Цена анархии на аукционах

Цена анархии ( PoA ) — это концепция теории игр и проектирования механизмов , которая измеряет, насколько ухудшается социальное благосостояние системы из-за эгоистичного поведения ее агентов. Его широко изучали в различных контекстах, особенно на аукционах .

На аукционе присутствует один или несколько предметов и один или несколько агентов с разными оценками этих предметов. Товар необходимо разделить между агентами. Желательно, чтобы общественное благосостояние – сумма ценностей всех агентов – было как можно выше.

Одним из подходов к максимизации социального благосостояния является разработка правдивого механизма . В таком механизме у каждого агента есть стимул сообщать о своей истинной стоимости предметов. Затем аукционист может рассчитать и реализовать распределение, которое максимизирует сумму ценностей. Примером такого механизма является аукцион VCG .

Однако на практике не всегда возможно использовать правдивые механизмы. Например, механизм VCG может быть слишком сложным для понимания участниками, может требовать слишком много времени для расчетов аукциониста и может иметь другие недостатки. ^[1] На практике часто используются неправдивые механизмы, и интересно подсчитать, сколько общественного благосостояния теряется из-за этой неправдивости.

Часто предполагается, что на неправдивом аукционе участники придерживаются равновесной стратегии, например равновесия Нэша . Цена анархии аукциона определяется как соотношение между оптимальным общественным благосостоянием и общественным благосостоянием в наихудшем равновесии:

$PoA={\frac {\max _{s\in Allocations}Welf(s)}{\min _{s\in EquilibriumAllocations}Welf(s)}}$

Связанное с этим понятие — это цена стабильности ( PoS ), которая измеряет соотношение между оптимальным социальным благосостоянием и общественным благосостоянием в наилучшем равновесии:

$PoS={\frac {\max _{s\in Allocations}Welf(s)}{\max _{s\in EquilibriumAllocations}Welf(s)}}$

Очевидно $1\leq PoS\leq PoA\leq \infty$ .

Когда имеется полная информация (каждый агент знает оценки всех других агентов), общим типом равновесия является равновесие Нэша – чистое или смешанное. При наличии неполной информации наиболее распространенным типом равновесия является равновесие Байеса-Нэша . В последнем случае принято говорить о байесовской цене анархии , или БПД.

Единичные аукционы

На аукционе первой цены одного товара равновесие Нэша всегда эффективно, поэтому PoA и PoS равны 1.

На аукционе второй цены существует равновесие Нэша, при котором агенты сообщают правдиво; он эффективен, поэтому PoS равен 1. Однако PoA не ограничен. Например, ^[2] Предположим, есть два игрока: Алиса оценивает предмет как a , а Боб как b , причем a > b .

Существует «хорошее» равновесие Нэша, в котором Алиса предлагает a , а Боб предлагает b ; Алиса получает предмет и платит b . Социальное благосостояние является оптимальным .

Однако существует также «плохое» равновесие Нэша, в котором Алиса предлагает 0, а Боб предлагает, например, +1 ; Боб получает товар и ничего не платит. Это равновесие, поскольку Алиса не хочет перебивать Боба. Социальное благосостояние b . Следовательно, PoA — это a / b , который неограничен.

Этот результат кажется слишком пессимистичным:

Во-первых, на аукционе второй цены для каждого агента является слабо доминирующей стратегией сообщить свою истинную оценку. Если предположить, что агенты следуют своим доминирующим стратегиям, то PoA равен 1.
является сообщение о любой стоимости, превышающей его истинную оценку. Более того, доминирующей стратегией каждого агента

Поэтому принято анализировать PoA, исходя из допущения об отсутствии завышения цен : ни один агент не предлагает цену выше своей истинной оценки. Согласно этому предположению, PoA аукциона, состоящего из одного предмета, равен 1.

