Разрешение особенностей

В алгебраической геометрии проблема разрешения особенностей спрашивает, имеет ли каждое многообразие V разрешение, которое является неособым многообразием W с собственным бирациональным отображением W → V. алгебраическое Для многообразий над полями характеристики 0 это было доказано Хейсуке Хиронакой в 1964 году; ^[1] а для многообразий размерности не менее 4 над полями характеристики p это открытая проблема. ^[2]

Определения

Первоначально задача разрешения особенностей заключалась в поиске неособой модели функционального поля многообразия X , другими словами, полного неособого многообразия X' с тем же функциональным полем. На практике удобнее задать другое условие: многообразие X имеет разрешение особенностей , если мы можем найти неособое многообразие X' и собственное бирациональное отображение из X' в X' . Условие правильности отображения необходимо для исключения тривиальных решений, таких как взятие X ' в качестве подмногообразия неособых точек X .

В более общем смысле часто бывает полезно разрешить особенности многообразия X, в большее многообразие W. вложенные что у нас есть замкнутое вложение X в регулярное многообразие W. Предположим , Сильная десингуляризация X W задается собственным бирациональным морфизмом регулярного многообразия W ′ в при выполнении некоторых из следующих условий (точный выбор условий зависит от автора):

Строгое преобразование X' X является регулярным и трансверсальным исключительному локусу разрешающего морфизма (поэтому, в частности, оно разрешает особенности X ).
Отображение строгого преобразования X ' в X является изоморфизмом особых точек X .
W ′ строится путем многократного раздутия регулярных замкнутых подмногообразий W или более сильно регулярных подмногообразий X , трансверсальных исключительному локусу предыдущих раздутий.
Конструкция W ′ функториальна для гладких морфизмов в W и вложений W в большее многообразие. (Его невозможно сделать функториальным для всех (не обязательно гладких) морфизмов каким-либо разумным способом.)
Морфизм X′ в X не зависит от вложения X в W . Или, вообще, последовательность раздутий функториальна относительно гладких морфизмов .

Хиронака показал, что существует сильная десингуляризация, удовлетворяющая первым трем вышеприведенным условиям, всякий раз, когда X определено над полем характеристики 0, и его конструкция была улучшена несколькими авторами (см. Ниже), так что она удовлетворяет всем вышеуказанным условиям.

Разрешение особенностей кривых

Каждая алгебраическая кривая имеет уникальную неособую проективную модель, а это означает, что все методы разрешения по существу одинаковы, поскольку все они строят эту модель. В более высоких измерениях это уже не так: многообразия могут иметь множество различных несингулярных проективных моделей.

Коллар (2007) перечисляет около 20 способов доказательства разрешения особенностей кривых.

метод Ньютона

Разрешение особенностей кривых, по существу, впервые было доказано Ньютоном ( 1676 ), который показал существование рядов Пюизо для кривой, из которых легко следует разрешение.

метод Римана

Риман построил гладкую риманову поверхность из функционального поля комплексной алгебраической кривой, что дает разрешение ее особенностей. Это можно сделать над более общими полями, используя набор колец дискретного нормирования поля вместо римановой поверхности.

метод Альбанезе

Метод Альбанезе состоит в том, чтобы взять кривую, охватывающую проективное пространство достаточно большой размерности (более чем в два раза превышающую степень кривой), и многократно проецировать ее вниз из особых точек в проективные пространства меньшей размерности. Этот метод распространяется на многообразия более высокой размерности и показывает, что любое n -мерное многообразие имеет проективную модель с особенностями кратности не более n !. Для кривой n = 1 , поэтому особых точек нет.

Нормализация

Мухли и Зариски (1939) предложили одноэтапный метод разрешения особенностей кривой путем нормализации кривой . Нормализация удаляет все особенности в коразмерности 1, поэтому она работает для кривых, но не для более высоких измерений.

Оценочные кольца

Другой одношаговый метод разрешения особенностей кривой состоит в том, чтобы взять пространство колец нормирования функционального поля кривой. Это пространство можно превратить в неособую проективную кривую, бирациональную исходной кривой.

Взорвать

Многократное расширение особых точек кривой в конечном итоге приведет к их устранению. Основная задача этого метода — найти способ измерить сложность особенности и показать, что раздутие улучшает эту меру. Есть много способов сделать это. Например, можно использовать арифметический род кривой.

метод Нётер

Метод Нётер берет плоскую кривую и неоднократно применяет квадратичные преобразования (определяемые особой точкой и двумя точками в общем положении). В конечном итоге это дает плоскую кривую, единственными особенностями которой являются обычные кратные точки (все касательные линии имеют кратность два).

метод Бертини

Метод Бертини аналогичен методу Нётер. Он начинается с плоской кривой и неоднократно применяет к плоскости бирациональные преобразования для улучшения кривой. Бирациональные преобразования сложнее, чем квадратичные преобразования, используемые в методе Нётер, но дают лучший результат, поскольку единственными особенностями являются обычные двойные точки.

Разрешение особенностей поверхностей

Поверхности имеют множество различных неособых проективных моделей (в отличие от кривых, где неособая проективная модель уникальна). Однако поверхность по-прежнему имеет уникальное минимальное разрешение, которое учитывается всеми остальными (все остальные являются его разрешениями). В более высоких измерениях не обязательно должно быть минимальное разрешение.

Было несколько попыток доказать разрешение поверхностей над комплексными числами Дель Пеццо (1892) , Леви (1899) , Севери (1914) , Кизини (1921) и Альбанезе (1924) , но Зариски (1935 , глава I, раздел 6). ) указывает, что ни одна из этих ранних попыток не является полной, и все они расплывчаты (или даже неверны) в некоторых критических точках аргументации. Первое строгое доказательство было дано Уокером (1935) , а алгебраическое доказательство для всех полей характеристики 0 было дано Зариским (1939) . Абхьянкар (1956) дал доказательство для поверхностей с ненулевой характеристикой. Разрешение особенностей также было показано для всех превосходных двумерных схем (включая все арифметические поверхности) Липманом (1978) .

метод Зариского

Метод Зарисского разрешения особенностей поверхностей состоит в том, чтобы неоднократно чередовать нормализацию поверхности (которая убивает особенности коразмерности 1) с раздутием точек (что делает особенности коразмерности 2 лучше, но может ввести новые особенности коразмерности 1). Хотя это само по себе разрешит особенности поверхностей, Зариский использовал более обходной метод: сначала он доказал теорему локальной униформизации, показывающую, что любое нормирование поверхности может быть разрешено, затем использовал компактность поверхности Зариского-Римана, чтобы показать, что она можно найти конечный набор поверхностей такой, что центр каждого нормирования прост хотя бы на одной из этих поверхностей, и, наконец, изучение бирациональных отображений между поверхностями показало, что этот конечный набор поверхностей можно заменить одной неособой поверхность.

метод Юнга

Применяя сильное вложенное разрешение для кривых, Юнг (1908) сводит поверхность к поверхности только с довольно особыми особенностями (абелевыми факторособенностями), которые затем рассматриваются явно. Более многомерной версией этого метода является метод де Йонга.

метод Альбанезе

В целом аналог метода Альбанезе для кривых показывает, что любое многообразие можно свести к особенностям порядка не выше n !, где n — размерность. Для поверхностей это сводится к случаю особенностей второго порядка, которые достаточно легко сделать явно.

Метод Абхьянкара

Абхьянкар (1956) доказал разрешение особенностей поверхностей над полем любой характеристики, доказав теорему локальной униформизации для колец нормирования. Самый трудный случай — это кольца нормирования ранга 1, группа нормирования которых является недискретной подгруппой рациональных чисел. Остальная часть доказательства проводится методом Зарисского.

Метод Хиронаки

Метод Хиронаки для произвольных характеристических многообразий дает метод разрешения поверхностей, который включает в себя многократное раздутие точек или сглаживание кривых в особом множестве.

Метод Липмана

Липман (1978) показал, что поверхность Y (двумерная приведенная нётерова схема) имеет десингуляризацию тогда и только тогда, когда ее нормализация конечна над Y и аналитически нормальна (пополнения ее особых точек нормальны) и имеет только конечное число особых точек. точки. В частности, если Y превосходен , то у него есть десингуляризация.

Его метод заключался в том, чтобы рассмотреть нормальные поверхности Z с бирациональным собственным отображением в Y и показать, что существует минимальная поверхность с минимально возможным арифметическим родом. Затем он показывает, что все особенности этого минимального Z псевдорациональны, и показывает, что псевдорациональные особенности можно разрешить путем многократного разрушения точек.

Разрешение особенностей в более высоких измерениях

Проблема разрешения особенностей в более высоких измерениях печально известна множеством неверных опубликованных доказательств и анонсами доказательств, которые так и не появились.

