Численное моделирование (геология)

Моделирование распространения сейсмических волн в глобальном масштабе с использованием суперкомпьютера для решения волновых уравнений

В геологии . численное моделирование является широко применяемым методом решения сложных геологических проблем путем компьютерного моделирования геологических сценариев

Численное моделирование использует математические модели для описания физических условий геологических сценариев с помощью чисел и уравнений. Тем не менее, некоторые из их уравнений трудно решить напрямую, например, уравнения в частных производных . С помощью численных моделей геологи могут использовать такие методы, как методы конечных разностей , для аппроксимации решений этих уравнений. Затем с этими моделями можно проводить численные эксперименты, получая результаты, которые можно интерпретировать в контексте геологического процесса. С помощью этих экспериментов можно получить как качественное, так и количественное понимание различных геологических процессов.

Численное моделирование использовалось для изучения механики горных пород , термической истории горных пород, движений тектонических плит и мантии Земли. Поток жидкостей моделируется с использованием численных методов, и это показывает, как движутся грунтовые воды или как движения расплавленного внешнего ядра создают геомагнитное поле.

История

До развития численного моделирования аналоговое моделирование , которое моделирует природу с уменьшенными масштабами по массе, длине и времени, было одним из основных способов решения геологических проблем. например, для моделирования формирования надвиговых поясов . Простые аналитические или полуаналитические математические модели также использовались для количественного решения относительно простых геологических задач.

В конце 1960-х — 1970-х годах, после развития методов конечных элементов при решении задач механики сплошной среды для гражданского строительства , численные методы были адаптированы для моделирования сложных геологических явлений. например, складной и мантийная конвекция . С развитием компьютерных технологий точность численных моделей повысилась. Численное моделирование стало важным инструментом решения геологических задач. особенно для тех частей Земли, которые трудно наблюдать напрямую, таких как мантия и ядро . Тем не менее, аналоговое моделирование по-прежнему полезно при моделировании геологических сценариев, которые трудно отразить в числовых моделях, а сочетание аналогового и численного моделирования может быть полезно для улучшения понимания земных процессов.

Компоненты

Этапы численного моделирования. Первым шагом в численном моделировании является количественное описание фактического геологического сценария. Например, при моделировании мантийной конвекции уравнения теплопроводности используются для описания тепловой энергии, циркулирующей в системе, а уравнения Навье – Стокса описывают поток вязкой жидкости (мантийной породы). Во-вторых, поскольку эти уравнения трудно решить, дискретизация для аппроксимации основных уравнений выбираются и численные методы. Затем алгоритмы компьютера могут вычислить приближенные решения. Наконец, на основе этих решений можно сделать интерпретацию. Например, при моделировании мантийной конвекции сначала можно визуализировать течение мантии. Затем можно сделать вывод о взаимосвязи между характером потока и входными параметрами.

Общее исследование численной модели обычно состоит из следующих компонентов:

1. Математическая модель представляет собой упрощенное описание геологической задачи, такое как уравнения и граничные условия. Эти основные уравнения модели часто представляют собой уравнения в частных производных которые трудно решить напрямую, поскольку они производную функции включают , например, волновое уравнение .
2. Методы дискретизации и численные методы преобразуют основные уравнения математических моделей в дискретные уравнения. Эти дискретные уравнения могут аппроксимировать решение основных уравнений. Общие методы включают метод конечных элементов , конечной разности или метод конечного объема , которые разделяют интересующий объект на более мелкие части (элементы) с помощью сетки. Эти дискретные уравнения затем могут быть решены в каждом элементе численно. Метод дискретных элементов использует другой подход: этот метод собирает интересующий объект из множества крошечных частиц. Затем к взаимодействиям между частицами применяются простые основные уравнения.
3. Алгоритмы — это компьютерные программы, которые вычисляют решение, используя идеи вышеупомянутых численных методов.
4. Интерпретации производятся на основе решений, данных численными моделями.

