Порядок действий
В математике и компьютерном программировании порядок операций представляет собой набор правил, которые отражают соглашения о том, какие операции следует выполнить в первую очередь, чтобы вычислить данное математическое выражение .
Эти правила формализованы ранжированием операций. Ранг операции называется ее приоритетом , и операция с более высоким приоритетом выполняется раньше операций с более низким приоритетом. Калькуляторы обычно выполняют операции с одинаковым приоритетом слева направо. [1] но некоторые языки программирования и калькуляторы используют другие соглашения.
Например, умножению предоставляется более высокий приоритет, чем сложению, и так было с момента введения современной алгебраической записи . [2] [3] Таким образом, в выражении 1+2×3 умножение производится перед сложением, и выражение имеет значение 1+(2×3)=7 , а не (1+2)×3=9 . Когда в XVI и XVII веках были введены показатели степени, им был отдан приоритет над сложением и умножением, и они помещались в виде верхнего индекса справа от их основания. [2] Таким образом, 3 + 5 2 = 28 и 3 × 5 2 = 75 .
Эти соглашения существуют, чтобы избежать двусмысленности обозначений , позволяя при этом обозначениям оставаться краткими. [4] Если необходимо переопределить соглашения о приоритете или даже просто подчеркнуть их, круглые скобки можно использовать ( ). Например, (2 + 3) × 4 = 20 заставляет сложение предшествовать умножению, а (3 + 5) 2 = Добавление 64 сил предшествует возведению в степень . Если в математическом выражении требуется несколько пар скобок (например, в случае вложенных скобок), круглые скобки можно заменить скобками другого типа , чтобы избежать путаницы, как в [2 × (3 + 4)] − 5 = 9 .
обычная нотация (называемая инфиксной нотацией Эти правила имеют смысл только тогда, когда используется ). Когда для всех операций используется функциональная или польская нотация , порядок операций определяется самой нотацией.
Обычный порядок
[ редактировать ]Порядок операций, то есть порядок, в котором обычно выполняются операции в выражении, является результатом соглашения, принятого в математике, науке, технике и во многих языках компьютерного программирования . Это резюмируется как: [2] [5]
Это означает, что для вычисления выражения сначала вычисляется любое подвыражение внутри круглых скобок, работая изнутри наружу, если имеется более одного набора. Независимо от того, внутри скобок или нет, сначала следует применить операцию, расположенную выше в приведенном выше списке. Операции с одинаковым приоритетом традиционно оцениваются слева направо.
Если каждое деление заменяется умножением на обратное (мультипликативное обратное), то ассоциативные и коммутативные множители в каждом члене законы умножения позволяют умножать в любом порядке. Иногда умножению и делению присваивается равный приоритет, а иногда умножению присваивается более высокий приоритет, чем делению; см. § Смешанное деление и умножение ниже. Если каждое вычитание заменить сложением противоположного (аддитивное обратное), то ассоциативные и коммутативные законы сложения позволяют складывать члены в любом порядке.
Корневой символ √ традиционно удлиняется чертой (называемой винкулом ) над подкоренным выражением (это позволяет избежать необходимости заключать круглые скобки вокруг подкоренного выражения). Другие функции используют круглые скобки вокруг входных данных, чтобы избежать двусмысленности. [6] [7] [а] Круглые скобки можно опустить, если входные данные представляют собой одну числовую переменную или константу. [2] как и в случае sin x = sin( x ) и sin π = sin(π) . [а] Традиционно это соглашение распространяется на одночлены ; таким образом, sin 3 x = sin(3 x ) и даже sin 1/2 = ) xy = sin( xy /2) , но sin x + y sin( x + y , потому что x + y не является мономом. Однако это соглашение понимается не всеми, и некоторые авторы предпочитают явные круглые скобки. [б] Некоторые калькуляторы и языки программирования требуют скобок для ввода функций, некоторые — нет.
Символы группировки можно использовать для отмены обычного порядка операций. [2] Сгруппированные символы можно рассматривать как одно выражение. [2] Символы группировки можно удалить, используя ассоциативные и дистрибутивные законы, а также их можно удалить, если выражение внутри символа группировки достаточно упрощено и их удаление не приводит к возникновению двусмысленности.