метод Зариского

Для трехмерных многообразий разрешение особенностей в характеристике 0 было доказано Зариским (1944) . Он первым доказал теорему о локальной униформизации колец нормирования, справедливую для многообразий любой размерности над любым полем характеристики 0. Затем он показал, что пространство нормирования Зариского – Римана квазикомпактно (для любого многообразия любой размерности над любым полем ), подразумевая, что существует конечное семейство моделей любого проективного многообразия, такое что любое нормирование имеет гладкий центр хотя бы над одной из этих моделей. Последняя и самая сложная часть доказательства, в которой используется тот факт, что многообразие имеет размерность 3, но которое работает для всех характеристик, состоит в том, чтобы показать, что для данных двух моделей можно найти третью, которая разрешает особенности, присущие каждой из двух данных моделей. решать.

Метод Абхьянкара

Абхьянкар (1966) доказал разрешение особенностей трехмерного многообразия с характеристикой больше 6. Ограничение на характеристику возникает потому, что Абхьянкар показывает, что можно разрешить любую особенность трехмерного многообразия с кратностью меньшей, чем характеристика, а затем использует Метод Альбанезе, показывающий, что сингулярности можно свести максимум к сингулярностям (размерности)! = 3! = 6. Каткоски (2009) дал упрощенную версию доказательства Абхьянкара.

Коссарт и Пилтант ( 2008 , 2009 ) доказали разрешение особенностей трехмерных многообразий во всех характеристиках, доказав локальную униформизацию в размерности не более 3, а затем проверив, что доказательство Зарисского о том, что это подразумевает разрешение трехмерных многообразий, все еще работает в положительной характеристике. случай.

Метод Хиронаки

Разрешение особенностей характеристики 0 во всех измерениях было впервые доказано Хиронакой (1964) . Он доказал, что можно разрешить особенности многообразий над полями характеристики 0 путем многократного раздутия вдоль неособых подмногообразий, используя очень сложный аргумент индукцией по размерности. Упрощенные версии его грозного доказательства были даны несколькими людьми, в том числе Бирстоуном и Милманом (1991) , Бирстоуном и Милманом (1997) , Вилламайором (1992) , Энсинас и Вилламайором (1998) , Энцинасом и Хаузером (2002) , Влодарчиком (2005). , Коллар (2007) . Некоторые из недавних доказательств составляют примерно десятую часть оригинального доказательства Хиронаки, и их достаточно легко изложить на вводном курсе аспирантуры. Подробное изложение теоремы см. в ( Hauser 2003 ), а историческое обсуждение см. в ( Hauser 2000 ).

Метод Де Йонга

де Йонг (1996) нашел другой подход к разрешению особенностей, обобщив метод Юнга для поверхностей, который использовался Богомолов и Пантев (1996) и Абрамович и де Йонг (1997) для доказательства разрешения особенностей в характеристике 0. Метод де Йонга дал более слабый результат для многообразий всех размерностей в характеристике p , который достаточно силен, чтобы служить заменой разрешение для многих целей.Де Йонг доказал, что для любого многообразия X над полем существует доминантный собственный морфизм, сохраняющий размерность регулярного многообразия на X . Это не обязательно должно быть бирациональное отображение, поэтому оно не является разрешением особенностей, поскольку оно может быть в общем случае конечным до единицы и, следовательно, включает конечное расширение функционального поля X . Идея Де Йонга заключалась в том, чтобы попытаться представить X как расслоение на меньшем пространстве Y со слоями, которые являются кривыми (это может включать в себя модификацию X ), затем устранить особенности Y путем индукции по размерности, а затем устранить особенности в слоях.

Разрешение схем и состояние проблемы

Определение разрешающей способности легко распространить на все схемы. Не все схемы имеют разрешение своих особенностей: Гротендик и Дьедонне (1965 , раздел 7.9) показали, что если локально нётерова схема X обладает свойством разрешать особенности любой конечной интегральной схемы над X , то X должна быть квазипревосходной. . Гротендик также предположил, что может иметь место обратное: другими словами, если локально нетерова схема X приведена и квазиотлична, то можно разрешить ее особенности. Когда X определено над полем характеристики 0 и нётерово, это следует из теоремы Хиронаки, а когда X имеет размерность не более 2, это было доказано Липманом.

Хаузер (2010) представил обзор работ по нерешенной проблеме разрешения характеристики p .

Метод доказательства в нулевой характеристике

Сохранившееся мнение о том, что доказательство разрешения проблемы очень сложно, постепенно отошло от реальности. ... возможно доказать разрешение за последние две недели начального курса алгебраической геометрии.

