Принципы Ферма и изменения энергии в теории поля

В общей теории относительности предполагается, что свет распространяется в вакууме вдоль нулевой геодезической в ​​псевдоримановом многообразии . Помимо принципа геодезических в классической теории поля существует принцип Ферма для стационарных гравитационных полей .

Принцип Ферма

В случае конформно стационарного пространства-времени с координатами $(t,x^{1},x^{2},x^{3})$ Ферма метрика принимает вид $$g=e^{2f(t,x)}[(dt+\phi _{\alpha }(x)dx^{\alpha })^{2}-{\hat {g}}_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }],$$ где конформный фактор $f(t,x)$ зависит от времени $t$ и космические координаты $x^{\alpha }$ и не влияет на светоподобные геодезические, кроме их параметризации.

Принцип Ферма для псевдориманова многообразия гласит, что путь светового луча между точками $x_{a}=(x_{a}^{1},x_{a}^{2},x_{a}^{3})$ и $x_{b}=(x_{b}^{1},x_{b}^{2},x_{b}^{3})$ соответствует стационарному действию . $$S=\int _{\mu _{b}}^{\mu _{a}}\left({\sqrt {{\hat {g}}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\mu }}{\frac {dx^{\beta }}{d\mu }}}}+\phi _{\alpha }(x){\frac {dx^{\alpha }}{d\mu }}\right)d\mu ,$$ где $\mu$ это любой параметр, находящийся в интервале $[\mu _{a},\mu _{b}]$ и варьируется вдоль кривой с фиксированными конечными точками $x_{a}=x(\mu _{a})$ и $x_{b}=x(\mu _{b})$.

Принцип стационарного интеграла энергии

В принципе стационарного интеграла энергии движения светоподобной частицы псевдориманова метрика с коэффициентами ${\tilde {g}}_{ij}$ определяется преобразованием $${\tilde {g}}_{00}=\rho ^{2}{g}_{00},\,\,\,\,{\tilde {g}}_{0k}=\rho {g}_{0k},\,\,\,\,{\tilde {g}}_{kq}={g}_{kq}.$$

С координатой времени $x^{0}$ и пространственных координатах с индексами k , q =1,2,3 линейный элемент записывается в виде $$ds^{2}=\rho ^{2}g_{00}(dx^{0})^{2}+2\rho g_{0k}dx^{0}dx^{k}+g_{kq}dx^{k}dx^{q},$$ где $\rho$ – некоторая величина, которую принимают равной 1. Решение уравнения светоподобных интервалов $ds=0$ для $\rho$ в состоянии $g_{00}\neq 0$ дает два решения $$\rho ={\frac {-g_{0k}v^{k}\pm {\sqrt {(g_{0k}g_{0q}-g_{00}g_{kq})v^{k}v^{q}}}}{g_{00}v^{0}}},$$ где $v^{i}=dx^{i}/d\mu$ являются элементами четырехскорости . Даже если одно решение, в соответствии с определениями, $\rho =1$.

С $g_{00}=0$ и $g_{0k}\neq 0$ даже если за один k энергия примет вид $$\rho =-{\frac {g_{kq}v^{k}v^{q}}{2v_{0}v^{0}}}.$$

В обоих случаях для свободно движущейся частицы лагранжиан равен $$L=-\rho .$$

Его частные производные дают канонические импульсы $$p_{\lambda }={\frac {\partial L}{\partial v^{\lambda }}}={\frac {v_{\lambda }}{v^{0}v_{0}}}$$ и силы $$F_{\lambda }={\frac {\partial L}{\partial x^{\lambda }}}={\frac {1}{2v^{0}v_{0}}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\lambda }}}v^{i}v^{j}.$$

Моменты удовлетворяют энергетическому условию для закрытой системы $$\rho =v^{\lambda }p_{\lambda }-L,$$ это означает, что $\rho$ — это энергия системы, объединяющей светоподобную частицу и гравитационное поле.

стандартная вариационная процедура по принципу Гамильтона. К действию применяется $$S=\int _{\mu _{b}}^{\mu _{a}}Ld\mu =-\int _{\mu _{b}}^{\mu _{a}}\rho d\mu ,$$ которая является неотъемлемой частью энергии. Стационарное действие обусловлено нулевыми вариационными производными δS / δx. ^л и приводит к уравнениям Эйлера – Лагранжа $${\frac {d}{d\mu }}{\frac {\partial \rho }{\partial v^{\lambda }}}-{\frac {\partial \rho }{\partial x^{\lambda }}}=0,$$ который переписывается в виде $${\frac {d}{d\mu }}p_{\lambda }-F_{\lambda }=0.$$

После замены канонического импульса и сил они дают уравнения движения светоподобной частицы в свободном пространстве $${\frac {dv^{0}}{d\mu }}+{\frac {v^{0}}{2v_{0}}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{0}}}v^{i}v^{j}=0$$ и $$(g_{k\lambda }v_{0}-g_{0k}v_{\lambda }){\frac {dv^{k}}{d\mu }}+\left[v_{0}\Gamma _{0ij}-v_{\lambda }\Gamma _{\lambda ij}\right]v^{i}v^{j}=0,$$ где $\Gamma _{kij}$ – символы Кристоффеля первого рода и индексы $\lambda$ принимать значения $1,2,3$. Изменение интеграла энергии и принципы Ферма дают одинаковые кривые для света в стационарном пространстве-времени.