Параллельные аукционы

На параллельном (одновременном) аукционе $m$ товары продаются одновременно одной и той же группе $n$ участники. В отличие от комбинаторного аукциона , на котором агенты могут делать ставки на пакеты товаров, здесь агенты могут делать ставки только на отдельные предметы независимо от других. Т.е. стратегия агента — это вектор ставок, по одной ставке на товар. PoA зависит от типа оценок покупателей и от типа аукциона, используемого для каждого отдельного предмета.

Случай 1: субмодульные покупатели, аукционы второй цены , полная информация : ^[2]

Существует чистое равновесие Нэша с оптимальным социальным благосостоянием. Следовательно, PoS равен 1.
За полиномиальное время можно рассчитать чистое равновесие Нэша с социальным благосостоянием, по крайней мере, половиной оптимального. Следовательно, цена «стабильности по полиномиальному времени» не превышает 2.
PoA не ограничен, как уже показано в приведенном выше примере с одним элементом. Однако при строгом предположении отсутствия завышения ставок (сумма ставок любого покупателя на любой пакет не превышает стоимости этого пакета для покупателя) PoA не превышает 2. Последний результат также справедлив, когда покупатели оценки дробно субаддитивны .

Случай 2: дробно субаддитивные покупатели, аукцион второй цены, неполная информация . ^[2] При условии сильного отсутствия завышения цен любое (смешанное) равновесие Байеса-Нэша в ожидании достигает по крайней мере 1/2 оптимального благосостояния; следовательно, BPoA не превышает 2. Этот результат не зависит от общего априора агентов.

Случай 3: субаддитивные покупатели, аукционы 2-й цены . ^[3] При строгом предположении об отсутствии завышенных ставок :

При наличии полной информации благосостояние каждого чистого равновесия Нэша составляет не менее 1/2 оптимального, поэтому PoA не превышает 2.
При неполной информации существуют равновесия Байеса-Нэша с благосостоянием менее 1/2 оптимального, поэтому BPoA больше 2.
BPoA - это самое большее $2\log {m}$ , где $m$ это количество предметов. Эта гарантия также действительна для грубого коррелированного равновесия и, следовательно, для особых случаев смешанного равновесия по Нэшу и коррелированного равновесия .
Обе приведенные выше верхние границы PoA плавно ухудшаются при ослаблении предположений о субаддитивности и отсутствии переоценки ставок. Например: если мы предположим, что каждый игрок превышает ставку не более чем в какой-то постоянный коэффициент, то PoA вырастет не более чем в постоянный коэффициент.

Случай 4: Генеральные (монотонные) покупатели, аукционы первой цены , полная информация : ^[4]

Набор чистых равновесий по Нэшу в игре представляет собой в точности вальрасовское равновесие (ценовое равновесие) рынка. ^[5]
Поскольку такие равновесия социально оптимальны (по первой теореме благосостояния ), PoA чистых равновесий Нэша равно 1. К сожалению, таких равновесий может не существовать.
Смешанное равновесие Нэша существует всегда (при выборе правильного правила разрешения ничьей). Однако это не обязательно социально оптимально. PoA может быть таким же высоким, как $\Omega ({\sqrt {m}})$ $\Omega ({\sqrt {m}})$ , и даже PoS может достигать $\Omega ({\sqrt {m}}/\log {m})$ $\Omega ({\sqrt {m}}/\log {m})$ .
- Этот результат также распространяется на аукционы по второй цене, даже при условии слабой цены без завышения цен . ^[6]
PoA не более $O(m)$ .
Когда все оценки субаддитивны, PoA не превышает $O(\log {m})$ .
Когда все оценки $\beta$ - дробно субаддитивный , PoA не более $2\beta$ (в частности, для покупателей XOS PoA не превышает 2).
Последние три границы справедливы и для грубокоррелированных равновесий; они НЕ требуют допущения об отсутствии завышенных ставок.