( Коллар 2007 , Лекции по разрешению особенностей)

Существует множество конструкций сильной десингуляризации, но все они дают по существу один и тот же результат. В каждом случае глобальный объект (многообразие, подлежащее десингуляризации) заменяется локальными данными ( идеальным пучком многообразия, исключительными делителями и некоторыми порядками , показывающими, сколько идеалов должно быть разрешено на этом этапе). По этим локальным данным определяются очаги взрыва. Центры будут определяться локально, и поэтому проблематично гарантировать, что они будут соответствовать глобальному центру. Это можно сделать, определив, какие нарушения допускаются для разрешения каждого идеала. Если все сделано правильно, центры совпадут автоматически. Другой способ — определить локальный инвариант в зависимости от разновидности и истории разрешения (предыдущие локальные центры) так, чтобы центры состояли из максимального локуса инварианта. Определение сделано таким образом, что этот выбор имеет смысл, поскольку дает гладкие центры, трансверсальные исключительным дивизорам.

В любом случае проблема сводится к разрешению особенностей кортежа, образованного идеальным пучком и дополнительными данными (исключительные делители и порядок d , к которому должно относиться разрешение для этого идеала). Этот кортеж называется отмеченным идеалом , а множество точек, в которых порядок идеала больше d, называется его ко-носителем. Доказательство существования разрешения отмеченных идеалов проводится индукцией по размерности. Индукция прерывается в два этапа:

Функториальная десингуляризация отмеченного идеала размерности n - 1 влечет за собой функториальную десингуляризацию отмеченных идеалов максимального порядка размерности n .
Функториальная десингуляризация отмеченных идеалов максимального порядка размерности n влечет за собой функториальную десингуляризацию (общего) отмеченного идеала размерности n .

Здесь мы говорим, что отмеченный идеал имеет максимальный порядок , если в какой-то точке его соносителя порядок идеала равен d .Ключевым компонентом сильного разрешения является использование функции Гильберта – Самуэля локальных колец точек многообразия. Это одна из составляющих инварианта разрешения.

Примеры

Множественность не должна уменьшаться при раздутии.

Наиболее очевидным инвариантом особенности является ее кратность. Однако это не обязательно должно уменьшаться при увеличении, поэтому для измерения улучшения необходимо использовать более тонкие инварианты.

Например, рамфоидный бугорок y ² = х ⁵ имеет особенность второго порядка в начале координат. После взрыва в особой точке он становится обычным каспом . ² = х ³, который по-прежнему имеет кратность 2.

Видно, что сингулярность улучшилась, поскольку степень определяющего полинома уменьшилась. Этого не происходит в целом. Примером, когда этого не происходит, является изолированная особенность x ² + и ³г + г ³ = 0 в начале координат. Взорвав его, мы получим сингулярность x ² + и ²г + юз ³ = 0. Не сразу очевидно, что эта новая особенность лучше, поскольку обе особенности имеют кратность 2 и задаются суммой мономов степеней 2, 3 и 4.

Раздувание самых особых точек не работает

Естественная идея улучшения особенностей состоит в том, чтобы раздуть геометрическое место «худших» особых точек. Зонт Уитни х ² = и ²z имеет сингулярный набор оси z , большая часть которой представляет собой обычные двойные точки, но в начале координат есть более сложная точка сжатия , поэтому раздувание наихудших особых точек предполагает, что нужно начать с раздувания начала координат. Однако расширение начала координат воспроизводит ту же особенность на одной из координатных карт. Таким образом, раздутие (очевидно) «худших» особых точек не улучшает сингулярность. Вместо этого сингулярность можно разрешить, раздувая ее вдоль оси z .

Существуют алгоритмы, которые в некотором смысле работают путем расширения «худших» особых точек, например ( Bierstone & Milman 1997 ), но этот пример показывает, что определение «худших» точек должно быть весьма тонким.

Для более сложных особенностей, таких как x ² = и ^мС ^н которая является сингулярной вдоль x = yz =0, разрушение наихудшей особенности в начале координат дает особенности x ² = и ^{м + п -2}С ^н и х ² = и ^мС ^{м + п -2} которые хуже исходной особенности, если m и n оба не менее 3.

После разрешения полное преобразование (объединение строгого преобразования и исключительных дивизоров) представляет собой многообразие с особенностями типа простых нормальных пересечений. Естественно рассмотреть возможность разрешения особенностей без разрешения этого типа особенностей, это нахождение разрешения, являющегося изоморфизмом над множеством гладких и простых нормальных точек пересечения. Когда строгое преобразование является дивизором (т. е. может быть вложено как подмногообразие коразмерности один в гладкое многообразие), известно, что существует сильное разрешение, избегающее простых нормальных точек пересечения. Зонтик Уитни показывает, что невозможно разрешить особенности, избегая разрушения особенностей нормальных пересечений.

