Теория мин-макса Альмгрена – Питтса
В математике ( мин-макс-теория Альмгрена-Питтса названная в честь Фредерика Дж. Альмгрена-младшего и его ученика Джона Т. Питтса ) является аналогом теории Морса для гиперповерхностей .
Теория началась с попыток обобщить метод Джорджа Дэвида Биркгофа для построения простых замкнутых геодезических на сфере, чтобы позволить строить вложенные минимальные поверхности в произвольных трехмерных многообразиях . [1]
Он сыграл роль в решении ряда гипотез в геометрии и топологии, найденных самими Альмгреном и Питтсом, а также другими математиками, такими как Михаил Громов , Ричард Шон , Шинг-Тунг Яу , Фернандо Кода Маркес , Андре Невес , Ян Агол. , среди других. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
Описание и основные понятия
[ редактировать ]![[икона]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( май 2015 г. ) |
Теория позволяет строить вложенные минимальные гиперповерхности вариационными методами. [11]
В своей докторской диссертации Альмгрен доказал , что m-я гомотопическая группа пространства плоских k-мерных циклов на замкнутом римановом многообразии изоморфна (m+k)-мерной группе гомологий M. Этот результат является обобщением теоремы Долда –Тома , которую можно рассматривать как случай k=0 теоремы Альмгрена. Существование нетривиальных гомотопических классов в пространстве циклов предполагает возможность построения минимальных подмногообразий как седловых точек функции объема, как в теории Морса . В своей последующей работе Альмгрен использовал эти идеи, чтобы доказать, что для каждого k=1,...,n-1 замкнутое n-мерное риманово многообразие содержит стационарное целое k-мерное варифолд , обобщение минимального подмногообразия, которое может иметь особенности. Аллард показал, что такие обобщенные минимальные подмногообразия регулярны на открытом и плотном подмножестве.
В 1980-х годах ученик Альмгрена Джон Питтс значительно улучшил теорию регулярности минимальных подмногообразий, полученную Альмгреном в случае коразмерности 1. Он показал, что, когда размерность n многообразия находится между 3 и 6, минимальная гиперповерхность получается с использованием метода мин-макс Альмгрена. гладкий. Ключевой новой идеей в доказательстве было понятие 1/j-почти минимизирующих варифолдов. Ричард Шон и Леон Саймон распространили этот результат на более высокие измерения. Более конкретно, они показали, что каждое n-мерное риманово многообразие содержит замкнутую минимальную гиперповерхность, построенную с помощью метода min-max, которая является гладкой вдали от замкнутого множества размерности n-8.
Рассматривая семейства циклов коразмерности 1 с более высокими параметрами, можно найти различные минимальные гиперповерхности. Такая конструкция была использована Фернандо Кода Маркесом и Андре Невесом в доказательстве гипотезы Уилмора . [12] [13]
См. также
[ редактировать ]- Теорема Альмгрена об изоморфизме
- Варифолд
- Геометрическая теория меры
- Геометрический анализ
- Минимальная поверхность
- Гипотеза Фридмана – Хе – Ванга
- Гипотеза Уиллмора
- Гипотеза Яу
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Тобиас Колдинг и Камилло Де Леллис : « Построение мин-макс минимальных поверхностей », Обзоры по дифференциальной геометрии
- ^ Джаквинта, Мариано; Муччи, Доменико (2006). «БВ-энергия отображений в многообразие: результаты релаксации и плотности» . Анналы Высшей нормальной школы Пизы - Класс естественных наук, сер. 5, 5. с. 483–548. Архивировано из оригинала 10 июня 2015 г. Проверено 2 мая 2015 г.
- ^ Хельге Холден, Рагни Пиене – Абелевская премия 2008–2012 гг., стр. 203.
- ^ Роберт Оссерман – Обзор минимальных поверхностей, с. 160.
- ^ «Онлайн-контент – CDM 2013, статья 1» . Intlpress.com . Проверено 31 мая 2015 г.
- ^ Фернандо К. Маркес; Андре Невес. «Применения теории Мин-Макса Альмгрена-Питтса» (PDF) . F.imperial.ac.uk . Проверено 31 мая 2015 г.
- ^ Дэниел Кетовер (2013). «Вырождение мин-макс последовательностей в трехмерных многообразиях». arXiv : 1312.2666 [ math.DG ].
- ^ Синь Чжоу. «Гиперповерхность Мин-Макс в многообразии положительной кривизны Риччи» (PDF) . Arvix.org . Проверено 31 мая 2015 г.
- ^ Стефан Сабуро. «Объем минимальных гиперповерхностей в многообразиях с неотрицательной кривизной Риччи» (PDF) . Arvix.org . Проверено 31 мая 2015 г.
- ^ Дави Максимо; Ивальдо Нуньес; Грэм Смит (2013). «Минимальные кольца со свободной границей в выпуклых трехмерных многообразиях». arXiv : 1312.5392 [ math.DG ].
- ^ Чжоу Синь (2015). «Мин-макс минимальная гиперповерхность в с и " . J. Differential Geom . 100 (1): 129–160. doi : 10.4310/jdg/1427202766 .
- ^ Уайт, Брайан (1998). «Математика Ф. Дж. Альмгрена-младшего» (PDF) . Журнал геометрического анализа . 8 (5): 681–702. дои : 10.1007/BF02922665 . S2CID 122083638 .
- ^ Маркес, Фернандо и Невес, Андре. (2020). Применение методов Мин-Макса к геометрии. 10.1007/978-3-030-53725-8_2.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Фредерик Дж. Альмгрен (1964). Теория варифолдов: вариационное исчисление в целом для K-мерного интеграла площади . Институт перспективных исследований .
- Джон Т. Питтс (1981). Существование и регулярность минимальных поверхностей на римановых многообразиях . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08290-5 .
- Мемариан, Яшар (2013). «Заметки о геометрии римановых многообразий положительной кривизны». arXiv : 1312.0792 [ math.MG ].
- Центр математических исследований, CRM Le Bulletin, осень/осень 2015 г. — Том 21, № 2, стр. 10–11 Иосиф Полтерович (Монреаль) и Алина Станку (Конкордия), «Лекции Ниренберга 2015 г. по геометрическому анализу: теория Мин-Макса и геометрия, Андре Невес»
 | Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |