Кардинал Вуда

В теории множеств кардинал Вудина (названный в честь У. Хью Вудина ) — это кардинальное число. $\lambda$ такое, что для всех функций $f:\lambda \to \lambda$, существует кардинал $\kappa <\lambda$ с $\{f(\beta )\mid \beta <\kappa \}\subseteq \kappa$ и элементарное вложение $j:V\to M$ из вселенной фон Неймана $V$ в транзитивную внутреннюю модель $M$ с критической точкой $\kappa$ и $V_{j(f)(\kappa )}\subseteq M$.

Эквивалентное определение таково: $\lambda$ является Вудином тогда и только тогда, когда $\lambda$ и категорически недоступен для всех $A\subseteq V_{\lambda }$ существует $\lambda _{A}<\lambda$ который $<\lambda$- $A$-сильный.

$\lambda _{A}$ существование $<\lambda$- $A$-strong означает, что для всех порядковых номеров $\alpha <\lambda$, существует $j:V\to M$ что представляет собой элементарное вложение с критической точкой $\lambda _{A}$, $j(\lambda _{A})>\alpha$, $V_{\alpha }\subseteq M$ и $j(A)\cap V_{\alpha }=A\cap V_{\alpha }$. (См. также сильный кардинал .)

Кардиналу Вудина предшествует стационарный набор измеримых кардиналов , и, таким образом, он является кардиналом Мало . Однако первый кардинал Вудина даже не слабо компактен .

Объяснение

Иерархия $V_{\alpha }$ (известная как иерархия фон Неймана) определяется трансфинитной рекурсией на $\alpha$:

• $V_{0}=\varnothing$,
• $V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })$,
• $V_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }V_{\beta }$, когда $\alpha$ является предельным ординалом.

Для любого порядкового номера $\alpha$, $V_{\alpha }$ это набор. Объединение множеств $V_{\alpha }$ для всех порядковых номеров $\alpha$ уже не множество, а собственный класс. Некоторые из наборов $V_{\alpha }$ обладают теоретико-множественными свойствами, например, когда $\kappa$ недоступный кардинал, $V_{\kappa }$ удовлетворяет ZFC второго порядка («удовлетворяет» здесь означает понятие удовлетворения от логики первого порядка).

Для транзитивного класса $M$, функция $j:V\to M$ называется элементарным вложением, если для любой формулы $\phi$ со свободными переменными $x_{1},\ldots ,x_{n}$ на языке теории множеств это тот случай, когда $V\vDash \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ если только $M\vDash \phi (j(x_{1}),\ldots ,j(x_{n}))$, где $\vDash$ является понятием удовлетворения логики первого порядка, как и раньше. Элементарное вложение $j$ называется нетривиальным, если оно не тождественно. Если $j:V\to M$ является нетривиальным элементарным вложением, существует порядковый номер $\kappa$ такой, что $j(\kappa )\neq \kappa$, и наименьший такой $\kappa$ называется критической точкой $j$.

Многие крупные кардинальные свойства можно сформулировать в терминах элементарных вложений. Для порядкового номера $\beta$, кардинал $\kappa$ Говорят, что это $\beta$-strong, если транзитивный класс $M$ можно найти такое, что существует нетривиальное элементарное вложение $j:V\to M$ критическая точка которого $\kappa$, и кроме того $V_{\beta }\subseteq M$.

Укрепление понятия $\beta$-сильный кардинал – это понятие $A$-сила кардинала $\kappa$ в большем кардинале $\delta$: если $\kappa$ и $\delta$ кардиналы с $\kappa <\delta$, и $A$ является подмножеством $V_{\delta }$, затем $\kappa$ Говорят, что это $A$-сильный в $\delta$ если для всех $\beta <\delta$, существует нетривиальное элементарное вложение $j:V\to M$ свидетельствуя об этом $\kappa$ является $\beta$-сильный, и кроме того $j(A)\cap V_{\beta }=A\cap V_{\beta }$. (Это усиление, как при напуске $A=V_{\delta }$, $\kappa$ существование $A$-сильный в $\delta$ подразумевает, что $\kappa$ является $\beta$- сильный для всех $\beta <\delta$, как и любой $\beta <\delta$, $V_{\delta }\cap V_{\beta }=V_{\beta }$ должно быть равно $j(A)\cap V_{\beta }$, $V_{\delta }$ должно быть подмножеством $j(A)$ и, следовательно, является подмножеством диапазона $j$.) Наконец кардинал $\delta$ является Вудином, если для любого выбора $A\subseteq V_{\delta }$, существует $\kappa <\delta$ такой, что $\kappa$ является $A$-сильный в $\delta$.

