Топологическая геометрия

Топологическая геометрия имеет дело со структурами инцидентности, состоящими из множества точек. $P$ и семья ${\mathfrak {L}}$ подмножеств $P$ называемые линиями или кругами и т. д., такие, что оба $P$ и ${\mathfrak {L}}$ несут топологию , и все геометрические операции, такие как соединение точек линией или пересекающиеся линии, являются непрерывными. Как и в случае с топологическими группами , многие более глубокие результаты требуют, чтобы точечное пространство было (локально) компактным и связным. Это обобщает наблюдение о том, что линия, соединяющая две различные точки евклидовой плоскости, непрерывно зависит от пары точек, а точка пересечения двух линий является непрерывной функцией этих линий.

Линейная геометрия

Линейная геометрия — это структура инцидентности , в которой любые две различные точки $x$ и $y$ соединены уникальной линией $xy$. Такие геометрии называются топологическими, если $xy$ непрерывно зависит от пары $(x,y)$ относительно заданных топологий на множестве точек и множестве прямых. Двойственная линейной геометрии получается путем замены ролей точек и линий. Обзор линейных топологических геометрий дан в главе 23 «Справочника по геометрии инцидентности» . Наиболее широко исследованными топологическими линейными геометриями являются те, которые также являются двойственными топологическими линейными геометриями. Такие геометрии известны как топологические проективные плоскости .

История

Систематическое изучение этих самолетов началось в 1954 году со статьи Скорнякова. Ранее топологические свойства вещественной плоскости были введены через отношения порядка на аффинных прямых, см., например, Гильберт , Коксетер , и О. Уайлер. Полнота упорядочения эквивалентна локальной компактности что аффинные прямые гомеоморфны и означает , $\mathbb {R}$ и что точечное пространство связно . Обратите внимание, что рациональных чисел недостаточно для описания наших интуитивных представлений о геометрии плоскости и что необходимо некоторое расширение рационального поля. Фактически, уравнение $x^{2}+y^{2}=3$ ибо круг не имеет рационального решения.

плоскости

Однако подход к топологическим свойствам проективных плоскостей через отношения порядка невозможен для плоскостей, координируемых комплексными числами , кватернионами или алгеброй октонионов . Точечные пространства, а также линейные пространства этих классических плоскостей (над действительными числами, комплексными числами, кватернионами и октонионами) представляют собой компактные многообразия размерности $2^{m},\,1\leq m\leq 4$.

измерение

Понятие размерности топологического пространства играет видную роль при изучении топологических, в частности компактных связных плоскостей. Для обычного помещения $X$, размерность $\dim X$ можно охарактеризовать следующим образом:

Если $\mathbb {S} _{n}$ обозначает $n$-сфера, тогда $\dim X\leq n$ тогда и только тогда, когда для любого замкнутого подпространства $A\subset X$ каждая непрерывная карта $\varphi :A\to \mathbb {S} _{n}$ имеет непрерывное продолжение $\psi :X\to \mathbb {S} _{n}$.

Подробную информацию и другие определения измерения см. и приведенные там ссылки, в частности Энгелькинг или Fedorchuk.

2-мерные плоскости

Линии компактной топологической плоскости с двумерным точечным пространством образуют семейство кривых, гомеоморфных окружности, и этот факт характеризует эти плоскости среди топологических проективных плоскостей. Эквивалентно, точечное пространство — это поверхность . Ранние примеры, не изоморфные классической вещественной плоскости ${\mathcal {E}}$ были даны Гильбертом и Моултон . Свойства непрерывности этих примеров в то время явно не рассматривались, они могли быть приняты как нечто само собой разумеющееся. Конструкцию Гильберта можно модифицировать, чтобы получить бесчисленное множество попарно неизоморфных $2$-мерные компактные плоскости. Традиционный способ отличить ${\mathcal {E}}$ с другого $2$-мерных плоскостей в силу справедливости теоремы Дезарга или теоремы Паппоса (см., например, Пикерта для обсуждения этих двух теорем о конфигурации). Последнее, как известно, влечет за собой первое ( Хессенберг ). Теорема Дезарга выражает своего рода однородность плоскости. В общем, это справедливо в проективной плоскости тогда и только тогда, когда плоскость может быть координирована (не обязательно коммутативным) полем: что группа автоморфизмов транзитивна отсюда следует , на множестве четырехугольников ( $4$ баллов нет $3$ из них коллинеарны). В данной ситуации гораздо более слабое условие однородности характеризует ${\mathcal {E}}$:

Теорема. Если группа автоморфизмов $\Sigma$ из $2$-мерная компактная плоскость ${\mathcal {P}}$ транзитивен на множестве точек (или множестве прямых), то $\Sigma$ имеет компактную подгруппу $\Phi$ который даже транзитивен на множестве флагов (= пары инцидентных точек и линий), и ${\mathcal {P}}$ является классическим .

Группа автоморфизмов $\Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$ из $2$-мерная компактная плоскость ${\mathcal {P}}$, взятая с топологией равномерной сходимости в точечном пространстве, является локально компактной группой размерности не более $8$, по сути даже группа Ли . Все $2$-мерные плоскости такие, что $\dim \Sigma \geq 3$ может быть описан явно; те, у кого $\dim \Sigma =4$ это в точности плоскости Моултона, классическая плоскость ${\mathcal {E}}$ единственный $2$-мерная плоскость с $\dim \Sigma >4$; см. также.

Компактные соединенные плоскости

Результаты на $2$-мерные плоскости были расширены до компактных плоскостей размерности $>2$. Это возможно благодаря следующей основной теореме:

Топология компактных плоскостей. Если размерность точечного пространства $P$ компактной связной проективной плоскости конечна, то $\dim P=2^{m}$ с $m\in \{1,2,3,4\}$. При этом каждая прямая представляет собой гомотопическую сферу размерности $2^{m-1}$, видеть или.

Специальные аспекты четырехмерных плоскостей рассматриваются в более свежие результаты можно найти в . Линии $4$-мерной компактной плоскости гомеоморфны $2$-сфера; в случаях $m>2$ неизвестно, что линии являются многообразиями, но во всех найденных до сих пор примерах линии представляют собой сферы. Подплан ${\mathcal {B}}$ проективной плоскости ${\mathcal {P}}$ называется подплоскостью Бэра , если каждая точка ${\mathcal {P}}$ происходит с линией ${\mathcal {B}}$ и каждая строка ${\mathcal {P}}$ содержит точку ${\mathcal {B}}$. Закрытая подплоскость ${\mathcal {B}}$ является бэровской подплоскостью компактной связной плоскости ${\mathcal {P}}$ тогда и только тогда, когда точечное пространство ${\mathcal {B}}$ и линия ${\mathcal {P}}$ иметь одинаковую размерность. Следовательно, линии 8-мерной плоскости ${\mathcal {P}}$ гомеоморфны сфере $\mathbb {S} _{4}$ если ${\mathcal {P}}$ имеет замкнутую бэровскую подплоскость.

Однородные плоскости. Если ${\mathcal {P}}$ — компактная связная проективная плоскость, и если $\Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$ транзитивен на множестве точек ${\mathcal {P}}$, затем $\Sigma$ имеет транзитивную по флагу компактную подгруппу $\Phi$ и ${\mathcal {P}}$ классический , см. или. Фактически, $\Phi$ представляет собой группу эллиптических движений.

