Эквивалент дохода

Эквивалентность доходов — это концепция теории аукционов , которая гласит, что при определенных условиях любой механизм, который приводит к одинаковым результатам (т. е. распределяет лоты между одними и теми же участниками торгов), также имеет одинаковый ожидаемый доход.

Обозначения

Есть набор $X$ возможных результатов.

Есть $n$ агенты, которые имеют разные оценки для каждого результата. Оценка агента $i$ (также называемый его «типом») представлен как функция:

$v_{i}:X\longrightarrow R_{\geq 0}$

который выражает ценность каждой альтернативы в денежном выражении.

Агенты имеют полезности квазилинейные функции ; это означает, что если результат $x$ и дополнительно агент получает оплату $p_{i}$ (положительная или отрицательная), то общая полезность агента $i$ является:

$u_{i}:=v_{i}(x)+p_{i}$

Вектор всех функций цены обозначается $v$.

Для каждого агента $i$вектор всех функций ценности других агентов обозначается через $v_{-i}$. Так $v\equiv (v_{i},v_{-i})$.

Механизм – это пара функций:

• Ан $Outcome$ функция, которая принимает в качестве входных данных вектор значений $v$ и возвращает результат $x\in X$ (ее еще называют функцией социального выбора );
• А $Payment$ функция, которая принимает на вход вектор значений $v$ и возвращает вектор платежей, $(p_{1},\dots ,p_{n})$, определяя, какую сумму должен получить каждый игрок (отрицательный платеж означает, что игрок должен заплатить положительную сумму).

Типы агентов являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами . Таким образом, механизм порождает байесовскую игру , в которой стратегия игрока — это его сообщаемый тип как функция его истинного типа. Говорят, что механизм совместим со стимулами Байеса-Нэша , если существует байесовское равновесие Нэша , при котором все игроки сообщают о своем истинном типе.

Заявление

При этих предположениях теорема об эквивалентности доходов утверждает следующее.

Для любых двух механизмов, совместимых со стимулами Байеса-Нэша, если:

• The $Outcome$ функция одинакова в обоих механизмах, и:
• Для некоторого типа $v_{i}^{0}$, ожидаемый платеж игрока $i$ (усредненное по типам остальных игроков) одинаково в обоих механизмах;
• Оценка каждого игрока извлекается из набора , связанного путями ,

затем:

• Ожидаемые выплаты всех типов одинаковы в обоих механизмах, а значит:
• Ожидаемый доход (- сумма платежей) одинаков в обоих механизмах.

Пример

Классическим примером является пара аукционных механизмов: аукцион первой цены и аукцион второй цены . Аукцион первой цены имеет вариант , совместимый со стимулами Байеса-Нэша; Аукцион второй цены совместим со стимулами доминирующей стратегии, что даже сильнее, чем совместимость со стимулами Байеса-Нэша. Оба механизма удовлетворяют условиям теоремы, потому что:

• The $Outcome$ функция в обоих механизмах одинакова – лот выигрывает тот, кто предложит самую высокую цену; и:
• Игрок, который оценивает предмет как 0, всегда платит 0 в обоих механизмах.

Действительно, ожидаемый платеж для каждого игрока одинаков на обоих аукционах, и доход аукциониста одинаков; см. на странице аукциона с закрытыми предложениями по первой цене Подробную информацию .

Эквивалентность аукционных механизмов на единичных аукционах

Фактически, мы можем использовать эквивалентность доходов, чтобы доказать, что многие типы аукционов эквивалентны доходам. Например, аукцион первой цены, аукцион второй цены и аукцион с полной оплатой являются эквивалентными доходу, если участники торгов симметричны (т. е. их оценки независимы и одинаково распределены).

Аукцион второй цены

Рассмотрим аукцион по второй цене , в котором игрок с самой высокой ставкой платит вторую по величине ставку. Оптимально для каждого игрока $i$ предлагать свою собственную цену $b_{i}=v_{i}$.

Предполагать $i$ выигрывает аукцион и платит вторую по величине ставку, или $\max _{j\neq i}b_{j}$. Доход от этого аукциона просто $\max _{j\neq i}b_{j}$.

Аукцион первой цены

На аукционе первой цены , где игрок с самой высокой ставкой просто платит свою ставку, если все игроки делают ставки, используя функцию торгов. $b(v)=E(\max _{j\neq i}v_{j}~|~v_{j}\leq v~\forall ~j),$ это равновесие Нэша.