Примеры
[ редактировать ]Умножение перед сложением:
Подвыражения в скобках оцениваются первыми:
Возведение в степень перед умножением, умножение перед вычитанием:
Когда выражение записано в виде верхнего индекса, верхний индекс считается сгруппированным по его положению над основанием:
Операнд корневого символа определяется верхней чертой:
Горизонтальная дробная черта также выступает символом группировки:
Круглые скобки могут быть вложенными и должны оцениваться изнутри наружу. Для удобства чтения внешние скобки можно сделать крупнее внутренних. Альтернативно, другие символы группировки, такие как фигурные скобки { } или квадратные скобки [ ] , иногда используются вместе с круглыми скобками ( ) . Например:
![{\displaystyle {\bigl [}(1+2)\div (3+4){\bigr ]}+5=(3\div 7)+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7104db19815d8411864ae450eb118ee4f064dce1)
Особые случаи
[ редактировать ]Унарный знак минус
[ редактировать ]Существуют разные соглашения относительно унарной операции «-» (обычно произносится как «минус»). В письменной или печатной математике выражение −3 2 интерпретируется как означает −(3 2 ) = −9 . [2] [8]
В некоторых приложениях и языках программирования, особенно в Microsoft Excel , PlanMaker (и других приложениях для работы с электронными таблицами) и языке программирования bc , унарные операции имеют более высокий приоритет, чем двоичные операции, то есть унарный минус имеет более высокий приоритет, чем возведение в степень, поэтому в этих языках −3 2 будет интерпретироваться как (−3) 2 = 9 . [9] Это не относится к операции двоичного минуса «-»; например, в Microsoft Excel, а формулы =-2^2, =-(2)^2 и =0+-2^2 вернуть 4, формулы =0-2^2 и =-(2^2) вернуть −4.
Смешанное деление и умножение
[ редактировать ]Не существует универсального соглашения для интерпретации термина, содержащего как деление, обозначаемое «÷», так и умножение, обозначаемое «×». Предлагаемые соглашения включают присвоение операциям равного приоритета и их оценку слева направо или, что эквивалентно, обработку деления как умножения на обратную величину с последующим вычислением в любом порядке; [10] сначала оценивается все умножение, а затем деление слева направо; или избегать таких выражений и вместо этого всегда устранять их неоднозначность с помощью явных круглых скобок. [11]
За пределами начального образования символ деления «÷» используется редко, но заменяется использованием алгебраических дробей . [12] обычно пишется вертикально, при этом числитель располагается над знаменателем, что делает группировку явной и однозначной, но иногда пишется строкой с использованием косой черты или символа косой черты «/». [13]
Умножение, обозначаемое сопоставлением (также известное как подразумеваемое умножение ), создает визуальную единицу и имеет более высокий приоритет, чем большинство других операций. В академической литературе, когда строчные дроби комбинируются с подразумеваемым умножением без явных круглых скобок, умножение традиционно интерпретируется как имеющее более высокий приоритет, чем деление, так что, например, 1/2 n интерпретируется как 1/(2 · n ) , а не (1). / 2) · н . [2] [10] [14] [15] Например, в инструкциях по подаче рукописей для журналов Physical Review прямо указано, что умножение имеет приоритет над делением. [16] и это также правило, наблюдаемое в учебниках физики, таких как « теоретической физики» Ландау Курс и Лифшица. [с] такие как «Конкретная математика» Грэма и учебники математики , , Кнута и Паташника . [17] Однако некоторые авторы не рекомендуют использовать такие выражения, как a / bc , предпочитая явное использование круглых скобок a /( bc ) . [3]
Более сложные случаи более неоднозначны. Например, обозначение 1/2 π ( a + b ) может означать либо 1 / [2 π · ( а + б )] или [1 / (2 π )] · ( а + б ) . [18] Иногда интерпретация зависит от контекста. Инструкции по подаче на физический обзор не рекомендуют использовать выражения формы a / b / c ; более явные выражения ( a / b )/ c или a /( b / c ) однозначны. [16]
Эта двусмысленность стала предметом интернет-мемов , таких как « 8 ÷ 2(2 + 2) », для которых существуют две противоречивые интерпретации: 8 ÷ [2 · (2 + 2)] = 1 и (8 ÷ 2) · (2 + 2) = 16. [15] [19] Исследователь математического образования Хун-Си Ву отмечает, что «в реальной жизни никто никогда не получает вычислений такого типа», и называет такие надуманные примеры «своего рода салонной игрой «Попался!», предназначенной для того, чтобы заманить в ловушку ничего не подозревающего человека, сформулировав его в терминах набор необоснованно запутанных правил». [12]
Последовательное возведение в степень
[ редактировать ]Если возведение в степень обозначается сложенными символами с использованием надстрочной нотации, обычное правило - работать сверху вниз: [2] [7]
- а б с = а ( б с )
который обычно не равен ( a б ) с . Это соглашение полезно, поскольку существует свойство возведения в степень , которое ( a б ) с = а до нашей эры , поэтому для этого нет необходимости использовать последовательное возведение в степень.
Однако когда возведение в степень представлено явным символом, таким как каретка (^) или стрелка (↑), общего стандарта не существует. Например, Microsoft Excel и язык вычислительного программирования MATLAB оценивают a^b^c как ( а б ) с , но Google Search и Alpha как Wolfram ( б с ) . Таким образом 4^3^2 оценивается в 4096 в первом случае и в 262144 во втором случае.
Мнемоника
[ редактировать ]Мнемонические аббревиатуры часто преподаются в начальных школах, чтобы помочь учащимся запомнить порядок действий. [20] [21] Аббревиатура PEMDAS , которая означает « скобки», « экспоненты», « умножение/ деление » , « сложение/ вычитание » , [22] распространено в США [23] и Франция. [24] Иногда буквы превращаются в слова мнемонического предложения, например «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли». [25] Соединенное Королевство и другие страны Содружества могут использовать БОДМАС , обозначающий скобки , порядок , деление / умножение , сложение / вычитание , где «Порядок» означает показатель степени или корень. [26] [27] Иногда О вместо этого расширяется как О f, что означает умножение. [28] [26] или заменяется на I для индексов в альтернативной мнемонике BIDMAS . [26] [29] В Канаде и Новой Зеландии BEDMAS распространены. [30]
В Германии это соглашение просто преподается как Punktrechnung vor Strichrechnung : точечные операции предшествуют линейным операциям, что относится к графическим формам обученных знаков оператора. U+00B7 · СРЕДНЯЯ ТОЧКА (умножение), U + 2236 ∶ СООТНОШЕНИЕ (деление) и U+002B + ЗНАК ПЛЮС (дополнение), U + 2212 — ЗНАК МИНУС (вычитание).
При таком написании эта мнемоника может вводить в заблуждение. [25] Например, неверное истолкование любого из приведенных выше правил как означающее «сначала сложение, потом вычитание» приведет к неправильной оценке выражения. [25] как , а правильная оценка . Эти значения различны, когда .
Мнемонические аббревиатуры подвергались критике за то, что они не развивают концептуального понимания порядка операций и не отвечают на вопросы учащихся о его цели или гибкости. [31] [32] Студенты, изучающие порядок действий с помощью мнемонических сокращений, регулярно допускают ошибки. [33] как и некоторые будущие преподаватели. [34] Даже когда учащиеся правильно усваивают аббревиатуру, непропорциональное внимание к запоминанию мелочей вытесняет существенное математическое содержание. [12] Процедурное применение аббревиатуры не соответствует интуитивному пониманию экспертами математической нотации: математическая нотация указывает на группировку способами, отличными от круглых или квадратных скобок, а математическое выражение представляет собой древовидную иерархию , а не линейно «упорядоченную» структуру; более того, не существует единого порядка, в соответствии с которым математические выражения должны упрощаться или оцениваться, а также нет универсального канонического упрощения для любого конкретного выражения, и эксперты свободно применяют допустимые преобразования и замены в любом удобном порядке, поэтому изучение жесткой процедуры может привести студентов к вводящее в заблуждение и ограничивающее понимание математических обозначений. [35]
Калькуляторы
[ редактировать ]Разные калькуляторы выполняют разные порядки операций. [2] Многие простые калькуляторы без стека реализуют цепочку ввода , работая в порядке нажатия кнопок без какого-либо приоритета, отдаваемого различным операциям, и дают результат, отличный от того, который дают более сложные калькуляторы. Например, на простом калькуляторе наберите 1 + 2 × 3 = дает 9, тогда как более сложный калькулятор будет использовать более стандартный приоритет, поэтому наберите 1 + 2 × 3 = дает 7.
Калькуляторы могут ассоциировать показатели степени слева или справа. Например, выражение a^b^c интерпретируется как ( б с ) на TI-92 и TI-30XS MultiView в «режиме Mathprint», тогда как он интерпретируется как ( б ) с на TI-30XII и TI-30XS MultiView в «Классическом режиме».
Выражение вроде 1/2x интерпретируется как 1/(2 x ) по TI-82 , [3] а также многие современные Casio калькуляторы [36] (настраивается на некоторых калькуляторах, например fx-9750GIII ), но как (1/2) x у TI-83 и любого другого калькулятора TI, выпущенного с 1996 года, [37] [3] а также всеми калькуляторами Hewlett-Packard с алгебраической записью. Хотя некоторые пользователи могут ожидать первую интерпретацию из-за природы подразумеваемого умножения , [38] последнее больше соответствует правилу, согласно которому умножение и деление имеют равный приоритет. [3]
Если пользователь не уверен, как калькулятор интерпретирует выражение, для устранения двусмысленности можно использовать круглые скобки. [3]
Порядок операций возник благодаря адаптации инфиксной нотации в стандартной математической нотации , которая может быть неоднозначной без таких соглашений, в отличие от постфиксной нотации или префиксной нотации , которые не нуждаются в порядках операций. [39] [40] Следовательно, калькуляторы, использующие обратную польскую нотацию (RPN), использующие стек для ввода выражений в правильном порядке старшинства, не нуждаются в круглых скобках или каком-либо возможном порядке выполнения, специфичном для модели. [25] [22]
Языки программирования
[ редактировать ]Большинство языков программирования используют уровни приоритета, соответствующие порядку, обычно используемому в математике. [41] хотя другие, такие как APL , Smalltalk , Occam и Mary , не имеют правил приоритета операторов (в APL вычисление производится строго справа налево; в Smalltalk — строго слева направо).
Более того, поскольку многие операторы не являются ассоциативными, порядок внутри любого отдельного уровня обычно определяется путем группировки слева направо, так что 16/4/4 интерпретируется как (16/4)/4 = 1, а не 16/(4/4) = 16 ; такие операторы называются «левоассоциативными». Исключения существуют; например, языки с операторами, соответствующими операции cons в списках, обычно группируют их справа налево («правая ассоциативность»), например в Haskell , 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4].
