Свободное падение

В классической механике свободное падение - это любое движение тела , где гравитация является единственной силой, действующей на него. Свободно падающий объект не обязательно падает в вертикальном направлении . Объясняется объект вверх, возможно, не считается падением, но если он подлежит только силе гравитации, он, как говорят, находится в свободном падении. находится Таким образом , луна в свободном падении вокруг Земли , хотя ее орбитальная скорость удерживает ее в очень дальней орбите от поверхности Земли .

В примерно равномерном гравитационном поле тяжести действует на каждую часть тела приблизительно одинаково. Когда нет других сил, таких как нормальная сила, возникающая между телом (например, астронавт на орбите) и окружающими объектами, это приведет к ощущению невесомости , условие, которое также возникает, когда гравитационное поле является слабым (такое как когда вдали от любого источника гравитации).

Термин «свободное падение» часто используется более свободно, чем в строгом смысле, определенном выше. Таким образом, падение через атмосферу без развернутого парашюта или подъемного устройства также часто называют свободным падением . Аэродинамические силы сопротивления в таких ситуациях не позволяют им производить полную невесомость, и, таким образом , «свободное падение» парашюта после достижения терминальной скорости приводит к ощущению веса тела на подушке воздуха.

В контексте общей относительности , где гравитация сводится к кривизной пространственно-временном времени , тело в свободном падении не имеет силы.

История

В западном мире до 16 -го века обычно предполагалось, что скорость падающего тела будет пропорциональна его весу, то есть объект 10 кг, как ожидалось, упадет в десять раз быстрее, чем идентичный объект 1 кг через Та же среда. Древнегреческий философ Аристотель (384–322 гг. До н.э.) обсуждал падающие предметы в физике (Книга VII), одна из старейших книг по механике (см. Аристотелевскую физику ). Хотя в 6 -м веке Джон Филопон оспорил этот аргумент и сказал, что, по наблюдению, два шара совершенно разных весов упадут почти на одинаковой скорости. ^{[ 1 ]}

В Ираке 12-го века Абу'л-Баракат аль-Багдади дал объяснение гравитационного ускорения падающих тел. Согласно Шломо Пайнс , теория движения Аль-Багдади была «самым старым отрицанием фундаментального динамического закона Аристотеля [а именно, что постоянная сила приводит к единому движению], [и, таким образом Классическая механика [а именно, что сила, применяемая непрерывно, производит ускорение] ». ^{[ 2 ]}

Галилей Галилей

Согласно сказке, которая может быть апокрифическим, в 1589–1592 гг. Галилео отбросил два объекта неравной массы из худой башни Пизы . Учитывая скорость, с которой будет происходить такое падение, сомнительно, что Галилео мог бы извлечь много информации из этого эксперимента. Большинство его наблюдений за падающими телами действительно были из тел, катящихся по пандусам. Это замедлило вещи достаточно до такой степени, что он смог измерить интервалы времени с водными часами и его собственным пульсом (секунды еще не были изобретены). Он повторил это «полное сотню раз», пока не достиг «точности, так что отклонение между двумя наблюдениями никогда не превышало одну десятую от пульсного удара». В 1589–1592 годах Галилео написал De Motu Antiquiora , неопубликованную рукопись о движении падающих тел. ^{[ Цитация необходима ]}

Примеры

Примеры объектов в свободном падении включают:

( Космический корабль в космосе) с движением выключена (например, на непрерывной орбите или на субоорбитальной траектории ( баллистика ) поднимается в течение нескольких минут, а затем вниз).
Объект упал в верхней части капельной трубки .
Объект, брошенный вверх, или человек, спрыгивающий с земли на низкой скорости (т.е. до тех пор, пока сопротивление воздуха незначительна по сравнению с весом).

Технически, объект находится в свободном падении, даже при движении вверх или мгновенно в состоянии покоя в верхней части его движения. Если гравитация является единственным влиянием, которое выступает, то ускорение ^{[ 3 ]} всегда вниз и имеет одинаковую величину для всех тел, обычно обозначаемых $g$ .