Характеристики

Хорошая численная модель обычно обладает некоторыми из следующих свойств:

• Последовательность : числовые модели часто делят объект на более мелкие элементы. Если модель непротиворечива, результат численной модели почти такой же, как предсказывает математическая модель, когда размер элемента почти равен нулю. Другими словами, ошибка между дискретными уравнениями, используемыми в численной модели, и основными уравнениями в математической модели стремится к нулю, когда пространство сетки (размер элемента) становится близким к нулю.
• Стабильный : в стабильной численной модели ошибка во время расчета численными методами не увеличивается. Ошибка нестабильной модели быстро накапливается и приводит к неверному результату. Стабильная численная модель дает тот же результат , и непротиворечивая что и точное решение в математической модели, когда интервал сетки (размер элемента) чрезвычайно мал.
• Схождение : выходные данные численной модели становятся ближе к фактическому решению основных уравнений в математических моделях, когда шаг сетки (размер элемента) уменьшается, что обычно проверяется путем проведения численных экспериментов.
• Сохраняется : физические величины в моделях, такие как масса и импульс, сохраняются. Поскольку уравнения математических моделей обычно выводятся из различных законов сохранения, результат модели не должен нарушать эти предпосылки.
• Ограничено : решение, данное численной моделью, имеет разумные физические границы по отношению к математическим моделям, например, масса и объем должны быть положительными.
• Точность : решение, данное численными моделями, близко к реальному решению, предсказанному математической моделью.

Вычисление

Ниже приведены некоторые ключевые аспекты идей разработки численных моделей в геологии. Сначала следует определиться со способом описания объекта и движения ( кинематическое описание). Затем записываются управляющие уравнения, описывающие геологические проблемы, например, уравнения теплопроводности описывают поток тепла в системе. Поскольку некоторые из этих уравнений не могут быть решены напрямую, для аппроксимации решения основных уравнений используются численные методы.

Кинематические описания

Основная статья: Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения

В числовых моделях и математических моделях существует два разных подхода к описанию движения материи: эйлеров и лагранжев . В геологии оба подхода обычно используются для моделирования потока жидкости, такого как мантийная конвекция, где для вычислений используется эйлерова сетка, а для визуализации движения используются лагранжевы маркеры. В последнее время появились модели, которые пытаются описать разные части, используя разные подходы, чтобы объединить преимущества этих двух подходов. Этот комбинированный подход называется произвольным лагранжево-эйлеровым подходом .

Эйлеров

Эйлеров подход рассматривает изменения физических величин, таких как масса и скорость, в фиксированном месте во времени. Это похоже на то, как речная вода течет мимо моста. Математически физические величины можно выразить как функцию местоположения и времени. Этот подход полезен для жидких и однородных (однородных) материалов, не имеющих естественной границы.

лагранжиан

С другой стороны, лагранжев подход рассматривает изменение физических величин, таких как объем, фиксированных элементов материи с течением времени. Это похоже на наблюдение за определенным набором молекул воды, движущихся вниз по течению реки. Используя лагранжев подход, легче отслеживать твердые объекты, у которых есть естественная граница, отделяющая их от окружающей среды.

Кинематические описания

• 
  Эйлеров подход На рисунке оранжевая рамка обозначает интересующую область. В эйлеровом подходе расположение красного прямоугольника фиксировано, а изменение цвета этого прямоугольника иллюстрирует изменение значения в этом положении.
• 
  Лагранжев подход. На рисунке оранжевым прямоугольником обозначена область интереса. В лагранжевом подходе расположение красного прямоугольника не фиксировано, оно перемещается со временем. Областью интереса всегда является один и тот же элемент.

Основные уравнения

Основная статья: Основное уравнение

Ниже приведены некоторые основные уравнения, которые обычно используются для описания физических явлений, например, того, как движется или течет вещество в геологической системе и как в системе распределяется тепловая энергия. Эти уравнения обычно составляют основу математической модели.

Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности — это математическая версия утверждения о том, что геологический объект или среда непрерывны, что означает, что в объекте не может быть обнаружено пустого пространства. Это уравнение обычно используется при численном моделировании в геологии.

