Формула Вальдспургера

В теории представлений математики формула Вальдспургера связывает специальные значения двух L -функций двух связанных допустимых неприводимых представлений . Пусть k — базовое поле, f — автоморфная форма над k , π — представление, связанное соответствием Жаке–Лэнглендса с f . Горо Шимура (1976) доказал эту формулу, когда $k=\mathbb {Q}$ и f представляет собой форму возврата ; Гюнтер Хардер сделал то же открытие в то же время в неопубликованной статье. Мари-Франс Виньерас (1980) доказала эту формулу, когда $k=\mathbb {Q}$ и f — новая форма . Жан-Лу Вальдспургер , в честь которого названа формула, опроверг и обобщил результат Виньера в 1985 году с помощью совершенно другого метода, который впоследствии широко использовался математиками для доказательства подобных формул.

Заявление

Позволять $k$ быть числовым полем , $\mathbb {A}$ будь ее кольцом Адель , $k^{\times }$ — подгруппа обратимых элементов $k$, $\mathbb {A} ^{\times }$ — подгруппа обратимых элементов $\mathbb {A}$, $\chi ,\chi _{1},\chi _{2}$ быть на три квадратичных символа больше $\mathbb {A} ^{\times }/k^{\times }$, $G=SL_{2}(k)$, ${\mathcal {A}}(G)$ быть пространством всех возвратных форм над $G(k)\backslash G(\mathbb {A} )$, ${\mathcal {H}}$ быть алгеброй Гекке $G(\mathbb {A} )$. Предположим, что $\pi$ является допустимым неприводимым представлением из $G(\mathbb {A} )$ к ${\mathcal {A}}(G)$, центральный характер π тривиален, $\pi _{\nu }\sim \pi [h_{\nu }]$ когда $\nu$ это архимедово место, ${A}$ является подпространством ${{\mathcal {A}}(G)}$ такой, что $\pi |_{\mathcal {H}}:{\mathcal {H}}\to A$. Мы предполагаем далее, что $\varepsilon (\pi \otimes \chi ,1/2)$ это Ленглендс $\varepsilon$-константа [( Лэнглендс, 1970 ); ( Делинь 1972 )], связанный с $\pi$ и $\chi$ в $s=1/2$. Существует ${\gamma \in k^{\times }}$ такой, что $k(\chi )=k({\sqrt {\gamma }})$.

Определение 1. Символ Лежандра. $\left({\frac {\chi }{\pi }}\right)=\varepsilon (\pi \otimes \chi ,1/2)\cdot \varepsilon (\pi ,1/2)\cdot \chi (-1).$

• Комментарий. Поскольку все термины справа имеют значение либо +1, либо значение -1, термин слева может принимать значение только в наборе {+1, -1}.

Определение 2. Пусть ${D_{\chi }}$ быть дискриминантом ​ $\chi$. $$p(\chi )=D_{\chi }^{1/2}\sum _{\nu {\text{ archimedean}}}\left\vert \gamma _{\nu }\right\vert _{\nu }^{h_{\nu }/2}.$$

Определение 3. Пусть $f_{0},f_{1}\in A$. $b(f_{0},f_{1})=\int _{x\in k^{\times }}f_{0}(x)\cdot {\overline {f_{1}(x)}}\,dx.$

Определение 4. Пусть ${T}$ быть максимальным тором ${G}$, ${Z}$ быть центром ${G}$, $\varphi \in A$. $$\beta (\varphi ,T)=\int _{t\in Z\backslash T}b(\pi (t)\varphi ,\varphi )\,dt.$$

• Комментарий. Однако не очевидно, что функция $\beta$ является обобщением суммы Гаусса .

Позволять $K$ быть полем таким, что $k(\pi )\subset K\subset \mathbb {C}$. Можно выбрать K-подпространство ${A^{0}}$ из $A$ такой, что (я) $A=A^{0}\otimes _{K}\mathbb {C}$; (ii) $(A^{0})^{\pi (G)}=A^{0}$. Де-факто такой только один. $A^{0}$ по модулю гомотетии. Позволять $T_{1},T_{2}$ два максимальных тора $G$ такой, что $\chi _{T_{1}}=\chi _{1}$ и $\chi _{T_{2}}=\chi _{2}$. Мы можем выбрать два элемента $\varphi _{1},\varphi _{2}$ из $A^{0}$ такой, что $\beta (\varphi _{1},T_{1})\neq 0$ и $\beta (\varphi _{2},T_{2})\neq 0$.

Определение 5. Пусть $D_{1},D_{2}$ быть дискриминантами $\chi _{1},\chi _{2}$.