Поскольку все объекты падают с одинаковой скоростью в отсутствие других сил, объекты и люди будут испытывать невесомость в этих ситуациях.

Примеры объектов не в свободном падении:

Полет в самолете: есть также дополнительная сила лифта .
Стоя на земле: гравитационная сила противодействует нормальной силе от земли.
Спускаясь на землю, используя парашют, который уравновешивает силу гравитации с аэродинамической силой сопротивления (и с некоторыми парашютами, дополнительной подъемной силой).

Пример падающего парашюта, который еще не развернул парашют, не считается свободным падением с точки зрения физики, поскольку они испытывают силу сопротивления , которая равна их весу, как только они достигли терминальной скорости (см. Ниже).

Рядом с поверхностью земли объект в свободном падении в вакууме будет ускоряться примерно при 9,8 м/с. ², независимо от его массы . С сопротивлением воздуха, действующим на объект, который был сброшен, объект в конечном итоге достигнет терминальной скорости, которая составляет около 53 м/с (190 км/ч или 118 миль в час ^{[ 4 ]}) для человеческого парашюта. Скорость терминала зависит от многих факторов, включая массу, коэффициент сопротивления и относительную площадь поверхности и будет достигнута только в том случае, если падение будет с достаточной высоты. Типичный парашютист в положении с распространением орла достигнет терминальной скорости примерно через 12 секунд, в течение которых они упадут около 450 м (1500 футов). ^{[ 4 ]}

Свободное падение было продемонстрировано на Луне астронавтом Дэвидом Скоттом 2 августа 1971 года. Он одновременно выпустил молоток и перьев с той же высоты над поверхностью луны. Молоток и перо оба упали с одной и той же скоростью и одновременно ударили по поверхности. Это продемонстрировало обнаружение Галилея, что в отсутствие сопротивления воздуха все объекты испытывают одно и то же ускорение из -за гравитации. На Луне, однако, гравитационное ускорение составляет приблизительно 1,63 м/с. ², или только о ¹⁄ _6, что на земле.

Бесплатное падение в ньютоновской механике

Равномерное гравитационное поле без сопротивления воздуха

Это «учебник» случай вертикального движения объекта, падающего на небольшое расстояние рядом с поверхностью планеты. Это хорошее приближение в воздухе, пока сила тяжести на объект намного больше, чем сила сопротивления воздуха, или, как и эквивалентно, скорость объекта всегда намного меньше, чем скорость клеммы (см. Ниже).

v(t)=v_{0}-gt\,

y(t)=v_{0}t+y_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}

где

v_{0}\,

является начальным вертикальным компонентом скорости (м/с).

v(t)\,

является вертикальным компонентом скорости в

t\,

(РС).

y_{0}\,

это начальная высота (м).

y(t)\,

Высота на

t\,

(м).

t\,

время истекает (ы).

g\,

ускорение из -за гравитации (9,81 м/с ² Рядом с поверхностью земли).

Если начальная скорость равна нулю, то расстояние, упавшее с начального положения, будет расти как квадрат прошедшего времени. Более того, поскольку нечетные числа суммируются на идеальные квадраты , расстояние, упавшее в последовательные временные интервалы, растет как нечетные числа. Это описание поведения падающих тел было дано Галилеем. ^{[ 5 ]}

Равномерное гравитационное поле с сопротивлением воздуха

Ускорение небольшого метеороида при входе в атмосферу Земли при разных начальных скоростях

Этот случай, который относится к парашютистам, парашютистам или любым массам, $m$ и зона поперечного сечения, $A$ , с числом Рейнольдса значительно выше критического числа Рейнольдса, так что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости падения, $v$ , имеет уравнение движения

m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,

где $\rho$ Плотность воздуха и $C_{\mathrm {D} }$ является коэффициентом сопротивления , предполагается, постоянным, хотя в целом он будет зависеть от числа Рейнольдса.

Предполагая, что объект, падающий с отдыха и не изменяет плотность воздуха с высотой, решение:

v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),

где скорость терминала определяется

v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.

Скорость объекта в зависимости от времени может быть интегрирована с течением времени, чтобы найти вертикальную позицию как функцию времени:

y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).

Используя фигуру 56 м/с для терминальной скорости человека, можно обнаружить, что через 10 секунд он упадет на 348 метров и достигнет 94% терминальной скорости, и через 12 секунд он упадет на 455 метров и достигнет 97% терминальной скорости. Однако, когда нельзя предположить, что плотность воздуха является постоянной, например, для объектов, падающих с высокой высоты, уравнение движения становится гораздо сложнее решать аналитическое значение, и обычно необходимо численное моделирование движения. На рисунке показаны силы, действующие на метеороиды, падающие через верхнюю атмосферу Земли. Прыжки Halo , в том числе прыжки Джо Киттингера и Felix Baumgartner , также относятся к этой категории. записи ^{[ 6 ]}

Гравитационное поле обратного квадрата

Можно сказать, что два объекта в космосе, вращающихся друг с другом в отсутствие других сил, находятся в свободном падении друг вокруг друга, например, что луна или искусственный спутник «падают» на землю, или планета «падает» на солнце Полем Предполагая, что сферические объекты означают, что уравнение движения регулируется законом Ньютона универсальной гравитации , причем решения гравитационной проблемы с двумя телами являются эллиптическими орбитами, подчиняющимися законам Кеплера о планетарном движении . Эта связь между падающими объектами, близкими к Земле и орбитальными объектами, лучше всего иллюстрируется мысленным экспериментом, пушечным ядром Ньютона .

Движение двух объектов, направляющихся радиально, к друг другу без углового импульса можно считать особым случаем эллиптической орбиты эксцентриситета e = 1 ( радиальная эллиптическая траектория ). Это позволяет вычислить время свободного падения для двух точечных объектов на радиальном пути. Решение этого уравнения движения дает время как функция разделения:

t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),

где

t

это время после начала осени

y

расстояние между центрами тел

y_{0}

является начальным значением

y

\mu =G(m_{1}+m_{2})

это стандартный гравитационный параметр .

Замена $y=0$ Мы получаем свободное время

t_{\text{ff}}=\pi {\sqrt {y_{0}^{3}/(8\mu )}}~.

Разделение может быть явно выражено как функция времени ^{[ 7 ]}

y(t)=y_{0}~Q\left(1-{\frac {t}{t_{\text{ff}}}};{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right)~,

где $Q(x;\alpha ,\beta )$ Является ли квантильная функция бета -распределения , также известная как обратная функция регуляризованной неполной бета -функции $I_{x}(\alpha ,\beta )$ .

Это решение также может быть точно представлено серией аналитической мощности

y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0}\left({\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\frac {7}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}})\right)^{-{\frac {2}{3}}n}\right]\right)\right].

Оценка этой урожайности: ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

y(t)=y_{0}\left(x-{\frac {1}{5}}x^{2}-{\frac {3}{175}}x^{3}-{\frac {23}{7875}}x^{4}-{\frac {1894}{3031875}}x^{5}-{\frac {3293}{21896875}}x^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}x^{7}-\cdots \right)\ ,

где

$x=\left[{\frac {3}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}-t{\sqrt {\frac {2\mu }{{y_{0}}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}.$

В общем относительстве

В целом относительность, объект в свободном падении не подлежит силе и является инерционным телом, движущимся по геодезии . Вдали от любых источников космической кривизны, где пространственно- временное, ньютоновская теория свободного падения согласна с общей теорией. В противном случае эти двое не согласны; Например, только общая теория относительности может объяснить прецессию орбит, орбитальный распад или вдохновление компактных двоичных файлов из -за гравитационных волн и относительности направления ( геодезическая прецессия и перетаскивание кадров ).

Экспериментальное наблюдение о том, что все объекты в свободном падении ускоряются с той же скоростью, как отмечалось Галилео, а затем воплощены в теории Ньютона как равенство гравитационных и инерционных масс, а затем подтверждается высокой точностью современными формами эксперимента EoTvös , является Основа принципа эквивалентности , с которого основана теория Эйнштейна общей относительности, первоначально взлетела.