Одним из примеров является уравнение неразрывности массы жидкости. На основании закона сохранения массы для жидкости с плотностью $\rho$ на позиции $x_{j}$ в фиксированном объеме $V$ жидкости, скорость изменения массы равна выходящему потоку жидкости через границу $S$:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}\rho dV=-\int \limits _{S}\rho u_{j}dS_{j}$

где $V$ является элементом объема и $u_{j}$ это скорость при $x_{j}$.

В лагранжевой форме:

${\frac {D\rho }{Dt}}\equiv {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}=-\rho {\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{j}}}$

В эйлеровой форме:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial (\rho u_{j})}{\partial x_{j}}}$

Это уравнение полезно, когда модель предполагает непрерывный поток жидкости, например, в мантии, в геологических масштабах времени.

Уравнение импульса

Основные статьи: Уравнения движения и уравнения Навье – Стокса.

Уравнение количества движения описывает, как материя движется в ответ на приложенную силу. Это выражение второго закона движения Ньютона .

Рассмотрим фиксированный объем $V$ материи. По закону сохранения импульса скорость изменения объема равна:

• внешняя сила $F$ применяется к элементу
• плюс нормальное напряжение и напряжение сдвига, приложенное к поверхности $S$ ограничивающий элемент
• минус импульс, выходящий из элемента на этой поверхности

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}\rho u_{i}dV=\int \limits _{V}\rho F_{i}dV+\int \limits _{S}\sigma _{ij}dS_{j}-\int \limits _{S}\rho u_{i}u_{j}dS_{j}$

где $V$ — элемент объема, $u$ это скорость.

После упрощений и интеграций для любого объема $V$, эйлерова форма этого уравнения:

$\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+\rho u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho F_{i}+{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}$

Уравнение теплопроводности

Основные статьи: Уравнение теплопроводности и уравнение конвекции-диффузии.

Уравнения теплопроводности описывают, как тепловая энергия течет в системе.

Из закона сохранения энергии скорость изменения энергии $E$ фиксированного объема $V$ массы равна:

• работа проделана на границе $S$
• плюс работа, совершенная внешней силой $F$ в объеме $V$
• минус теплопроводность через границу $S$
• минус тепловая конвекция через границу $S$
• плюс тепло, выделяемое внутри

Математически:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}\rho EdV=\int \limits _{S}u_{i}\sigma _{ij}dS_{j}+\int \limits _{V}\rho u_{i}F_{i}dV-\int \limits _{S}k{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}dS_{j}-\int \limits _{S}\rho Eu_{j}dS_{j}+\int \limits _{V}\rho HdV$

где $V$ — элемент объема, $u$ это скорость, $T$ это температура, $k$ коэффициент проводимости и $H$ – это скорость теплопродукции.

Численные методы

Пример 2D-сетки конечных элементов. Область разделена на множество непересекающихся треугольников (элементов). Узлы – это вершины треугольников.

Численные методы — это методы аппроксимации основных уравнений математических моделей.

Общие численные методы включают метод конечных элементов , спектральный метод , метод конечных разностей и метод конечных объемов . Эти методы используются для аппроксимации решения основных дифференциальных уравнений в математической модели путем разделения области на сетки или сетки и применения более простых уравнений к отдельным элементам или узлам сетки.

Продолжительность: 17 секунд. 0:17

Аппроксимация волновых уравнений методом конечных элементов. Область разделена на множество треугольников. Рассчитываются значения узлов сетки, показывающие, как волна распространяется в регионе.

Метод дискретных элементов использует другой подход. Объект считается совокупностью мелких частиц.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов подразделяет объект (или домен) на более мелкие непересекающиеся элементы (или поддомены), и эти элементы соединяются в узлах. Решение уравнений в частных производных затем аппроксимируется более простыми уравнениями элементов, обычно полиномами . Затем эти уравнения элементов объединяются в уравнения для всего объекта, т.е. вклад каждого элемента суммируется для моделирования реакции всего объекта. Этот метод обычно используется для решения механических проблем. Ниже приведены общие этапы использования метода конечных элементов:

1. Выберите тип элемента и разделите объект. Общие типы элементов включают треугольные, четырехугольные, четырехгранные и т. д. Для разных задач следует выбирать разные типы элементов.
2. Определите функцию перемещения. Функция смещения определяет, как движутся элементы. линейные, квадратичные или кубические полиномиальные функции. Обычно используются
3. Определите соотношение смещения-деформации. Смещение элемента изменяет или деформирует форму элемента, что технически называется деформацией . Это соотношение рассчитывает, какую нагрузку испытал элемент из-за смещения.
4. Определите соотношение деформация-напряжение. Деформация элемента вызывает напряжение в элементе, которое представляет собой силу, приложенную к элементу. Это соотношение рассчитывает величину напряжения, испытываемого элементом из-за деформации. Одним из примеров этого соотношения является закон Гука .
5. Вывести уравнения жесткости и матрицу жесткости элементов. Напряжение также приводит к деформации элемента; жесткость ( жесткость ) элемента показывает, насколько он будет деформироваться в ответ на нагрузку. Жесткость элементов в разных направлениях представлена ​​в матричной форме для упрощения работы при расчете.
6. Объедините уравнения элементов в глобальные уравнения. Вклады каждого элемента суммируются в набор уравнений, описывающих всю систему.
7. Примените граничные условия. На границу системы вводятся заранее определенные условия на границе, такие как температура, напряжение и другие физические величины.
8. Решить перемещение. С течением времени перемещение элементов решается шаг за шагом.
9. Решите проблему перенапряжения и стресса. После расчета смещения деформации и напряжения рассчитываются с использованием соотношений, описанных в шагах 3 и 4.

Решение уравнения Бюргерса , описывающего поведение ударных волн, с использованием спектрального метода . Область сначала подразделяется на прямоугольную сетку. Идея этого метода аналогична методу конечных элементов.

Спектральный метод

Спектральный метод аналогичен методу конечных элементов. Основное отличие состоит в том, что спектральный метод использует базисные функции , возможно, с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) , которое аппроксимирует функцию суммой множества простых функций. Эти виды базисных функций затем можно применять ко всей области и аппроксимировать основные дифференциальные уравнения в частных производных . Таким образом, при каждом расчете учитывается информация из всей области, тогда как метод конечных элементов принимает информацию только из окрестности. В результате спектральный метод сходится экспоненциально и подходит для решения задач, связанных с высокой изменчивостью во времени или пространстве.

Метод конечного объема

Метод конечных объемов также аналогичен методу конечных элементов. Он также подразделяет интересующий объект на более мелкие объемы (или элементы), затем физические величины решаются по контрольному объему как потоки этих величин через разные грани. Используемые уравнения обычно основаны на сохранении или балансе физических величин, таких как масса и энергия.

Метод конечных объемов может применяться к нерегулярным сеткам, как и метод конечных элементов. Уравнения элементов по-прежнему имеют физический смысл. Однако добиться большей точности сложно, поскольку версия уравнений элементов более высокого порядка не определена четко.

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей аппроксимирует дифференциальные уравнения путем аппроксимации производной разностным уравнением , что является основным методом решения уравнений в частных производных .

Метод конечных разностей

Рассмотрим функцию $f(x)$ с однозначными производными, которые являются непрерывными и конечными функциями $x$, согласно теореме Тейлора :

$f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta xf'(x)+{\frac {1}{2}}\Delta x^{2}f''(x)+{\frac {1}{6}}\Delta x^{3}f'''(x)+\cdots$

и

$f(x-\Delta x)=f(x)-\Delta xf'(x)+{\frac {1}{2}}\Delta x^{2}f''(x)-{\frac {1}{6}}\Delta x^{3}f'''(x)+\cdots$

Суммируя приведенные выше выражения:

$f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)=2f(x)+\Delta x^{2}f''(x)+{\text{terms with higher than 4th power of }}\Delta x$

Не обращайте внимания на термины, имеющие более 4-ю степень. $x$, затем:

$f''(x)\simeq {\frac {1}{\Delta x^{2}}}\left[f(x+\Delta x)-2f(x)-f(x-\Delta x)\right]$

$f'(x)\simeq {\frac {1}{2\Delta x}}\left[f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)\right]$

Вышеуказанное представляет собой центральных разностей : аппроксимацию производных с помощью который также может быть аппроксимирован прямой разностью :

$f'(x)\simeq {\frac {1}{\Delta x}}\left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]$

или обратная разница :

$f'(x)\simeq {\frac {1}{\Delta x}}\left[f(x)-f(x-\Delta x)\right]$

Точность конечных разностей можно повысить, если использовать больше членов более высокого порядка.

Метод дискретных элементов

Пример модели, использующей метод дискретных элементов, в которой используется фотография Питера А. Кандалла. для инициирования частиц

Метод дискретных элементов , иногда называемый методом отдельных элементов, обычно используется для моделирования неоднородных материалов, таких как горные породы с трещинами, такими как трещины и напластования, поскольку он может явно моделировать свойства неоднородностей. этот метод был разработан для моделирования задач механики горных пород . Изначально

Основная идея этого метода заключается в моделировании объектов как совокупности более мелких частиц. это похоже на строительство замка из песка . Эти частицы имеют простую геометрию, например сферу. Физические величины каждой частицы, такие как скорость, постоянно обновляются в контактах между ними. Эта модель требует относительно больших вычислительных ресурсов, поскольку необходимо использовать большое количество частиц. особенно для масштабных моделей, таких как наклон. Поэтому эту модель обычно применяют к объектам небольшого масштаба.

Модель связанных частиц

Существуют объекты, которые не состоят из зернистых материалов, например кристаллические породы, состоящие из минеральных зерен, которые прилипают друг к другу или сцепляются друг с другом. Некоторая связь между частицами добавляется для моделирования сцепления или цементации между частицами. Модель такого типа также называется моделью связанных частиц.

Приложения

Численное моделирование может использоваться для моделирования проблем в различных областях геологии в различных масштабах, таких как инженерная геология , геофизика , геомеханика , геодинамика , механика горных пород , гидрогеология и стратиграфия . Ниже приведены некоторые примеры применения численного моделирования в геологии.

Образец в масштабе обнажения

Рок-механика

Численное моделирование широко применяется в различных областях механики горных пород . Камень — это материал, который сложно моделировать, потому что камень обычно:

• Прерывистый : в массиве горных пород имеются многочисленные трещины и микротрещины. а пространство в горной массе может быть заполнено другими веществами, такими как воздух и вода. Для полного отражения этих разрывов необходима сложная модель, поскольку разрывы оказывают сильное влияние на массив горных пород.
• Анизотропность : свойства горной массы, такие как проницаемость (способность пропускать жидкость), могут варьироваться в разных направлениях.
• Неоднородность : свойства разных частей горной массы могут быть разными. Например, физические свойства зерен кварца и зерен полевого шпата различны в граните .
• Неэластичный : камень не может полностью вернуться к своей первоначальной форме после снятия напряжения.

Для моделирования поведения горных пород необходима сложная модель, учитывающая все вышеперечисленные характеристики. Существует множество моделей, моделирующих горную породу как континуум с использованием таких методов, как метод конечных разностей , методов конечных элементов и граничных элементов . Одним из недостатков является то, что в этих моделях обычно ограничена возможность моделирования трещин и других несплошностей. Также широко используются модели, которые моделируют горную породу как дисконтинуум, используя такие методы, как методы дискретных элементов и дискретной сети трещин . Также были разработаны комбинации обоих методов.

Численное моделирование расширяет понимание механических процессов в горных породах за счет проведения численных экспериментов и полезно при проектировании и строительстве.

Регионального масштаба

Термохронология

Численное моделирование использовалось для прогнозирования и описания термической истории земной коры , что позволяет геологам улучшить интерпретацию термохронологических данных. Термохронология может указать время, когда горная порода остыла ниже определенной температуры. Геологические события, такие как развитие разломов и поверхностная эрозия, могут изменить термохронологическую картину образцов, собранных на поверхности, и по этим данным можно ограничить геологические события. Для прогнозирования закономерности можно использовать численное моделирование.