$p(\pi ,\chi _{1},\chi _{2})=D_{1}^{-1/2}D_{2}^{1/2}L(\chi _{1},1)^{-1}L(\chi _{2},1)L(\pi \otimes \chi _{1},1/2)L(\pi \otimes \chi _{2},1/2)^{-1}\beta (\varphi _{1},T_{1})^{-1}\beta (\varphi _{2},T_{2}).$

• Комментарий. Когда $\chi _{1}=\chi _{2}$, правая часть определения 5 становится тривиальной.

Мы берем $\Sigma _{f}$ быть множеством {все конечные $k$-места $\nu \mid \ \pi _{\nu }$ не отображает ненулевые векторы, инвариантные под действием ${GL_{2}(k_{\nu })}$ до нуля}, ${\Sigma _{s}}$ быть набором (всех $k$-места $\nu \mid \nu$ веществен, или конечен и особенен).

Теорема - Позволять $k=\mathbb {Q}$. Мы предполагаем, что (i) $L(\pi \otimes \chi _{2},1/2)\neq 0$; (ii) для $\nu \in \Sigma _{s}$, $\left({\frac {\chi _{1,\nu }}{\pi _{\nu }}}\right)=\left({\frac {\chi _{2,\nu }}{\pi _{\nu }}}\right)$ . Тогда существует константа ${q\in \mathbb {Q} (\pi )}$ такой, что $$L(\pi \otimes \chi _{1},1/2)L(\pi \otimes \chi _{2},1/2)^{-1}=qp(\chi _{1})p(\chi _{2})^{-1}\prod _{\nu \in \Sigma _{f}}p(\pi _{\nu },\chi _{1,\nu },\chi _{2,\nu })$$

Комментарии:

1. Формула в теореме представляет собой известную формулу Вальдспургера. Он имеет глобально-локальный характер, слева с глобальной частью, справа с локальной частью. К 2017 году математики часто называют это классической формулой Вальдспургера.
2. Стоит отметить, что при равенстве двух символов формула может быть значительно упрощена.
3. [( Waldspurger 1985 ), Thm 6, с. 241 ] Когда один из двух персонажей ${1}$, формула Вальдспургера становится гораздо проще. Не ограничивая общности, можно считать, что $\chi _{1}=\chi$ и $\chi _{2}=1$. Тогда есть элемент ${q\in \mathbb {Q} (\pi )}$ такой, что $L(\pi \otimes \chi ,1/2)L(\pi ,1/2)^{-1}=qD_{\chi }^{1/2}.$

Случай, когда F _p ( T ) и φ является метаплектической формой возврата

Пусть p — простое число, $\mathbb {F} _{p}$ быть полем с p элементами, $R=\mathbb {F} _{p}[T],k=\mathbb {F} _{p}(T),k_{\infty }=\mathbb {F} _{p}((T^{-1})),o_{\infty }$ быть кольцом целочисленным $k_{\infty },{\mathcal {H}}=PGL_{2}(k_{\infty })/PGL_{2}(o_{\infty }),\Gamma =PGL_{2}(R)$. Предположим, что $N,D\in R$, D не имеет квадратов четной степени и взаимно прост с N , простой факторизацией $N$ является ${\textstyle \prod _{\ell }\ell ^{\alpha _{\ell }}}$. Мы берем $\Gamma _{0}(N)$ на съемочную площадку ${\textstyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma \mid c\equiv 0{\bmod {N}}\right\},}$ $S_{0}(\Gamma _{0}(N))$ быть множеством всех возвратных форм уровня N и глубины 0. Предположим, что $\varphi ,\varphi _{1},\varphi _{2}\in S_{0}(\Gamma _{0}(N))$.

Определение 1. Пусть $\left({\frac {c}{d}}\right)$ быть символом Лежандра по c модулю d , ${\widetilde {SL}}_{2}(k_{\infty })=Mp_{2}(k_{\infty })$. Метаплектический морфизм $$\eta :SL_{2}(R)\to {\widetilde {SL}}_{2}(k_{\infty }),{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto \left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\left({\frac {c}{d}}\right)\right).$$

Определение 2. Пусть $z=x+iy\in {\mathcal {H}},d\mu ={\frac {dx\,dy}{\left\vert y\right\vert ^{2}}}$. Внутренний продукт Петерссона $$\langle \varphi _{1},\varphi _{2}\rangle =[\Gamma :\Gamma _{0}(N)]^{-1}\int _{\Gamma _{0}(N)\backslash {\mathcal {H}}}\varphi _{1}(z){\overline {\varphi _{2}(z)}}\,d\mu .$$

Определение 3. Пусть $n,P\in R$. Сумма Гаусса $$G_{n}(P)=\sum _{r\in R/PR}\left({\frac {r}{P}}\right)e(rnT^{2}).$$