Позволять ${\mathcal {P}}$ быть компактной плоскостью измерения $2^{m},\;m=2,3,4$, и напиши $\Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$. Если $\dim \Sigma >8,18,40$, затем ${\mathcal {P}}$ является классическим, и $\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}$ представляет собой простую группу Ли размерности $16,35,78$ соответственно. Все самолеты ${\mathcal {P}}$ с $\dim \Sigma =8,18,40$ известны явно. Самолеты с $\dim \Sigma =40$ являются в точности проективными замыканиями аффинных плоскостей, координируемыми так называемой мутацией $(\mathbb {O} ,+,\circ )$ алгебры октонионов $(\mathbb {O} ,+,\ \,)$, где новое умножение $\circ$ определяется следующим образом: выберите действительное число $t$ с $1/2<t\neq 1$ и положить $a\circ b=t\cdot ab+(1-t)\cdot ba$. Обширные семейства плоскостей с группой большой размерности систематически открывались, исходя из предположений об их группах автоморфизмов, см., напр. Многие из них являются проективными замыканиями плоскостей трансляции (аффинных плоскостей, допускающих резко транзитивную группу автоморфизмов, переводящих каждую прямую в параллель), ср.; см. также для получения более свежих результатов по делу $m=3$ и для $m=4$.

пространства

Подплоскости проективных пространств геометрической . размерности не менее 3 обязательно дезарговы, см §1 или §16 или. Следовательно, все компактные связные проективные пространства можно координировать действительными или комплексными числами или полем кватернионов.

Стабильные самолеты

Классическую неевклидову гиперболическую плоскость можно представить пересечением прямых на вещественной плоскости с открытым круговым диском. В более общем смысле, открытые (выпуклые) части классических аффинных плоскостей являются типичными устойчивыми плоскостями. Обзор этих геометрий можно найти в: для $2$-мерный случай см. также.

Именно устойчивый самолет ${\mathcal {S}}$ представляет собой топологическую линейную геометрию $(P,{\mathfrak {L}})$ такой, что

1. $P$ — локально компактное пространство положительной конечной размерности,
2. каждая строка $L\in {\mathfrak {L}}$ является закрытым подмножеством $P$, и ${\mathfrak {L}}$ является хаусдорфовым пространством,
3. набор $\{(K,L)\mid K\neq L,\;K\cap L\neq \emptyset \}$ это открытое подпространство ${\mathfrak {O}}\subset {\mathfrak {L}}^{2}$ ( стабильность ),
4. карта $(K,L)\mapsto K\cap L:{\mathfrak {O}}\to P$ является непрерывным.

Обратите внимание, что стабильность исключает такие геометрии, как $3$-мерное аффинное пространство над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$.

Стабильный самолет ${\mathcal {S}}$ является проективной плоскостью тогда и только тогда, когда $P$ компактен.

Как и в случае проективных плоскостей, линейные пучки компактны и гомотопически эквивалентны сфере размерности $2^{m-1}$, и $\dim P=2^{m}$ с $m\in \{1,2,3,4\}$, видеть или. Более того, точечное пространство $P$ является локально сжимаемой.

Компактные группы (собственно) устойчивых плоскостей довольно малы. Позволять $\Phi _{d}$ обозначают максимальную компактную подгруппу группы автоморфизмов классической $d$-мерная проективная плоскость ${\mathcal {P}}_{d}$. Тогда справедлива следующая теорема:
Если $d$-мерная стабильная плоскость ${\mathcal {S}}$ допускает компактную группу $\Gamma$ автоморфизмов таких, что $\dim \Gamma >\dim \Phi _{d}-d$, затем ${\mathcal {S}}\cong {\mathcal {P}}_{d}$, видеть.

Флагомоднородные устойчивые плоскости. Позволять ${\mathcal {S}}=(P,{\mathfrak {L}})$ быть устойчивым самолетом. Если группа автоморфизмов $\operatorname {Aut} {\mathcal {S}}$ транзитивно по флагу, то ${\mathcal {S}}$ является классической проективной или аффинной плоскостью, или ${\mathcal {S}}$ изоморфна внутренности абсолютной сферы гиперболической полярности классической плоскости ; видеть.

В отличие от проективного случая, существует множество точечно-однородных устойчивых плоскостей, среди них обширные классы плоскостей сдвига, см. и.

Симметричные плоскости

Аффинные плоскости трансляции обладают следующим свойством:

• Существует точечная транзитивная замкнутая подгруппа $\Delta$ группы автоморфизмов, которая содержит единственное отражение в некоторой, а значит, и в каждой точке.