Деннис Ритчи , создатель языка C , сказал о приоритете в C (разделенном языками программирования, заимствовавшими эти правила из C, например, C++ , Perl и PHP ), что было бы предпочтительнее переместить побитовые операторы над сравнением. операторы . [42] Многие программисты привыкли к такому порядку, но более поздние популярные языки, такие как Python, [43] и Руби [44] изменить этот порядок. Относительные уровни приоритета операторов, встречающиеся во многих языках стиля C, следующие:
| 1 | () [] -> . :: | Вызов функции, область действия, доступ к массиву/члену |
| 2 | ! ~ - + * & sizeof тип приведения ++ -- | (большинство) унарных операторов, приведение типов sizeof и типов (справа налево) |
| 3 | * / % MOD | Умножение, деление, по модулю |
| 4 | + - | Сложение и вычитание |
| 5 | << >> | Побитовый сдвиг влево и вправо |
| 6 | < <= > >= | Сравнения: меньше и больше. |
| 7 | == != | Сравнения: равные и не равные |
| 8 | & | Побитовое И |
| 9 | ^ | Побитовое исключающее ИЛИ (XOR) |
| 10 | | | Побитовое включение (нормальное) ИЛИ |
| 11 | && | Логическое И |
| 12 | || | Логическое ИЛИ |
| 13 | ? : | Условное выражение (троичное) |
| 14 | = += -= *= /= %= &= |= ^= <<= >>= | Операторы присваивания (справа налево) |
| 15 | , | Оператор запятая |
(a+b)^2/2 (верно) . Последнее соответствует иерархической структуре (« синтаксическому дереву »), уникальной для данного выражения. Компилятор . генерирует машинный код из дерева таким образом, что операции, происходящие на самом низком уровне иерархии, выполняются первыми Примеры:
!A + !Bинтерпретируется как(!A) + (!B)++A + !Bинтерпретируется как(++A) + (!B)A + B * Cинтерпретируется какA + (B * C)A || B && Cинтерпретируется какA || (B && C)A && B == Cинтерпретируется какA && (B == C)A & B == Cинтерпретируется какA & (B == C)
(В Python , Ruby , PARI/GP и других популярных языках A & B == C интерпретируется как (A & B) == C.)
Компиляторам исходного кода , которые компилируются на несколько языков, необходимо явно решать проблему различного порядка операций на разных языках. Например, Haxe стандартизирует порядок и обеспечивает его соблюдение, вставляя скобки там, где это необходимо.
Было обнаружено, что точность знаний разработчика программного обеспечения о приоритете двоичных операторов тесно связана с частотой их появления в исходном коде. [46]
См. также
[ редактировать ]- Общие обозначения операторов (для более формального описания)
- Гипероперация
- Логическая связка # Порядок старшинства
- Ассоциативность оператора
- Перегрузка оператора
- Приоритет операторов в C и C++
- Польские обозначения
- Обратная польская запись
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Некоторые авторы намеренно избегают пропуска круглых скобок с функциями даже в случае одной числовой переменной или постоянных аргументов (например, Олдхэм в Атласе ), тогда как другие авторы (например, NIST ) применяют это упрощение обозначений только условно в сочетании с конкретными многосимвольными именами функций. (нравиться
sin), но не используйте его с общими именами функций (например,f). - ^ Чтобы избежать какой-либо двусмысленности, этого упрощения обозначений для мономов намеренно избегают в таких работах, как Олдхэма «Атлас функций» или « Справочник по математическим функциям NIST» .
- ^ Например, третье издание « Механики » Ландау и Лифшица содержит такие выражения, как hP z /2 π (стр. 22), а первый том « Фейнмановских лекций» содержит такие выражения, как 1/2 √ N (стр. 6– 7) . В обеих книгах эти выражения написаны с учетом того, что солидус вычисляется последним.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ «Операторы вычислений и приоритет: Excel» . Поддержка Майкрософт . Майкрософт . 2023 . Проверено 17 сентября 2023 г.
- ^ Jump up to: а б с д и ж г час я дж Бронштейн Илья Николаевич ; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. «2.4.1.1. Определение арифметических выражений». В Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). по математике Карманный справочник ( на немецком языке). Том 1. Перевод Виктора Циглера (23-е изд.). Тун, Швейцария: Харри Дойч . стр. 115–120, 802. ISBN. 3-87144-492-8 .
Правило 7: Если F ( A ) — подстрока арифметического выражения или одного из его сокращений, F — функциональная константа, а A — числовая переменная или числовая константа, то F A. для нее можно записать [Кроме того, аббревиатура F н ( А ) за ( F ( А )) н обычный. может F быть как функциональной константой, так и функциональной переменной.]
- ^ Jump up to: а б с д и ж Петерсон, Дэйв (сентябрь – октябрь 2019 г.). Доктора-математики (блог). Порядок действий: «Почему?» ; «Почему эти правила?» ; «Тонкие различия» ; «Дроби, оценка и упрощение» ; «Неявное умножение?» ; «Исторические предостережения» . Проверено 11 февраля 2024 г.
