30.

[10] Любой связный компонент $C н \ L$ должна пересекать $G \ L$ в непустом открытом множестве. Чтобы увидеть непустоту, соедините произвольную точку $p$ из $C н \ L$ в некоторую точку $L$ по прямой. Пересечение линии с $C н \ L$ может иметь много связных компонентов, но компонент, содержащий $p,$ дает непрерывный путь из $p$ в $G \ L$ .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]