Обозначения Штейнгауза – Мозера

В математике нотация Штейнгауза-Мозера — это обозначение для выражения некоторых больших чисел . Это расширение (разработанное Лео Мозером ) нотации многоугольника Хьюго Штейнхауса .

Определения

число n в треугольнике означает n ^н .

число n в квадрате эквивалентно «числу n внутри n треугольников, которые все вложены».

число n в пятиугольнике эквивалентно «числу n внутри n квадратов, которые все вложены».

и т. д.: n, записанное в ( m + 1 )-стороннем многоугольнике, эквивалентно «числу n внутри n вложенных m -сторонних многоугольников». В серии вложенных полигонов они связаны внутрь. Число n внутри двух треугольников эквивалентно n ^н внутри одного треугольника, что эквивалентно n ^н возведен в степень n ^н .

Штейнгауз определил только треугольник, квадрат и круг. , что эквивалентно пятиугольнику, определенному выше.

Особые значения

Штейнгауз определил:

• мега — число, эквивалентное 2 в круге: ②
• Мегистон — число, эквивалентное 10 в круге: ⑩

Число Мозера — это число, представленное цифрой «2 в мегагоне». Мегагон здесь — название многоугольника с «мега» сторонами (не путать с многоугольником с миллионом сторон ).

Альтернативные обозначения:

• используйте функции Square(x) и Triangle(x)
• пусть M( n , m , p ) будет числом, представленным числом n в m вложенных p -сторонних многоугольниках; тогда правила такие:
  • $M(n,1,3)=n^{n}$
  • $M(n,1,p+1)=M(n,n,p)$
  • $M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)$
• и
  • мега = $M(2,1,5)$
  • Мегистон = $M(10,1,5)$
  • Мозер = $M(2,1,M(2,1,5))$

Мега

Мега, ②, уже очень большое число, поскольку ② = квадрат(квадрат(2)) = квадрат(треугольник(треугольник(2))) = квадрат(треугольник(2 ² )) = квадрат(треугольник(4)) = квадрат(4 ⁴ ) = квадрат(256) = треугольник(треугольник(треугольник(...треугольник(256)...))) [256 треугольников] = треугольник(треугольник(треугольник(...треугольник(256 ²⁵⁶ )...))) [255 треугольников] ~ треугольник(треугольник(треугольник(...треугольник(3,2317 × 10 ⁶¹⁶ )...))) [255 треугольников] ...

Используя другие обозначения:

мега = M(2,1,5) = M(256,256,3)

С помощью функции $f(x)=x^{x}$ у нас есть мега = $f^{256}(256)=f^{258}(2)$ где верхний индекс обозначает функциональную степень , а не числовую степень.

Имеем (обратите внимание на соглашение, согласно которому полномочия оцениваются справа налево):

• М(256,2,3) = $(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
• М(256,3,3) = $(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$≈ $256^{\,\!256^{256^{257}}}$

Сходным образом:

• М(256,4,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}$
• М(256,5,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• М(256,6,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

и т. д.

Таким образом:

• мега = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257$, где $(256\uparrow )^{256}$ обозначает функциональную степень функции $f(n)=256^{n}$.

Округлив грубее (заменив 257 в конце на 256), получим мега ≈ $256\uparrow \uparrow 257$, используя обозначение Кнута со стрелкой вверх .

После первых нескольких шагов значение $n^{n}$ каждый раз примерно равен $256^{n}$. Фактически оно даже приблизительно равно $10^{n}$ (см. также приближенную арифметику для очень больших чисел ). Используя степени по основанию 10, мы получаем:

• $M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}$
• $M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}$ ( $\log _{10}616$ добавляется к 616)
• $M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}$ ( $619$ добавляется в $1.99\times 10^{619}$, что незначительно; поэтому внизу добавляется только 10)
• $M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}$

...

• мега = $M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}$, где $(10\uparrow )^{255}$ обозначает функциональную степень функции $f(n)=10^{n}$. Следовательно $10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258$

число Мозера

Было доказано что в обозначении цепочки стрелок Конвея ,

$\mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,$

и, в обозначении Кнута, направленном вверх ,

$\mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.$

Поэтому число Мозера хоть и непостижимо велико, но исчезающе мало по сравнению с числом Грэма :

$\mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.$

См. также

• функция Аккермана

Внешние ссылки

• Большие числа Роберта Мунафо
• Фактоид о больших числах
• Мегистрон на mathworld.wolfram.com (Штайнхаус назвал это число «мегистоном» без буквы «r»).
• Обозначение круга на mathworld.wolfram.com
• Обозначение Штейнгауза-Мозера — бессмысленные вещи с большими числами