Позволять $\lambda _{\infty ,\varphi }$ быть собственным значением Лапласа $\varphi$. Существует постоянная $\theta \in \mathbb {R}$ такой, что $\lambda _{\infty ,\varphi }={\frac {e^{-i\theta }+e^{i\theta }}{\sqrt {p}}}.$

Определение 4. Предположим, что $v_{\infty }(a/b)=\deg(a)-\deg(b),\nu =v_{\infty }(y)$. Функция Уиттекера $$W_{0,i\theta }(y)={\begin{cases}{\frac {\sqrt {p}}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\left[\left({\frac {e^{i\theta }}{\sqrt {p}}}\right)^{\nu -1}-\left({\frac {e^{-i\theta }}{\sqrt {p}}}\right)^{\nu -1}\right],&{\text{when }}\nu \geq 2;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Определение 5. Разложение Фурье–Уиттекера. $$\varphi (z)=\sum _{r\in R}\omega _{\varphi }(r)e(rxT^{2})W_{0,i\theta }(y).$$ Один звонит $\omega _{\varphi }(r)$ коэффициенты Фурье – Уиттекера $\varphi$.

Определение 6. Оператор Аткина–Ленера. $$W_{\alpha _{\ell }}={\begin{pmatrix}\ell ^{\alpha _{\ell }}&b\\N&\ell ^{\alpha _{\ell }}d\end{pmatrix}}$$ с $\ell ^{2\alpha _{\ell }}d-bN=\ell ^{\alpha _{\ell }}.$

Определение 7. Предположим, что $\varphi$ представляет собой живую изгородь собственной формы . Собственное значение Аткина – Ленера $$w_{\alpha _{\ell },\varphi }={\frac {\varphi (W_{\alpha _{\ell }}z)}{\varphi (z)}}$$ с $w_{\alpha _{\ell },\varphi }=\pm 1.$

Определение 8. $$L(\varphi ,s)=\sum _{r\in R\backslash \{0\}}{\frac {\omega _{\varphi }(r)}{\left\vert r\right\vert _{p}^{s}}}.$$

Позволять ${\widetilde {S}}_{0}({\widetilde {\Gamma }}_{0}(N))$ быть метаплектической версией $S_{0}(\Gamma _{0}(N))$, $\{E_{1},\ldots ,E_{d}\}$ быть хорошей основой для живой изгороди ${\widetilde {S}}_{0}({\widetilde {\Gamma }}_{0}(N))$ относительно внутреннего продукта Петерсона . Отметим переписку Шимуры с $\operatorname {Sh} .$

Теорема [( Альтуг и Цимерман 2010 ), Теория 5.1, с. 60]. Предположим, что ${\textstyle K_{\varphi }={\frac {1}{{\sqrt {p}}\left({\sqrt {p}}-e^{-i\theta }\right)\left({\sqrt {p}}-e^{i\theta }\right)}}}$, $\chi _{D}$ является квадратичным характером с $\Delta (\chi _{D})=D$. Затем $$\sum _{\operatorname {Sh} (E_{i})=\varphi }\left\vert \omega _{E_{i}}(D)\right\vert _{p}^{2}={\frac {K_{\varphi }G_{1}(D)\left\vert D\right\vert _{p}^{-3/2}}{\langle \varphi ,\varphi \rangle }}L(\varphi \otimes \chi _{D},1/2)\prod _{\ell }\left(1+\left({\frac {\ell ^{\alpha _{\ell }}}{D}}\right)w_{\alpha _{\ell },\varphi }\right).$$

Ссылки

• Вальдспургер, Жан-Лу (1985), «О значениях некоторых автоморфных L-функций в их центре симметрии», Compositio Mathematica , 54 (2): 173–242.
• Виньерас, Мари-Франс (1981), «Значение в центре симметрии L-функций, связанных с модулярными формами», Séminarie de Théorie des Numbers, Париж, 1979–1980 , Progress in Math., Birkhäuser, стр. 331–356
• Шимура, Горо (1976), «Об особых значениях дзета-функций, связанных с параболическими формами», Communications on Pure and Applied Mathematics , 29 : 783–804, doi : 10.1002/cpa.3160290618
• Алтуг, Салим Али; Цимерман, Джейкоб (2010). «Метаплектическая гипотеза Рамануджана о функциональных полях с приложениями к квадратичным формам». Уведомления о международных математических исследованиях . arXiv : 1008.0430 . дои : 10.1093/imrn/rnt047 . S2CID   119121964 .
• Ленглендс, Роберт (1970). О функциональном уравнении L-функций Артина (PDF) . стр. 1–287.
• Делинь, Пьер (1972). «Константы функциональных уравнений L функций». Модульные функции одной переменной II . Международная летняя школа по модульным функциям. Антверпен. стр. 501–597.