Смотрите также

Ссылки

^ Коэн, Моррис Р.; Дрейбрин, т.е., ред. (1958). Источница в греческой науке . Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета. п. 220.
^ Pines, Shlomo (1970). «Абу'л-баракат аль-Багдади, Хибат Аллах». Словарь научной биографии . Тол. 1. Нью -Йорк: сыновья Чарльза Скрибнера. С. 26–28. ISBN 0-684-10114-9 .
( См. Абель Б. Франко (октябрь 2003 г. ) .
^ «Лекции Фейнмана по физике, том I Ch. 8: Motion» .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} «Свободный осенний график» (PDF) . Публикации Green Harbour. 2010 год . Получено 14 марта 2016 года .
^ Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (2008). Механическая вселенная: введение в механику и тепло . Издательство Кембриджского университета. п. 18. ISBN 978-0-521-71592-8 .
^ Анализ таких прыжков приведен в Мохаззаби, P.; Shea, J. (1996). «Высокая высота свободная падение» (PDF) . Американский журнал физики . 64 (10): 1242. Bibcode : 1996 Amplyjph..64.1242M . doi : 10.1119/1.18386 .
^ Обресчкоу, Данайл (7 июня 2024 года). «От кавитации до астрофизики: явное решение уравнения сферического коллапса» . Физический Преподобный 109 (6): 065102. Arxiv : 2401.05445 . BIBCODE : 2024PHRVE.109F5102O . doi : 10.1103/physreve.109.065102 . PMID 39021019 .
^ Foong, SK (2008). «От луны до движений в соответствии с законами об обратных квадратах» . Европейский журнал физики . 29 (5): 987–1003. Bibcode : 2008ejph ... 29..987f . doi : 10.1088/0143-0807/29/5/012 . S2CID 122494969 .
^ Манган, Карл Э. (2009). «Радиальное движение двух взаимно привлекательных частиц» (PDF) . Учитель физики . 47 (8): 502–507. Bibcode : 2009phtea..47..502m . doi : 10.1119/1.3246467 .

Внешние ссылки

Калькулятор формулы Freefall
Как обстоят дела на образовательный веб -сайт

[1] Коэн, Моррис Р.; Дрейбрин, т.е., ред. (1958). Источница в греческой науке . Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета. п. 220.

[2] Pines, Shlomo (1970). «Абу'л-баракат аль-Багдади, Хибат Аллах». Словарь научной биографии . Тол. 1. Нью -Йорк: сыновья Чарльза Скрибнера. С. 26–28. ISBN 0-684-10114-9 .
( См. Абель Б. Франко (октябрь 2003 г. ) .

[3] «Лекции Фейнмана по физике, том I Ch. 8: Motion» .

[Greenharbor-4] Jump up to: ^а ^{беременный} «Свободный осенний график» (PDF) . Публикации Green Harbour. 2010 год . Получено 14 марта 2016 года .

[5] Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (2008). Механическая вселенная: введение в механику и тепло . Издательство Кембриджского университета. п. 18. ISBN 978-0-521-71592-8 .

[6] Анализ таких прыжков приведен в Мохаззаби, P.; Shea, J. (1996). «Высокая высота свободная падение» (PDF) . Американский журнал физики . 64 (10): 1242. Bibcode : 1996 Amplyjph..64.1242M . doi : 10.1119/1.18386 .

[7] Обресчкоу, Данайл (7 июня 2024 года). «От кавитации до астрофизики: явное решение уравнения сферического коллапса» . Физический Преподобный 109 (6): 065102. Arxiv : 2401.05445 . BIBCODE : 2024PHRVE.109F5102O . doi : 10.1103/physreve.109.065102 . PMID 39021019 .

[8] Foong, SK (2008). «От луны до движений в соответствии с законами об обратных квадратах» . Европейский журнал физики . 29 (5): 987–1003. Bibcode : 2008ejph ... 29..987f . doi : 10.1088/0143-0807/29/5/012 . S2CID 122494969 .

[9] Манган, Карл Э. (2009). «Радиальное движение двух взаимно привлекательных частиц» (PDF) . Учитель физики . 47 (8): 502–507. Bibcode : 2009phtea..47..502m . doi : 10.1119/1.3246467 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]