В более общем смысле, симметричная плоскость - это устойчивая плоскость. ${\mathcal {S}}=(P,{\mathfrak {L}})$ удовлетворение вышеупомянутого условия; видеть, ср. для обзора этих геометрий. К Следствие 5.5, группа $\Delta$ является группой Ли и точечным пространством $P$ является многообразием. Отсюда следует, что ${\mathcal {S}}$ является симметричным пространством . С помощью теории Ли симметричных пространств все симметрические плоскости с множеством точек размерности $2$ или $4$ были засекречены. Они либо являются плоскостями трансляции, либо определяются эрмитовой формой . Простой пример — реальная гиперболическая плоскость.

Геометрия круга

Классические модели задаются плоскими сечениями квадратичной поверхности $S$ в реальной проективности $3$-космос; если $S$ является сферой, геометрия называется плоскостью Мёбиуса . Плоские сечения линейчатой ​​поверхности (однополостного гиперболоида) дают классическую плоскость Минковского , ср. для обобщений. Если $S$ представляет собой эллиптический конус без вершины, геометрия называется плоскостью Лагерра . В совокупности эти самолеты иногда называют самолетами Benz . Топологическая плоскость Бенца называется классической, если каждая точка имеет окрестность, изоморфную некоторому открытому участку соответствующей классической плоскости Бенца .

Самолеты Мёбиуса

Плоскости Мёбиуса состоят из семейства ${\mathfrak {C}}$ кругов, являющихся топологическими 1-сферами, на $2$-сфера $S$ такой, что для каждой точки $p$ производная ​ структура $(S\setminus \{p\},\{C\setminus \{p\}\mid p\in C\in {\mathfrak {C}}\})$ является топологической аффинной плоскостью. В частности, любой $3$ отдельные точки соединены уникальным кругом. Круговое пространство ${\mathfrak {C}}$ тогда гомеоморфен вещественному проективному $3$-пробел с удаленной одной точкой. Большой класс примеров дают плоские сечения яйцеобразной поверхности в реальных условиях. $3$-космос.

Мёбиуса

Если группа автоморфизмов $\Sigma$ плоскости Мёбиуса транзитивна на множестве точек $S$ или на съемочной площадке ${\mathfrak {C}}$ кругов, или если $\dim \Sigma \geq 4$, затем $(S,{\mathfrak {C}})$ является классическим и $\dim \Sigma =6$, видеть.

В отличие от компактных проективных плоскостей не существует топологических плоскостей Мёбиуса с окружностями размерности $>1$, в частности, нет компактных плоскостей Мёбиуса с $4$-мерное точечное пространство. Все двумерные плоскости Мёбиуса такие, что $\dim \Sigma \geq 3$ можно описать явно.

Laguerre planes

Классическая модель плоскости Лагерра состоит из круглой цилиндрической поверхности. $C$ в реальности $3$-космос $\mathbb {R} ^{3}$ как множество точек и компактные плоские сечения $C$ как круги. Пары точек, не соединенные окружностью, называются параллельными . Позволять $P$ обозначают класс параллельных точек. Затем $C\setminus P$ это самолет $\mathbb {R} ^{2}$, окружности можно представить в этой плоскости параболами вида $y=ax^{2}+bx+c$.

Аналогичным образом классическая $4$-мерная плоскость Лагерра связана с геометрией комплексных квадратных многочленов. В общем, аксиомы локально компактной связной плоскости Лагерра требуют, чтобы производные плоскости вложились в компактные проективные плоскости конечной размерности. Окружность, не проходящая через точку вывода, образует овал в полученной проективной плоскости. К или, круги гомеоморфны сферам размерности $1$ или $2$. Следовательно, точечное пространство локально компактной связной плоскости Лагерра гомеоморфно цилиндру $C$ или это $4$-мерное многообразие, ср. Большой класс $2$-мерные примеры, называемые овоидальными плоскостями Лагерра, представляют собой плоские сечения цилиндра в реальном трехмерном пространстве, основанием которого является овал в $\mathbb {R} ^{2}$.