Петерсон, Дэйв (август – сентябрь 2023 г.). Доктора-математики (блог). Подразумеваемое умножение: «Не так плохо, как вы думаете» ; «Существует ли стандарт?» ; «Вы не можете этого доказать» . Проверено 11 февраля 2024 г. - ^ Своковски, Эрл Уильям (1978). Основы алгебры и тригонометрии (4-е изд.). Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт. ISBN 0-87150-252-6 . п. 1:
Язык алгебры [...] может использоваться как стенография для сокращения и упрощения длинных или сложных утверждений.
- ^ Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Предшествование» . Математический мир . Проверено 22 августа 2020 г.
- ^ Олдхэм, Кейт Б.; Майланд, Ян К.; Спанье, Джером (2009) [1987]. Атлас функций: с Equator, калькулятор функций Атласа (2-е изд.). Спрингер. дои : 10.1007/978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48806-6 .
- ^ Jump up to: а б Олвер, Фрэнк У.Дж.; Лозье, Дэниел В.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010). Справочник NIST по математическим функциям . Национальный институт стандартов и технологий . ISBN 978-0-521-19225-5 . МР 2723248 .
- ^ Ангел, Аллен Р.; Раунд, Деннис К.; Гиллиган, Лоуренс; Семмлер, Ричард (2010). Элементарная алгебра для студентов (8-е изд.). Прентис Холл . Глава 1, §9, Цель 3. ISBN. 978-0-321-62093-4 .
- ^ «Формула возвращает неожиданное положительное значение» . Майкрософт . 15 августа 2005 г. Архивировано из оригинала 19 апреля 2015 г. Проверено 5 марта 2012 г.
- ^ Jump up to: а б Кристал, Джордж (1904) [1886]. Алгебра . Том. 1 (5-е изд.). «Дивизия», гл. 1 §§19–26 , стр. 14–20.
Книга Кристал была каноническим источником на английском языке по алгебре средней школы на рубеже 20-го века и, вероятно, источником многих более поздних описаний порядка операций. Однако, хотя книга Кристала изначально устанавливает жесткое правило для оценки выражений, включающих символы «÷» и «×», позже она последовательно дает неявному умножению более высокий приоритет, чем делению при написании строчных дробей, никогда явно не обсуждая несоответствие между формальным правилом и общепринятой практикой. .
- ^ Каджори, Флориан (1928). История математических обозначений . Том. 1. Ла Саль, Иллинойс: Открытый суд. §242. «Порядок операций в терминах, содержащих как ÷, так и ×» , стр. 274.
- ^ Jump up to: а б с Ву, Хун-Си (2007) [2004]. « «Порядок действий» и другие странности школьной математики» (PDF) . Кафедра математики Калифорнийского университета . Проверено 3 июля 2007 г.
- ^ В стандарте ISO 80000 символ деления «÷» полностью запрещен в пользу косой черты: ISO 80000-2:2019, «Величины и единицы. Часть 2: Математика» . Международная организация по стандартизации .
- ^ Леннес, Нью-Джерси (1917). «Дискуссии: касающиеся порядка операций в алгебре». Американский математический ежемесячник . 24 (2): 93–95. дои : 10.2307/2972726 . JSTOR 2972726 .
- ^ Jump up to: а б Строгац, Стивен (2 августа 2019 г.). «Математическое уравнение, которое пыталось поставить в тупик Интернет» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 12 февраля 2024 г. В этой статье Строгац описывает порядок операций, которому учат в средней школе. Однако в комментарии он отмечает: «Некоторые комментаторы, похоже, используют другое (и более сложное) соглашение, чем элементарное соглашение PEMDAS, которое я описал в статье. В этом более сложном соглашении, которое часто используется в алгебре, неявное умножение (также известное как умножение путем сопоставления) дается более высокий приоритет, чем явное умножение или явное деление (в котором явно пишутся такие операторы, как × * / или ÷). В соответствии с этим более сложным соглашением неявному умножению в 2 (2 + 2) присваивается более высокий приоритет, чем явному делению, подразумеваемому выражением . использование ÷. Это очень разумное соглашение, и я согласен, что ответ будет 1, если мы используем это сложное соглашение. «Но это соглашение не является универсальным. Например, калькуляторы, встроенные в Google и WolframAlpha, используют менее сложное соглашение, которое я описал в статье; они не делают различия между неявным и явным умножением, когда их просят вычислить простые арифметические выражения. [ ...]"