Процедуры постепенного разрешения требуют памяти

Естественный способ разрешить особенности — многократно раздуть некоторое канонически выбранное гладкое подмногообразие. Это приводит к следующей проблеме. Особое множество x ² = и ²С ² — это пара линий, заданных осями y и z . Единственные разумные многообразия, которые можно раздуть, — это начало координат, одна из этих двух осей или все множество сингулярностей (обе оси). Однако весь набор сингулярностей использовать нельзя, поскольку он не является гладким, а выбор одной из двух осей нарушает симметрию между ними и поэтому не является каноническим. Это означает, что нам нужно начать с расширения начала координат, но при этом воспроизводится исходная сингулярность, поэтому нам кажется, что мы ходим по кругу.

Решение этой проблемы состоит в том, что, хотя расширение начала координат не меняет тип особенности, оно дает небольшое улучшение: оно нарушает симметрию между двумя сингулярными осями, поскольку одна из них является исключительным делителем для предыдущего расширения. поэтому теперь разрешено взорвать только один из них. Однако, чтобы воспользоваться этим, процедура разрешения должна обрабатывать эти две особенности по-разному, даже если локально они одинаковы. Иногда это делается путем предоставления процедуре разрешения некоторой памяти, поэтому центр раздутия на каждом шаге зависит не только от сингулярности, но и от предыдущих раздутий, использованных для ее создания.

Резолюции не являются функториальными.

Некоторые методы разрешения (в характеристике 0) функториальны для всех гладких морфизмов.Однако невозможно найти сильный функториал разрешения для всех (возможно, негладких) морфизмов. Примером может служить отображение аффинной плоскости A ² к конической особенности x ² + и ² = г ² переводя ( X , Y ) в (2 XY , X ² − И ², Х ² + И ²). Плоскость XY уже является неособой, поэтому ее не следует изменять путем разрешения, и любое разрешение конической особенности факторизуется через минимальное разрешение, полученное путем раздутия особой точки. Однако рациональное отображение плоскости XY в это раздутие не распространяется на регулярное отображение.

Минимальные разрешения не должны существовать

Минимальные разрешения (разрешения, при которых каждое разрешение учитывает их) существуют в измерениях 1 и 2, но не всегда в более высоких измерениях. дает Флоп Атьи пример трехмерной сингулярности без минимального разрешения.Пусть Y — нули xy = zw в A ⁴, и пусть V — раздутие Y в начале координат. Исключительное множество этого раздутия изоморфно P ¹× P ¹, и его можно сдуть до P ¹ двумя разными способами, что дает два небольших разрешения X ₁ и X ₂ для Y , ни одно из которых не может быть уменьшено дальше.

Решения не должны совмещаться с продуктами

Коллар (2007 , пример 3.4.4, стр. 121) приводит следующий пример, показывающий, что нельзя ожидать, что достаточно хорошая процедура разрешения будет коммутировать с произведениями. Если f : A → B является разрушением начала координат квадрики B в аффинном 3-мерном пространстве, то f × f : A × A → B × B не может быть получено с помощью этальной процедуры локального разрешения, по существу потому, что исключительное множество имеет 2 пересекающихся компонента.

Особенности торических многообразий.

Особенности торических многообразий дают примеры особенностей большой размерности, которые легко разрешить явно. Торическое многообразие определяется веером — набором конусов в решетке. Особенности можно устранить, разделив каждый конус на объединение конусов, каждый из которых порождается базисом решетки, и взяв соответствующее торическое многообразие.

Выбор центров, являющихся регулярными подмногообразиями X

Построение десингуляризации многообразия X не может привести к появлению центров раздутий, являющихся гладкими подмногообразиями X . Многие конструкции десингуляризации абстрактного многообразия X основаны на локальном вложении X в гладкое многообразие W , рассмотрении его идеала в W и вычислении канонической десингуляризации этого идеала. Десингуляризация идеалов использует порядок идеала как меру того, насколько уникален идеал. Десингуляризацию идеала можно провести так, чтобы можно было оправдать объединение локальных центров в глобальные центры. Этот метод приводит к доказательству, которое относительно проще представить по сравнению с оригинальным доказательством Хиронаки, в котором функция Гильберта-Самуэля используется в качестве меры того, насколько плохими являются особенности. Например, эта идея используется в доказательствах в Villamayor (1992) , Encinas & Villamayor (1998) , Encinas & Hauser (2002) и Kollár (2007) . центры раздутий Однако этот метод обеспечивает лишь регулярные в W .