Трудности теплового моделирования земной коры в основном связаны с неравномерностью и изменениями земной поверхности (в основном эрозией ) во времени. Следовательно, чтобы смоделировать морфологические изменения поверхности Земли, модели должны решать уравнения теплопроводности с граничными условиями, которые изменяются со временем и имеют нерегулярную сетку.

Пекубе

Pecube — одна из численных моделей, разработанных для прогнозирования термохронологической картины. Он решает следующее обобщенное уравнение теплопередачи с адвекцией с использованием метода конечных элементов. Первые три слагаемых в правой части представляют собой тепло, передаваемое за счет проводимости в $x$, $y$ и $z$ направления в то время как $A$ это адвекция. $${\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\kappa {\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\kappa {\frac {\partial T}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}\kappa {\frac {\partial T}{\partial z}}+A$$ После того как в модели построено температурное поле, прослеживаются пути частиц и можно получить историю остывания частиц. Затем можно вычислить структуру термохронологического возраста.

Поперечное сечение, показывающее термические и эксгумационные закономерности земной коры, образовавшиеся в результате движения разлома . Моделирование создано Pecube [версия Группы геодинамики Хельсинкского университета (HUGG)]. Модель трехмерная; на рисунке для простоты показан фрагмент модели. На рисунке белая линия указывает на неисправность . Маленькие черные стрелки указывают направление движения материала в этой точке. Красные линии — изотермы (точки линий имеют одинаковую температуру). Модель Pecube использует как эйлеров, так и лагранжев подходы. Разлом можно считать стационарным, а земная кора движется. Первоначально температура коры зависит от глубины. Чем глубже глубина, тем горячее вещество. Во время этого события движение коры вдоль разлома перемещает материал с разными температурами. В висячей стенке (блоке над разломом) более горячий материал с большей глубины движется к поверхности; в то время как более холодный материал на меньшей глубине в подошве (блок ниже разлома) перемещается глубже. Поток материала меняет термический рисунок (изотерма изгибается поперек разлома) земной коры, что может сбросить термохронометры в породе. С другой стороны, скорость эксгумации также влияет на термохронометры в породе. Положительная скорость эксгумации указывает на то, что порода движется к поверхности, а отрицательная скорость эксгумации указывает на то, что порода движется вниз. Геометрия разлома влияет на скорость эксгумации структуры на поверхности.

Гидрогеология

См. также: Модель подземных вод.

В гидрогеологии поток подземных вод часто моделируется численно методом конечных элементов. и метод конечных разностей. Было показано, что эти два метода дают схожие результаты, если сетка достаточно мелкая.

Сетка конечных разностей, используемая в MODFLOW

МОДФЛОУ

Одной из известных программ моделирования потока подземных вод является MODFLOW , разработанная Геологической службой США . Это бесплатная программа с открытым исходным кодом , которая использует метод конечных разностей в качестве основы для моделирования условий подземных вод. Недавняя разработка связанных программ предлагает больше возможностей, в том числе:

• Взаимодействие между системами подземных и поверхностных вод
• Транспортировка растворенных веществ
• Поток жидкости с переменной плотностью, например соленой воды.
• Уплотнение систем водоносных горизонтов
• Проседание земли
• Управление подземными водами

Динамика земной коры

Реология и (реакция материалов на напряжение) коры и литосферы сложна, поскольку необходимо учитывать свободную поверхность (поверхность суши), а также пластичность эластичность материалов коры . В большинстве моделей используются методы конечных элементов с лагранжевой сеткой. Одно из применений — изучение деформации и кинематики субдукции .

ФЛАК

Быстрый лагранжев анализ континуумов (FLAC) — один из самых популярных подходов к моделированию динамики земной коры. Этот подход является быстрым , поскольку он решает уравнения импульса и непрерывности без использования матрицы, следовательно, он быстрый, но временные шаги должны быть достаточно малы. Этот подход был использован в 2D, 2,5Д, и 3D исследования динамики земной коры, в которых результаты 2,5D были получены путем объединения нескольких срезов двумерных результатов.