Случай 5: Обычные покупатели, аукционы второй цены, полная информация . ^[7] При общих оценках (которые могут иметь взаимодополняемость) предположение о сильном отсутствии завышенных цен является слишком сильным, поскольку оно не позволяет покупателям предлагать высокие цены за пакеты взаимодополняющих товаров. Например, если оценка покупателя составляет 100 долларов за пару обуви, но 1 доллар за каждую отдельную обувь, тогда сильное предположение об отсутствии завышенной цены не позволяет ему предлагать цену более 1 доллара за каждую обувь, так что у него мало шансов выиграть пару. . Поэтому оно заменяется предположением о слабой цене без завышения цены , что означает, что условие отсутствия завышения цены выполняется только для пакета, который агент в конечном итоге выигрывает (т. е. сумма ставок покупателя на выделенный ему пакет не превышает его стоимость для этого конкретного пакета). При этом предположении о слабом отсутствии завышенных ставок:

Набор чистых равновесий Нэша в игре представляет собой в точности условные ценовые равновесия рынка. ^[8]
Поскольку такие равновесия наполовину социально оптимальны (достигают по крайней мере половины максимального социального благосостояния), PoA чистых равновесий Нэша не превышает 2. К сожалению, таких равновесий может не существовать.

Случай 6: Обычные покупатели, аукционы первой цены, неполная информация . ^[4] Для любого общего априора:

BPoA - это самое большее $O(mn)$ .
Когда все оценки $\beta$ -дробно субаддитивен, BPoA не более $4\beta$ (в частности, для покупателей XOS BPoA не превышает 2, а для субаддитивных покупателей – $O(\log m)$ ).

Случай 7: Субаддитивные покупатели, неполная информация : ^[6]

Когда предметы продаются на аукционах первой цены, BPoA не превышает 2.
Когда товары продаются на аукционах второй цены, BPoA не превышает 4. Это верно как при условии строгого отсутствия завышения цен (сумма ставок любого покупателя на любой пакет не превышает стоимости этого пакета для покупателя), а также в предположении «слабая ставка без завышения цены» (ожидаемая сумма выигрышных ставок любого покупателя не превышает ожидаемой суммы выигрыша этого покупателя).

Последовательные аукционы

На последовательном аукционе $m$ предметы продаются на последовательных аукционах, один за другим. Распространенным типом равновесия является идеальное равновесие подыгры в чистых стратегиях (SPEPS). Когда покупатели обладают полной информацией (т. е. заранее знают последовательность аукционов) и в каждом раунде продается один предмет, SPEPS всегда существует. ^[9]^{: 872–874}

PoA настоящего SPEPS зависит от функций полезности участников торгов и от типа аукциона, используемого для каждого отдельного товара.

Первые пять результатов ниже относятся к агентам с полной информацией (все агенты знают оценки всех других агентов):

Случай 1: Идентичные предметы, два покупателя, аукционы второй цены : ^[10]^[11]

Когда хотя бы один покупатель имеет вогнутую функцию оценки ( убывающую доходность ), PoA не превышает $1/(1-e)\approx 1.58$ .
Численные результаты показывают, что при наличии большого количества участников торгов с вогнутыми функциями оценки потери эффективности уменьшаются по мере увеличения числа пользователей.

Случай 2: дополнительные покупатели : ^[9] ^: 885

При аукционах второй цены PoA не ограничен – благосостояние в SPEPS может быть сколь угодно малым!

Случай 3: единичного спроса покупатели : ^[9]

На аукционах первой цены PoA составляет не более 2 – благосостояние в SPEPS всегда не менее половины максимального (если разрешены смешанные стратегии, PoA не превышает 4).
При проведении аукционов второй цены PoA снова становится неограниченным.

Эти результаты удивительны и подчеркивают важность дизайнерского решения об использовании аукциона первой цены (а не аукциона второй цены) в каждом раунде.

Случай 4: субмодульные покупатели ^[9] (обратите внимание, что аддитивный и единичный спрос являются частными случаями субмодуля):

При аукционах как по 1-й, так и по 2-й цене PoA не ограничен, даже если участников только четыре. Интуиция подсказывает, что участник торгов с высокой стоимостью может предпочесть позволить выиграть участнику с низкой стоимостью, чтобы уменьшить конкуренцию, с которой он может столкнуться в будущих раундах.