Другими словами, если каждый игрок делает ставку так, что он предлагает ожидаемое значение второй по величине ставки, предполагая, что его ставка была самой высокой, то ни у одного игрока не будет стимула отклоняться. Если бы это было правдой, то нетрудно видеть, что ожидаемый доход от этого аукциона также $\max _{j\neq i}b_{j}$ если $i$ выигрывает аукцион.

Доказательство

Чтобы доказать это, предположим, что игрок 1 делает ставку $b(z)$ где $z<v$, эффективно блефуя, что его ценность равна $z$ скорее, чем $v$. Мы хотим найти значение $z$ так, что ожидаемый выигрыш игрока максимизируется.

Тогда вероятность выигрыша равна $Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)$. Ожидаемая стоимость этой ставки составляет $E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i)$. Тогда ожидаемый выигрыш игрока равен

$Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)(v-E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i))$

Позволять $X=\max _{i>1}v_{i}$, случайная величина. Тогда мы можем переписать вышесказанное как

$Pr(X<z)(v-E(X~|X\leq z))$.

Используя тот общий факт, что $E(X~|~X\leq z)\cdot Pr(X<z)=\int _{0}^{z}Pr(X<z)-Pr(X<y)dy$, мы можем переписать вышеизложенное как

$Pr(X<z)\cdot v-Pr(X<z)\cdot z+\int _{0}^{z}Pr(X<y)dy$.

Взяв производные по $z$, мы получаем

$Pr(X<z)'(v-z)=0\Rightarrow v=z$.

Таким образом, делайте ставки с вашей ценностью $v$ максимизирует ожидаемый выигрыш игрока. С $Pr(X<z)$ монотонно возрастает, мы проверяем, что это действительно точка максимума.

Английский аукцион

На открытом аукционе по возрастающей цене (он же английский аукцион ) доминирующая стратегия покупателя состоит в том, чтобы оставаться на аукционе до тех пор, пока запрашиваемая цена не сравняется с его стоимостью. Затем, если он последний оставшийся на арене, он побеждает и платит вторую по величине ставку.

Рассмотрим случай двух покупателей, каждый из которых имеет значение, которое является независимым результатом распределения с поддержкой [0,1], кумулятивной функцией распределения F(v) и функцией плотности вероятности f(v). Если покупатели ведут себя в соответствии со своими доминирующими стратегиями, то покупатель со стоимостью v выигрывает, если ценность x его оппонента ниже. Таким образом, вероятность его победы равна

$w=\Pr\{x<v\}\equiv F(v)$

и его ожидаемый платеж

$C(v)=\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx$

Таким образом, ожидаемый платеж, обусловленный выигрышем, равен

$e(v)={\frac {C(v)}{F(v)}}={\frac {\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}{F(v)}}$

Умножив обе части на F(v) и дифференцировав на v, получим следующее дифференциальное уравнение для e(v).

${e}'(v)F(v)+e(v)f(v)=vf(v)$.

Переставляя это уравнение,

${e}'(v)={\frac {f(v)}{F(v)}}(v-e(v))$

Пусть B(v) — равновесная функция предложения на закрытом аукционе первой цены. Мы устанавливаем эквивалентность доходов, показывая, что B(v)=e(v), то есть равновесный платеж победителя на одном аукционе равен равновесному ожидаемому платежу победителя на другом.

Предположим, что покупатель имеет ценность v и предлагает ставку b. Его оппонент делает ставку в соответствии со стратегией равновесных ставок. Поддержка распределения ставок оппонента равна [0,B(1)]. Таким образом, любая ставка, равная как минимум B(1), выигрывает с вероятностью 1. Следовательно, лучшая ставка b лежит в интервале [0,B(1)], и поэтому мы можем записать эту ставку как b = B(x), где x лежит в [0,1]. Если у противника значение y, он делает ставку B(y). Следовательно, вероятность выигрыша равна

$w=\Pr\{b<B(y)\}=\Pr\{B(x)<B(y)\}=\Pr\{x<y\}=F(v)$.

Ожидаемый выигрыш покупателя равен вероятности его выигрыша, умноженной на его чистую прибыль в случае выигрыша, то есть

$U=w(v-B(x))=F(x)(v-B(x))$.

Дифференцируя, необходимым условием максимума является

${U}'(x)=f(x)(v-B(x))-F(x){B}'(x)=F(x)\left({\frac {f(x)}{F(x)}}(v-B(x))-{B}'(x)\right)=0$.

То есть, если B(x) является лучшим ответом покупателя, он должен удовлетворять условию первого порядка. Наконец, отметим, что для того, чтобы B(v) была равновесной функцией предложения, лучшим ответом покупателя должна быть B(v). Таким образом, x=v.Подставив x в необходимое условие,

${\frac {f(v)}{F(v)}}(v-B(v))-{B}'(v)=0$.