Следующий пример показывает, что этот метод может создавать центры, которые имеют негладкие пересечения с (строгим преобразованием) X . ^[3] Следовательно, результирующая десингуляризация, ограниченная абстрактным многообразием X , не получается путем раздутия регулярных X. подмногообразий

Пусть X — подмногообразие четырехмерной аффинной плоскости с координатами x,y,z,w , порожденное y ²- х ³ и х ⁴+ хз ²- В ³. Каноническая десингуляризация идеала с помощью этих генераторов разрушила бы центр C _0, заданный формулой x = y = z = w = 0. Преобразование идеала в x -диаграмме, если оно сгенерировано x - y. ² и й ²( и ²+ я ²- В ³). Следующий центр раздутия C ₁ определяется соотношением x = y =0. Однако строгим преобразованием X является X ₁ , которое порождается x - y ² и й ²+ я ²- В ³. Это означает, что пересечение C ₁ и X ₁ задается выражениями x = y =0 и z ²- В ³=0, что не является регулярным.

Чтобы создать центры раздутий, которые являются регулярными подмногообразиями X, более сильные доказательства используют функцию Гильберта-Самуэля локальных колец X, а не порядок ее идеала в локальном вложении в W . ^[4]

Другие варианты разрешения особенностей

После разрешения полное преобразование, объединение строгого преобразования X и исключительного дивизора представляет собой многообразие, которое в лучшем случае может иметь простые нормальные пересекающиеся особенности. Тогда естественно рассмотреть возможность разрешения особенностей без разрешения этого типа особенностей. Проблема состоит в том, чтобы найти резольвенту, которая является изоморфизмом над множеством гладких и простых нормальных точек пересечения. Когда X является дивизором, т. е. его можно вложить как подмногообразие коразмерности один в гладкое многообразие, известно, что верно существование сильной резолюции, избегающей простых нормальных точек пересечения. Общий случай или обобщения, позволяющие избежать различных типов особенностей, до сих пор неизвестны. ^[5]

Избежать некоторых особенностей невозможно. Например, невозможно разрешить особенности, избегая разрушения особенностей нормальных пересечений. Фактически, чтобы разрешить сингулярность точки защемления, необходимо раздуть все множество сингулярностей, включая точки, где присутствуют нормальные особенности пересечения.