На этом рисунке показана настройка численной модели, используемой при изучении тектонической эволюции блока Катазия . которая составляет юго-восточную часть коробки Южного Китая . В этой модели используется код Flamar , который представляет собой код, подобный FLAC, который сочетает в себе методы конечных разностей и конечных элементов. Элемент, используемый в этой лагранжевой сетке, является четырехугольным. Граничные условия, применяемые к поверхности суши, свободные, на что влияет эрозия и отложение наносов. Граница по бокам движется с постоянной скоростью, что подтолкнет земную кору к субдукции . Граничное условие, используемое внизу, называется «податливым основанием Винклера». Он находится в гидростатическом равновесии и позволяет основанию свободно скользить по горизонтали.

Глобального масштаба

Мантийная конвекция

Моделирование мантийной конвекции в виде четверти 2D-кольца с помощью ASPECT . В модели температура границы ядро-мантия (внутренняя граница) является постоянной величиной 4273 К (около 4000°С), а на границе коры и мантии (внешняя граница) составляет 973 К (около 700°С). ). Сетка в моделировании меняется со временем. В коде используется адаптивное уточнение сетки : сетка более мелкая в тех областях, где требуется более точный расчет, например, восходящие шлейфы, а в других областях сетка более грубая, чтобы сэкономить вычислительную мощность. На рисунке красный цвет указывает на более высокую температуру, а синий цвет указывает на более низкую температуру; горячий материал поднимается от границы ядра и мантии из-за более низкой плотности. Когда горячий материал достигает внешней границы, он начинает двигаться горизонтально и в конечном итоге тонет из-за охлаждения.

Существует множество попыток смоделировать мантийную конвекцию.

Конечный элемент , конечный объём , конечная разность и спектральные методы использовались при моделировании мантийной конвекции, и почти в каждой модели использовалась эйлерова сетка. Из-за простоты и скорости методов конечных разностей и спектральных методов они использовались в некоторых ранних моделях, но методы конечных элементов или конечных объемов были широко приняты в 2010-х годах. Во многих контрольных статьях исследовалась достоверность этих численных моделей. Современные подходы в основном используют фиксированную и однородную сетку. Уточнение сетки, при котором размер элементов уменьшается в той части, которая требует более точной аппроксимации, возможно, является направлением будущего развития численного моделирования мантийной конвекции.

Метод конечных разностей

В 1960-1970-х годах модели мантийной конвекции, использующие метод конечных разностей, обычно использовали конечные разности второго порядка . Потоковые функции использовались для устранения эффекта давления и уменьшения сложности алгоритма. Благодаря развитию компьютерных технологий теперь для получения более точного результата используются конечные разности с членами более высокого порядка.

Подход конечного объема

Мантийная конвекция, моделируемая методом конечного объема, часто основана на балансе между давлением и импульсом . Полученные уравнения аналогичны методу конечных разностей с использованием сетки с шахматным расположением скорости и давления, в которой значения скорости и давления каждого элемента расположены в разных точках. Этот подход может поддерживать связь между скоростью и давлением.

На основе этого подхода конечной разности/конечного объема разрабатываются несколько кодов. При моделировании трехмерной геометрии Земли, поскольку параметры мантии различаются в разных масштабах, для преодоления трудностей применяется многосеточный метод , что означает использование разных размеров сетки для разных переменных. Примеры включают сетку кубических сфер, сетка «Инь-Ян», и спиральная сетка.

Метод конечных элементов

В подходе конечных элементов функции тока также часто используются для уменьшения сложности уравнений. Мошенник, моделирование двумерного течения несжимаемой жидкости в мантии было одним из популярных кодов моделирования мантийной конвекции в 1990-х годах. Citcom , эйлерова многосеточная модель конечных элементов, является одной из самых популярных программ. моделировать мантийную конвекцию в 2D и 3D.