- ^ Jump up to: а б «Руководство по стилю физического обзора и обозначениям» (PDF) . Американское физическое общество . 2012. § IV.E.2.e. Проверено 5 августа 2012 г.
- ^ Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. «Замечание об обозначениях», с. xi. ISBN 0-201-55802-5 . МР 1397498 .
Выражение формы a / bc означает то же, что и a /( bc ) . Более того, log x /log y = (log x )/(log y ) и 2 n ! = 2( п !) .
- ^ Фейтман, Р.Дж.; Каспи, Э. (1999). Преобразование TEXа в математику (PDF) . Международный симпозиум по символическим и алгебраическим вычислениям, Ванкувер, 28–31 июля 1999 г.
- ^ Хээлле, Тара (12 марта 2013 г.). «Каков ответ на эту дурацкую математическую задачу на Facebook? И почему люди так разозлились по этому поводу?» . Сланец . Проверено 17 сентября 2023 г.
- ^ «Правила арифметики» (PDF) . Mathcentre.ac.uk . 2009 . Проверено 2 августа 2019 г.
- ^ Гинзбург, Дэвид (1 января 2011 г.). «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли (ПЕМДАС) – навсегда!» . Неделя образования — Советы тренера Джи по обучению . Проверено 17 сентября 2023 г.
- ^ Jump up to: а б Вандербик, Грег (2007). Порядок проведения операций и РПН (Разъяснительная записка). Разъяснительные материалы экзамена на степень магистра педагогических наук (MAT). Линкольн: Университет Небраски. Документ 46 . Проверено 14 июня 2020 г.
- ^ Али Рахман, Эрна Сукинна; Шахрилл, Масита; Аббас, Нор Арифахвати; Тан, Эбби (2017). «Развитие математических навыков учащихся с учетом порядка действий» (PDF) . Международный журнал исследований в области образования и науки . 3 (2): 373–382. дои : 10.21890/ijres.327896 . п. 373:
PEMDAS — это аббревиатура или мнемоника порядка операций, который означает скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание. Эта аббревиатура широко используется в Соединенных Штатах Америки. Между тем, в других странах, таких как Великобритания и Канада, используются аббревиатуры BODMAS (скобки, порядок, деление, умножение, сложение и вычитание) и BIDMAS (скобки, индексы, деление, умножение, сложение и вычитание).
- ^ «Посчитать, что разделить: 6÷2(1+2)» . Микматы (Видео) (на французском языке).
- ^ Jump up to: а б с д Болл, Джон А. (1978). Алгоритмы калькуляторов РПН (1-е изд.). Кембридж, Массачусетс: Уайли. п. 31. ISBN 0-471-03070-8 .
- ^ Jump up to: а б с Найт, И.С. (1997). «Почему БОДМАС?». Математический вестник . 81 (492): 426–427. JSTOR 3619621 .
- ^ «Порядок проведения операций» (ДОК) . Syllabus.bos.nsw.edu.au . Проверено 2 августа 2019 г.
- ^ Дэвис, Питер (1979). «БОДМАС обнажен». Математика в школе . 8 (4): 27–28. JSTOR 30213488 .
- ^ Фостер, Колин (2008). «Высшие приоритеты» . Математика в школе . 37 (3): 17. JSTOR 30216129 .
- ^ Наддор, Джош (2020). Порядок действий: Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли, поскольку ее правила обманывают (магистерская диссертация). Университет Джорджии.
- ^ Амейс, Джерри А. (2011). «Правда о ПЕДМАСе». Преподавание математики в средней школе . 16 (7): 414–420. дои : 10.5951/MTMS.16.7.0414 . JSTOR 41183631 .
- ^ Ченг, Евгения (2023). Реальна ли математика? Как простые вопросы ведут нас к глубочайшим математическим истинам . Основные книги. стр. 235–238. ISBN 978-1-541-60182-6 .