Ссылки

Библиография

Абхьянкар, Шрирам (1956), «Локальная униформизация на алгебраических поверхностях над основными полями характеристики p ≠0», Annals of Mathematics , Second Series, 63 (3): 491–526, doi : 10.2307/1970014 , JSTOR 1970014 , MR 0078017
Абхьянкар, Шрирам С. (1966), Разрешение особенностей вложенных алгебраических поверхностей , Монографии Спрингера по математике, Акад. Пресса, doi : 10.1007/978-3-662-03580-1 , ISBN. 3-540-63719-2 (1998 г., 2-е издание)
Абрамович, Дэн (2011), «Обзор разрешения особенностей и лекции по разрешению особенностей » , Бюллетень Американского математического общества , 48 : 115–122, doi : 10.1090/S0273-0979-10-01301-7
Абрамович, Д ; де Йонг, AJ (1997), «Гладкость, полустабильность и тороидальная геометрия», Журнал алгебраической геометрии , 6 (4): 789–801, arXiv : alg-geom/9603018 , Bibcode : 1996alg.geom..3018A , MR 1487237
Альбанезе, Г. (1924), «Бирациональное преобразование одной алгебраической поверхности в другую без кратных точек», Ренд. Цирк. Мэтт. Палермо , 48 (3): 321–332, doi : 10.1007/BF03014708 , S2CID 122056627 .
Бирстон, Эдвард; Милман, Пьер Д. (1991), «Простое конструктивное доказательство канонического разрешения особенностей», в Мора, Т.; Траверсо, К. (ред.), «Эффективные методы алгебраической геометрии» , «Прогресс в математике», том. 94, Бостон: Биркхойзер, стр. 11–30, номер документа : 10.1007/978-1-4612-0441-1_2.
Бирстон, Эдвард; Милман, Пьер Д. (1997), «Каноническая десингуляризация в нулевой характеристике путем расширения максимальных слоев локального инварианта», Invent. Математика. , 128 (2): 207–302, arXiv : alg-geom/9508005 , Bibcode : 1997InMat.128..207B , doi : 10.1007/s002220050141 , MR 1440306 , S2CID 119128818
Бирстон, Эдвард; Мильман, Пьер Д. (2007), «Функториальность в разрешении особенностей», Публикации Научно-исследовательского института математических наук , 44 (2), arXiv : math/0702375
Бирстон, Эдвард; Милман, Пьер Д. (2012), «Разрешение, за исключением минимальных особенностей I», Успехи в математике , 231 (5): 3022–3053, arXiv : 1107.5595 , doi : 10.1016/j.aim.2012.08.002 , S2CID 119702658
Богомолов Федор А.; Пантев, Тони Г. (1996), «Слабая теорема Хиронаки», Mathematical Research Letters , 3 (3): 299–307, arXiv : alg-geom/9603019 , doi : 10.4310/mrl.1996.v3.n3.a1 , S2CID 14010069
Чизини О. (1921), «Разрешение особенностей поверхности», Мем. Болонья , 8
Коссар, Винсент; Пилтант, Оливье (2008), «Разрешение особенностей трехмерных многообразий в положительной характеристике. I. Сведение к локальной униформизации на Артине-Шрайере и чисто неразделимых покрытиях» (PDF) , Journal of Algebra , 320 (3): 1051–1082, doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.03.032 , МР 2427629
Коссар, Винсент; Пилтант, Оливье (2009), «Разрешение особенностей тройных многообразий в положительной характеристике. II» (PDF) , Journal of Algebra , 321 (7): 1836–1976, doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.11.030 , MR 2494751
Каткоски, Стивен Дейл (2004), Разрешение особенностей , Провиденс, Род-Айленд: Американская математика. Соц., ISBN 0-8218-3555-6
Каткоски, Стивен Дейл (2009), «Разрешение особенностей трехмерных многообразий в положительной характеристике», Amer. Дж. Математика. , 131 (1): 59–127, arXiv : math/0606530 , doi : 10.1353/ajm.0.0036 , JSTOR 40068184 , MR 2488485 , S2CID 2139305
Данилов, В.И. (2001) [1994], «Разрешение особенностей» , Энциклопедия Математики , EMS Press
де Йонг, AJ (1996), «Гладкость, полустабильность и изменения» , Inst. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. , 83 : 51–93, doi : 10.1007/BF02698644 , S2CID 53581802
Дель Пеццо, Паскуале (1892). «Об особых точках алгебраических поверхностей». Доклады Палермского математического клуба .
Эллвуд, Дэвид; Хаузер, Хервиг; Мори, Сигэфуми; Скичо, Джозеф (12 декабря 2014 г.). Разрешение сингулярных алгебраических многообразий (PDF) . ISBN 9780821889824 .
Энсинас, С.; Хаузер, Хервиг (2002), «Сильное разрешение особенностей нулевой характеристики», Комментарий. Математика. Хелв. , 77 (4): 821–845, arXiv : math/0211423 , doi : 10.1007/PL00012443 , S2CID 9511067
Энсинас, С.; Вилламайор, О. (1998), «Положительные моменты и конструктивное разрешение особенностей», Acta Math. , 181 (1): 109–158, doi : 10.1007/BF02392749 , MR 1654779
Гротендик, А .; Дьедонне, Ж. (1965), “Элементы алгебраической геометрии” , Опубл. Математика. ИХЭС , 24
Хаузер, Хервиг (1998), "Семнадцать препятствий для разрешения особенностей" , Особенности (Обервольфач, 1996) , Progr. Матем., вып. 162, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, стр. 289–313, MR 1652479.
Хаузер, Хервиг (2000), «Разрешение особенностей 1860–1999 гг.», Хаузер, Хервиг; Липман, Джозеф; Оорт, Франс; Кирос, Адольфо (ред.), Разрешение особенностей (Obergurgl, 1997) , Progr. Матем., вып. 181, Биркхойзер, стр. 5–36, arXiv : math/0508332 , doi : 10.1007/978-3-0348-8399-3 , ISBN 0-8176-6178-6