Группа автоморфизмов $2d$-мерная плоскость Лагерра ( $d=1,2$) — группа Ли относительно топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах точечного пространства; кроме того, эта группа имеет размерность не более $7d$. Все автоморфизмы плоскости Лагерра, фиксирующие каждый параллельный класс, образуют нормальную подгруппу — ядро ​​полной группы автоморфизмов. $2$-мерные плоскости Лагерра с $\dim \Sigma =5$ являются в точности овоидными плоскостями над собственными косыми параболами. Классический $2d$-мерные плоскости Лагерра единственные такие, что $\dim \Sigma >5d$, видеть, ср. также.

Лагерра

Если группа автоморфизмов $\Sigma$ из $2d$-мерная плоскость Лагерра ${\mathcal {L}}$ транзитивно на множестве параллельных классов, и если ядро $T\triangleleft \Sigma$ транзитивно на множестве окружностей, то ${\mathcal {L}}$ классический , см. 2.1,2.

Однако транзитивности группы автоморфизмов на множестве окружностей недостаточно для характеристики классической модели среди $2d$-мерные плоскости Лагерра.

Самолеты Минковского

Классическая модель плоскости Минковского имеет тор $\mathbb {S} _{1}\times \mathbb {S} _{1}$ В качестве точечного пространства круги представляют собой графики вещественных дробных линейных карт на $\mathbb {S} _{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$. Как и в случае с плоскостями Лагерра, точечное пространство локально компактной связной плоскости Минковского имеет вид $1$- или $2$-габаритный; тогда точечное пространство гомеоморфно тору или $\mathbb {S} _{2}\times \mathbb {S} _{2}$, видеть.

плоскости

Если группа автоморфизмов $\Sigma$ самолета Минковского ${\mathcal {M}}$ размера $2d$ транзитивно по флагу, то ${\mathcal {M}}$ является классическим .

Группа автоморфизмов $2d$-мерная плоскость Минковского является группой Ли размерности не более $6d$. Все $2$-мерные плоскости Минковского такие, что $\dim \Sigma \geq 4$ можно описать явно. Классический $2d$-мерная плоскость Минковского – единственная, имеющая $\dim \Sigma >4d$, видеть.

Ссылки

• Грундхёфер, Т.; Лёвен, Р. (1995), Букенхаут, Ф. (редактор), Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты , Амстердам: Северная Голландия, стр. 1255–1324.
• Гильберт, Д. (1899), Основы геометрии , перевод Э. Дж. Таунсенда, 1902, Чикаго.
• Кнарр, Н. (1995), Плоскости перевода. Основы и принципы построения , Конспект лекций по математике, вып. 1611, Берлин: Шпрингер
• Лёвен, Р. (1983a), «Топология и размерность стабильных плоскостей: по гипотезе Х. Фрейденталя», Ж. Рейн Ангью. Математика. , 343 : 108–122
• Лёвен, Р. (1983b), «Стабильные плоскости с изотропными точками», Mathematical Journal , 182 : 49–61, doi : 10.1007/BF01162593 , S2CID   117081501
• Пикерт, Г. (1955), Проекционные плоскости (на немецком языке), Берлин: Springer
• Полстер, Б.; Стейнке, Г. Ф. (2001), Геометрия на поверхностях , Кембриджский университет.
• Зальцманн, Х. (1967), «Топологические плоскости», Успехи в математике , 2 : 1–60, doi : 10.1016/s0001-8708(67)80002-1
• Зальцманн, Х. (2014), Компактные плоскости, в основном 8-мерные. Ретроспектива , arXiv : 1402.0304 , Bibcode : 2014arXiv1402.0304S .
• Зальцманн, Х.; Беттен, Д.; Грундхёфер, Т.; Хель, Х.; Лёвен, Р.; Строппель, М. (1995), Компактные проективные плоскости , В. де Грюйтер
• Стейнке, Г. (1995), «Топологическая геометрия круга», Справочник по геометрии падения , Амстердам: Северная Голландия: 1325–1354, doi : 10.1016/B978-044488355-1/50026-8 , ISBN  9780444883551