Обобщенный принцип Ферма

В обобщенном принципе Ферма время используется как функционал и вместе как переменная. Применен принцип минимума Понтрягина теории оптимального управления и получен эффективный гамильтониан для движения светоподобных частиц в искривленном пространстве-времени. Показано, что полученные кривые являются нулевыми геодезическими.

Стационарный интеграл энергии светоподобной частицы в гравитационном поле и обобщенные принципы Ферма дают тождественные скорости. Виртуальные смещения координат сохраняют нулевой путь светоподобной частицы в псевдоримановом пространстве-времени, т.е. не приводят к нарушению лоренц-инвариантности в локальности и соответствуют вариационным принципам механики. Эквивалентность решений, полученных по обобщенному принципу Ферма геодезическим, означает, что при использовании второго также получаются геодезические. Принцип стационарного интеграла энергии дает систему уравнений, в которой на одно уравнение больше. Это позволяет однозначно определить канонические импульсы частицы и силы, действующие на нее в заданной системе отсчета .

Уравнения Эйлера–Лагранжа в контравариантной форме

Уравнения $${\frac {d}{d\mu }}p_{\lambda }-F_{\lambda }=0$$ может быть преобразован в контравариантную форму $${\frac {dp^{k}}{d\mu }}+g^{k\lambda }{\frac {\partial g_{\lambda i}}{\partial x^{j}}}v^{j}p^{i}=F^{k},$$ где второй член в левой части — это изменение энергии и импульса, передаваемых гравитационному полю $${\frac {d{\stackrel {\leftrightarrow }{p^{k}}}}{d\mu }}=g^{k\lambda }{\frac {\partial g_{\lambda i}}{\partial x^{j}}}v^{j}p^{i}$$ когда частица движется в нем. Вектор силы для принципа стационарного интеграла энергии записывается в виде $$F^{k}=g^{k\lambda }{\frac {1}{2v^{0}v_{0}}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\lambda }}}v^{i}v^{j}.$$ В общей теории относительности энергия и импульс частицы обычно связываются с контравариантным вектором энергии-импульса $p^{k}$. Количества $F^{k}$не образуют тензора . Однако для фотона в ньютоновском пределе поля Шварцшильда, описываемого метрикой в ​​изотропных координатах, они соответствуют к ее пассивной гравитационной массе, равной удвоенной массе покоя массивной частицы эквивалентной энергии . Это согласуется с результатом Толмана, Эренфеста и Подольского. для активной гравитационной массы фотона при взаимодействии направленного потока излучения с массивной частицей, полученной путем решения уравнений Эйнштейна-Максвелла .

После замены аффинного параметра $$d{\acute {\mu }}=v_{0}v^{0}d\mu$$ выражение для импульсов оказалось $$p^{\lambda }={\acute {v}}^{\lambda },$$ где 4-скорость определяется как ${\acute {v}}^{\lambda }=dx^{\lambda }/d{\acute {\mu }}$. Уравнения с контравариантными импульсами $${\frac {dp^{k}}{d\mu }}+g^{k\lambda }{\frac {\partial g_{\lambda i}}{\partial x^{j}}}v^{j}p^{i}=g^{k\lambda }{\frac {1}{2v^{0}v_{0}}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\lambda }}}v^{i}v^{j}$$ переписываются следующим образом $${\frac {dp^{k}}{d{\acute {\mu }}}}+g^{k\lambda }{\frac {\partial g_{\lambda i}}{\partial x^{j}}}{\acute {v}}^{j}p^{i}=g^{k\lambda }{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\lambda }}}{\acute {v}}^{i}{\acute {v}}^{j}.$$ Эти уравнения по форме идентичны уравнениям Эйлера-Лагранжа с лагранжианом $L={\frac {1}{2}}g_{ij}{\frac {dx_{i}}{ds}}{\frac {dx_{j}}{ds}}$ за счет повышения индексов. В свою очередь эти уравнения идентичны уравнениям геодезических: что подтверждает, что решения, заданные принципом стационарного интеграла энергии, являются геодезическими. Количества $${\frac {d{\stackrel {\leftrightarrow }{p^{k}}}}{d{\acute {\mu }}}}=g^{k\lambda }{\frac {\partial g_{\lambda i}}{\partial x^{j}}}{\acute {v}}^{j}p^{i}$$ и $${\acute {F}}^{k}=g^{k\lambda }{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\lambda }}}{\acute {v}}^{i}{\acute {v}}^{j}$$ выглядят как тензоры для линеаризованных метрик.

См. также

• Принцип Ферма
• Вариационные методы в общей теории относительности