Последствия

Кардиналы Вуда играют важную роль в дескриптивной теории множеств . По результату Мартина по и Стила , существование бесконечного числа кардиналов Вуда предполагает проективную определенность , из которой, в свою очередь, следует, что каждое проективное множество измеримо Лебегу , обладает свойством Бэра (отличается от открытого множества скудным множеством , т. е. множеством, которое является счетное объединение нигде не плотных множеств ) и свойство совершенного множества (либо счетно, либо содержит совершенное подмножество).

Непротиворечивость существования кардиналов Вуда можно доказать, используя гипотезы детерминированности. Работая в ZF + AD + DC можно доказать, что $\Theta _{0}$ принадлежит Вудину к классу наследственно порядково определяемых множеств. $\Theta _{0}$ - это первый ординал, на который континуум не может быть отображен с помощью ординально определяемой сюръекции (см. Θ (теория множеств) ).

Митчелл и Стил показали, что если предположить, что кардинал Вудина существует, то существует внутренняя модель , содержащая кардинал Вудина, в которой существует $\Delta _{4}^{1}$-хороший порядок вещественных чисел, ◊ верен, и верна обобщенная гипотеза континуума .

Шела доказал, что если существование кардинала Вудина непротиворечиво, то нестационарный идеал на $\omega _{1}$ является $\aleph _{2}$-насыщенный. Вудин также доказал равносогласованность существования бесконечного числа кардиналов Вуда и существование $\aleph _{1}$-плотный идеал над $\aleph _{1}$.

Wood

Кардинал ​ $\kappa$ называется гипер-Вудином, если существует нормальная мера $U$ на $\kappa$ такой, что для каждого набора $S$, набор

$\{\lambda <\kappa \mid \lambda$ является $<\kappa$- $S$- сильный $\}$

находится в $U$.

$\lambda$ является $<\kappa$- $S$-сильным тогда и только тогда, когда для каждого $\delta <\kappa$ есть транзитивный класс $N$ и элементарное вложение

$j:V\to N$

с

$\lambda ={\text{crit}}(j),$

$j(\lambda )\geq \delta$, и

$j(S)\cap H_{\delta }=S\cap H_{\delta }$.

Название отсылает к классическому результату: кардинал является Вудином тогда и только тогда, когда для каждого множества $S$, набор

$\{\lambda <\kappa \mid \lambda$ является $<\kappa$- $S$- сильный $\}$

представляет собой стационарный набор .

Мера $U$ будет содержать набор всех кардиналов Шелы ниже $\kappa$.

кардиналы

Кардинал ​ $\kappa$ называется слабо гипер-Вудином, если для любого множества $S$ существует нормальная мера $U$ на $\kappa$ такой, что набор $\{\lambda <\kappa \mid \lambda$ является $<\kappa$- $S$- сильный $\}$ находится в $U$. $\lambda$ является $<\kappa$- $S$-сильным тогда и только тогда, когда для каждого $\delta <\kappa$ есть транзитивный класс $N$ и элементарныйвстраивание $j:V\to N$ с $\lambda ={\text{crit}}(j)$, $j(\lambda )\geq \delta$, и $j(S)\cap H_{\delta }=S\cap H_{\delta }.$

Название отсылает к классическому результату: кардиналом является Вудин, если для каждого множества $S$, набор $\{\lambda <\kappa \mid \lambda$ является $<\kappa$- $S$- сильный $\}$ является стационарным.

Разница между кардиналами гипер-Вуда и слабо гипер-Вудином состоит в том, что выбор $U$ не зависит от выбора набора $S$ для кардиналов гипер-Вуда.

следующих

Позволять $\delta$ будь кардиналом и пусть $\alpha$ быть наименее допустимым порядковым номером, большим, чем $\delta$. Кардинал $\delta$ называется допустимым по Вудину, если для любой функции $f:\delta \to \delta$ такой, что $f\in L_{\alpha }(V_{\delta })$, существует $\kappa <\delta$ такой, что $f[\kappa ]\subseteq \kappa$и есть расширитель $E\in V_{\delta }$ такой, что $\mathrm {crit} (E)=\kappa$ и $V_{i_{E}(f)(\kappa )}\subset \mathrm {Ult} (V,E)$. Эти кардиналы появляются при построении моделей из деревьев итераций. ^стр.4

Дальнейшее чтение

• Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-00384-3 .
• Доказательства двух результатов, перечисленных в следствиях, см. в «Справочнике по теории множеств» (под ред. Формана, Канамори, Магидора) (будет опубликовано). черновики некоторых глав. Имеются
• Эрнест Шиммерлинг, кардиналы Вуда, кардиналы Шела и базовая модель Митчелла-Стила , Proceedings of the American Mathematical Society 130/11, стр. 3385–3391, 2002, онлайн