- ^ Ли, Джэ Ки; Ликвинко, Сьюзен; Тейлор-Бакнер, Николь (2013). «Изучение математического обоснования порядка операций: перестановка процедурного компонента PEMDAS» . Журнал математического образования в педагогическом колледже . 4 (2): 73–78. дои : 10.7916/jmetc.v4i2.633 . п. 73:
[...] учащиеся часто допускают ошибки в вычислениях с выражениями, в которых рядом стоят либо умножение и деление, либо сложение и вычитание. [...]
- ^ Дюпри, Ками М. (2016). «Опрос порядка действий». Преподавание математики в средней школе . 22 (3): 152–159. doi : 10.5951/mathteacmiddscho.22.3.0152 .
- ^ Тафф, Джейсон (2017). «Переосмысление порядка действий (или Что случилось с дорогой тетей Салли?)». Учитель математики . 111 (2): 126–132. doi : 10.5951/mathteacher.111.2.0126 .
- ^ «Последовательность приоритетов вычислений» . support.casio.com . Касио . Проверено 1 августа 2019 г.
- ^ «Неявное и явное умножение на графических калькуляторах TI» . Техасские инструменты . 2011 . Проверено 24 августа 2015 г.
- ^ Анонсируем TI Programmable 88! (PDF) . Техасские инструменты . 1982 год . Проверено 3 августа 2017 г.
Теперь подразумеваемое умножение распознается AOS , и за квадратным корнем, логарифмическими и тригонометрическими функциями могут следовать их аргументы, как при работе с карандашом и бумагой.
(Примечание. TI-88 существовал только как прототип и никогда не был представлен публике.) - ^ Саймонс, Питер Мюррей (2021). «Без скобок или польская нотация Лукасевича» . Стэнфордская энциклопедия философии . Кафедра философии Стэнфордского университета . Проверено 26 марта 2022 г.
- ^ Кртолица, Предраг В.; Станимирович, Предраг С. (1999). «О некоторых свойствах обратной польской записи». Филомат . 13 : 157–172. JSTOR 43998756 .
- ^ Хендерсон, Гарри (2009) [2003]. «Приоритет оператора» . Энциклопедия компьютерных наук и технологий Хендерсона (ред.). Нью-Йорк: факты в архиве . п. 355. ИСБН 978-0-8160-6382-6 . Проверено 17 сентября 2023 г.
- ^ Ричи, Деннис М. (1996). «Развитие языка Си». История языков программирования (2-е изд.). АКМ Пресс .
- ^ «6. Выражения» . Документация Python . Проверено 31 декабря 2023 г.
- ^ «приоритет — документация RDoc» . Ruby-doc.org . Проверено 31 декабря 2023 г.
- ^ Бэкус, Джон Уорнер ; и др. (1963). «Партия 3.3.1: Арифметические выражения». В Науре, Питер (ред.). Пересмотренный отчет об алгоритмическом языке Алгол 60 (Отчет) . Проверено 17 сентября 2023 г. (CACM Vol. 6, стр. 1–17; The Computer Journal, Vol. 9, p. 349; Numerische Mathematik, Vol. 4, p. 420.)
- ^ Джонс, Дерек М. (2008) [2006]. «Убеждения разработчиков о приоритете двоичных операторов» . резюме . 18 (4): 14–21 . Проверено 17 сентября 2023 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Фоте, Майкл; Уилке, Томас, ред. (2015). Подвал, стек и автоматическая память – структура с потенциалом [ Подвал, стек и автоматическая память – структура с потенциалом ] (PDF) . Коллоквиум 14 ноября 2014 г. в Йене, Германия (на немецком языке). Бонн: Общество информатики. ISBN 978-3-88579-426-4 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Бергман, Джордж Марк (2013). «Порядок арифметических операций; в частности, вопрос 48/2(9+3)» . Кафедра математики Калифорнийского университета . Проверено 22 июля 2020 г.
- Закари, Джозеф Л. (1997) «Приоритет операторов», дополнение к « Введению в научное программирование» . Университет Юты. Рабочий лист Maple , блокнот Mathematica .