Хаузер, Хервиг (2003), «Теорема Хиронаки о разрешении особенностей (или: доказательство, которое мы всегда хотели понять)» , Bull. амер. Математика. Соц. (NS) , 40 (3): 323–403, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00982-0
Хаузер, Хервиг (2010), «О проблеме разрешения особенностей положительной характеристики (или: доказательство, которого мы все еще ждем)», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 47 (1): 1–30, doi : 10.1090/S0273-0979-09-01274-9 , MR 2566444
Коллар, Янош (2000), Хаузер, Хервиг; Липман, Дж.; Оорт, Ф.; Кирос, А. (ред.), Разрешение особенностей , Progress in Mathematics, vol. 181, Birkhäuser Verlag, arXiv : math/0508332 , doi : 10.1007/978-3-0348-8399-3 , ISBN 978-3-7643-6178-5 , МР 1748614
Хиронака, Хейсуке (1964), «Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики. I», Ann. математики. , 2, 79 (1): 109–203, doi : 10.2307/1970486 , JSTOR 1970486 , MR 0199184 и часть II , стр. 205–326, JSTOR 1970547.
Коллар, Янош (2007), Лекции по разрешению особенностей , Принстон: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12923-5 (аналогично его «Разрешению особенностей — Сиэтлская лекция») .
Юнг, HWE (1908), «Представление функций алгебраического поля двух независимых переменных x,y в среде x=a, y=b» , Журнал чистой и прикладной математики , 133 : 289–314, doi : 10.1515/crll.1908.133.289 , S2CID 116911985
Леви, Б. (1899), «Разрешение точечных особенностей алгебраических поверхностей», Труды. акад. Турин , 34
Липман, Джозеф (1975), «Введение в разрешение особенностей», Алгебраическая геометрия (Государственный университет Гумбольдта, Арката, Калифорния, 1974) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 29, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 187–230, МР 0389901.
Липман, Джозеф (1978), «Десингуляризация двумерных схем», Ann. Математика. , 2, 107 (1): 151–207, номер документа : 10.2307/1971141 , JSTOR 1971141 , MR 0491722.
Мухли, ХТ; Зариски, О. (1939), «Разрешение особенностей алгебраической кривой», Amer. Дж. Математика. , 61 (1): 107–114, номер документа : 10.2307/2371389 , JSTOR 2371389 , MR 1507363.
Ньютон, Исаак (1676 г.), Письмо Ольденбургу от 24 октября 1676 г. , перепечатано в Ньютон, Исаак (1960), Переписка Исаака Ньютона , том. II, издательство Кембриджского университета, стр. 126–127.
Севери, Франческо (20 декабря 1914 г.), «Бирациональное преобразование любой алгебраической поверхности в поверхность без кратных точек», Труды Королевской академии Линчеи: отчеты (PDF) (на итальянском языке), том. 23, Рим: Reale Accademia dei Lincei , получено 16 декабря 2023 г.
Вилламайор, Орландо У. (1995), «О хороших моментах и новом каноническом алгоритме разрешения особенностей», Фабрицио Бролья; Маргарита Гальбиати; Альберто Тоньоли (ред.), Реальная аналитическая и алгебраическая геометрия: материалы международной конференции, Тренто (Италия), 21-25 сентября 1992 г. , Берлин, Нью-Йорк: Де Грюйтер, стр. 277–292, doi : 10.1515/9783110881271.277
Уокер, Роберт Дж. (1935), «Уменьшение особенностей алгебраической поверхности», Annals of Mathematics , Second Series, 36 (2): 336–365, doi : 10.2307/1968575 , JSTOR 1968575
Влодарчик, Ярослав (2005), «Простое разрешение Хиронаки в нулевой характеристике» , J. Amer. Математика. Соц. , 18 (4): 779–822, doi : 10.1090/S0894-0347-05-00493-5
Зариски, Оскар (1935), Абхьянкар, Шрирам С.; Липман, Джозеф; Мамфорд, Дэвид (ред.), Алгебраические поверхности , Классика математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6 , МР 0469915
Зариский, Оскар (1939), «Уменьшение особенностей алгебраической поверхности», Ann. математики. , 2, 40 (3): 639–689, номер документа : 10.2307/1968949 , JSTOR 1968949.
Зариски, Оскар (1944), «Уменьшение особенностей алгебраических трехмерных многообразий», Ann. математики. , 2, 45 (3): 472–542, номер документа : 10.2307/1969189 , JSTOR 1969189 , MR 0011006.

Внешние ссылки

Разрешение особенностей I , видео выступления Хиронаки.
Разрешение особенностей в алгебраической геометрии , видео выступления Хиронаки.
Некоторые изображения особенностей и их разрешения
SINGULAR : система компьютерной алгебры с пакетами для разрешения особенностей.
Заметки и лекции к Рабочей неделе по разрешению особенностей Тироля 1997, 7–14 сентября 1997 г., Обергургль, Тироль, Австрия.
Конспекты лекций Летней школы по разрешению особенностей, июнь 2006 г., Триест, Италия.
дизайн — компьютерная программа для разрешения особенностей.
Домашняя страница Хаузера с несколькими пояснительными статьями по разрешению особенностей.

[FOOTNOTEHironaka1964-1] Хиронака 1964 .

[FOOTNOTEHauser2010-2] Хаузер 2010 .

[FOOTNOTEBierstoneMilman2007-3] Бирстоун и Милман 2007 .

[FOOTNOTEBierstoneMilman1991BierstoneMilman1997-4] Бирстон и Милман 1991 ; Бирстоун и Милман, 1997 .

[FOOTNOTEBierstoneMilman2012-5] Бирстоун и Милман, 2012 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]