Спектральный метод

Спектральный метод мантийной конвекции разбивает трехмерное основное уравнение на несколько одномерных уравнений, что решает их намного быстрее. Это был один из популярных подходов в ранних моделях мантийной конвекции. Многие программы были разработаны с использованием этого метода в период с 1980-х по начало 2000-х годов. Однако при таком подходе сложно управлять латеральными изменениями вязкости мантии, и в 2010-х годах стали более популярными другие методы.

Земля состоит из нескольких плит. Численные модели можно использовать для моделирования кинематики пластин.

Тектоника плит

Тектоника плит Земли — это теория, предполагающая, что литосфера в основном состоит из плит, плавающих на мантии. Модель мантийной конвекции является фундаментальной для моделирования плавающих на ней плит, и существует два основных подхода к включению плит в эту модель: подход жестких блоков и реологический подход. Подход с использованием жестких блоков предполагает, что пластины являются жесткими, что означает, что пластины сохраняют свою форму и не деформируются, как некоторые деревянные блоки, плавающие в воде. Напротив, реологический подход моделирует плиты как высоковязкую жидкость, в которой уравнения, применяемые к литосфере внизу, также применимы и к плитам сверху.

Геодинамо

Численные модели были созданы для проверки теории геодинамо — теории, которая утверждает, что геомагнитное поле генерируется движением проводящей жидкости из железа и никеля в ядре Земли .

Моделирование течения жидкого внешнего ядра Земли затруднено, потому что:

• из эффект Кориолиса -за вращения Земли игнорировать нельзя
• создаваемое магнитное поле также будет генерировать силу Лоренца , которая будет влиять на движение проводящей жидкости во внешнем жидком ядре.
• низкая вязкость жидкого железа затрудняет моделирование течения жидкости.

Большинство моделей используют спектральный метод для моделирования геодинамо. например, модель Глацмайера-Робертса. Метод конечных разностей также использовался в модели Кагеямы и Сато. В некоторых исследованиях также пробовались другие методы, например, метод конечного объема. и методы конечных элементов.

Численная модель геодинамо (модель Глатцмайера-Робертса), показывающая магнитное поле, создаваемое текущим жидким внешним ядром. На этом рисунке показано, как ведет себя магнитное поле Земли во время перемагничивания .

Сейсмология

Моделирование распространения сейсмических волн через Землю.

Методы конечных разностей широко используются при моделировании распространения сейсмических волн . Однако из-за ограничений вычислительной мощности в некоторых моделях шаг сетки слишком велик (по сравнению с длиной волны сейсмических волн), поэтому результаты оказываются неточными из-за дисперсии сетки , в которой сейсмические волны с разными частотами отдельный. Некоторые исследователи предлагают использовать спектральный метод для моделирования распространения сейсмических волн.

Ошибки и ограничения

Источники ошибок

Хотя численное моделирование обеспечивает точную количественную оценку геологических проблем, всегда существует разница между фактическими наблюдениями и результатами моделирования из-за:

• упрощение актуальной задачи при построении численной модели. Поскольку на геологическую систему могут повлиять многочисленные факторы, учесть все практически невозможно. Поэтому численная модель обычно упрощает реальную систему, опуская менее значимые факторы. Например, Землю часто моделируют как сферу, несмотря на волнистость земной поверхности.
• аппроксимации или идеализации основных уравнений. Многие объекты в природе сложны. Невозможно охватить все характеристики с помощью уравнений. Например, горные породы являются прерывистыми , но моделирование горных пород как сплошного материала целесообразно в больших масштабах, поскольку оно достаточно точно описывает свойства.
• аппроксимации в процессе дискретизации. Поскольку основные уравнения модели не могут быть решены напрямую, аппроксимации этих уравнений производятся с использованием дискретизации и численных методов.
• неопределенность физических параметров. Например, модели вязкости мантии и ядра неточны.

Ограничения

Помимо ошибок, существуют некоторые ограничения в использовании численных моделей:

• Пользователям моделей необходим высокий уровень знаний и опыта, чтобы предотвратить неправильное использование и неправильную интерпретацию результатов.

См. также

• Геологическое моделирование
• Численный анализ