Обратите внимание, что это дифференциальное уравнение идентично уравнению для e(v). Поскольку e(0)=B(0)=0, отсюда следует, что $B(v)=e(v)$.

Использование эквивалентности доходов для прогнозирования функций ставок

Мы можем использовать эквивалентность дохода, чтобы предсказать функцию ставок игрока в игре. Рассмотрим версию аукциона второй цены и аукциона первой цены для двух игроков, где стоимость каждого игрока равномерно рассчитывается из $[0,1]$.

Аукцион второй цены

Ожидаемый платеж первого игрока на втором ценовом аукционе можно рассчитать следующим образом:

$E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})$

Поскольку игроки делают правдивые ставки на аукционе второй цены, мы можем заменить все цены значениями игроков. Если игрок 1 выигрывает, он платит ту ставку, которую предложил игрок 2, или $p_{2}=v_{2}$. Игрок 1 сам делает ставку $p_{1}=v_{1}$. Поскольку выплата равна нулю, когда игрок 1 проигрывает, приведенное выше

$E(v_{2}~|~v_{2}<v_{1})P(v_{2}<v_{1})+0$

С $v_{1},v_{2}$ происходят из равномерного распределения, мы можем упростить это до

${\frac {v_{1}}{2}}\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}$

Аукцион первой цены

Мы можем использовать эквивалентность дохода для создания правильной симметричной функции торгов на аукционе первой цены. Предположим, что на аукционе первой цены каждый игрок имеет функцию предложения $b(v)$, где эта функция на данный момент неизвестна.

Тогда ожидаемый платеж игрока 1 в этой игре составит

$E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})$ (как указано выше)

Теперь игрок просто платит то, что предлагает игрок, и давайте предположим, что игроки с более высокими значениями по-прежнему выигрывают, так что вероятность выигрыша - это просто стоимость игрока, как на аукционе второй цены. Позже мы покажем, что это предположение было верным. Опять же, игрок ничего не платит, если проигрывает аукцион. Затем мы получаем

$b(v_{1})\cdot v_{1}+0$

По принципу эквивалентности дохода мы можем приравнять это выражение к доходу аукциона второй цены, который мы рассчитали выше:

$b(v_{1})\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}$

Отсюда мы можем вывести функцию торгов:

$b(v_{1})={\frac {v_{1}}{2}}$

Обратите внимание, что при использовании этой функции ставок игрок с более высоким значением все равно побеждает. Мы можем показать, что это правильная функция равновесного предложения, дополнительным способом, подумав о том, как игрок должен максимизировать свою ставку, учитывая, что все остальные игроки делают ставки, используя эту функцию предложения. См. страницу об аукционе с закрытыми предложениями по первой цене .

Аукционы с полной оплатой

Точно так же мы знаем, что ожидаемый платеж игрока 1 на аукционе второй цены равен ${\frac {v_{1}^{2}}{2}}$, и это должно быть равно ожидаемому платежу на аукционе с полной оплатой , т.е.

${\frac {v_{1}^{2}}{2}}=b(v_{1})$

Таким образом, функция торгов для каждого игрока на аукционе со всеми выплатами равна ${\frac {v^{2}}{2}}$

Подразумеваемое

Важным следствием теоремы является то, что любой аукцион одного предмета, который безоговорочно отдает предмет тому, кто предложит самую высокую цену, будет иметь одинаковый ожидаемый доход. Это означает, что если мы хотим увеличить доход аукциониста, необходимо изменить функцию результата. Один из способов сделать это — установить цену резервирования для товара . Это меняет функцию «Результат», поскольку теперь предмет не всегда достается тому, кто предложит самую высокую цену. Тщательно выбирая резервную цену, аукционист может получить значительно более высокий ожидаемый доход.

Ограничения

Теорема об эквивалентности доходов не работает в некоторых важных случаях:

• Когда игроки избегают риска, а не нейтральны к риску, как предполагалось выше. При этом известно, что аукционы первой цены приносят больший доход, чем аукционы второй цены.
• Когда оценки игроков взаимозависимы, например, если оценки зависят от некоторого состояния мира, которое лишь частично известно участникам торгов (это связано с проклятием победителя ). В этом сценарии английский аукцион приносит больший доход, чем аукцион второй цены, поскольку он позволяет участникам торгов получать информацию из ставок других игроков.

Ссылки

• Хартлайн, Джейсон, Приближение в экономическом проектировании (PDF) .