Случай 5: добавка+UD . ^[12] Предположим, что у некоторых участников торгов есть аддитивные оценки, а у других — оценки спроса на единицу продукции. В последовательности аукционов первой цены PoA может быть как минимум $\min(n,m)$ , где m — количество позиций, а n — количество участников торгов. Более того, неэффективное равновесие сохраняется даже при многократном устранении слабо доминируемых стратегий. Это подразумевает линейную неэффективность для многих природных условий, в том числе:

покупатели с оценкой валового заменителя ,
обоснованные оценки,
бюджетно-аддитивные оценки,
аддитивные оценки с жесткими бюджетными ограничениями на выплаты.

Случай 6: покупатели с единичным спросом, неполная информация, аукционы первой цены : ^[13] BPoA не более 3.

Аукционы, использующие жадные алгоритмы

Видеть ^[14]

Обобщенные аукционы второй цены

Видеть ^[15]^[16]^[17]

Связанные темы

Исследования PoA на аукционах позволили получить представление о других условиях, не связанных с аукционами, таких как игры по созданию сетей. ^[18]

Сводная таблица

[Неполная таблица – содержит только параллельные аукционы – необходимо заполнить]

Мультиаукцион	Единый аукцион	Информация	оценки	Предположения	PoA	Поз.	Комментарии
Параллельно	2-я цена	полный	субмодульный	сильный-без завышенных цен	2	чистый: 1 [всегда существует]	^[2]
Параллельно	2-я цена	Байесовский	ХАРАКТЕРИСТИКА	сильный-без завышенных цен	2		^[2]
Параллельно	2-я цена	полный	субаддитивный	сильный-без завышенных цен	2		^[3]
Параллельно	2-я цена	Байесовский	субаддитивный	сильный-без завышенных цен	> 2, < 2 лог(м)		^[3]
Параллельно	1-я цена	полный	монотонный	Никто	чистый: 1 [когда существует]		Pure NE = WE. ^[4]
Параллельно	1-я цена	полный	монотонный	Никто	смешанный: $\Omega ({\sqrt {m}})$	$\Omega ({\sqrt {m}}/\log {m})$	^[4]
Параллельно	1-я цена	Байесовский	монотонный	Никто	$O(mn)$	$\Omega ({\sqrt {m}}/\log {m})$	^[4]
Параллельно	2-я цена	полный	монотонный	слабый-без переоценки	чистый: 2 [когда существует]		Чистый НЭ = Условное МЫ ^[7]
Параллельно	1-я цена	Байесовский	субаддитивный	Никто	2	$\Omega ({\sqrt {m}}/\log {m})$	^[6]
Параллельно	2-я цена	Байесовский	субаддитивный	слабый/сильный – без завышения ставок	4		^[6]

Ссылки

^ Осубель, Лоуренс М.; Милгром, Пол (2005). «Милый, но одинокий аукцион Викри». Комбинаторные аукционы . п. 17. CiteSeerX 10.1.1.120.7158 . дои : 10.7551/mitpress/9780262033428.003.0002 . ISBN 9780262033428 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Христодулу, Джордж; Ковач, Аннамария; Шапира, Михаил (2016). «Байесовские комбинаторные аукционы». Журнал АКМ . 63 (2): 1. CiteSeerX 10.1.1.721.5346 . дои : 10.1145/2835172 . S2CID 17082117 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бхавалкар, Кшипра; Рафгарден, Тим (2011). «Гарантии благосостояния на комбинаторных аукционах с предметными торгами». Материалы двадцать второго ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам . п. 700. дои : 10.1137/1.9781611973082.55 . ISBN 978-0-89871-993-2 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и хасидим, Авинатан; Каплан, Хаим; Мансур, Ишай; Нисан, Ноам (2011). «Неценовые равновесия на рынках дискретных товаров». Материалы 12-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '11 . п. 295. arXiv : 1103.3950 . дои : 10.1145/1993574.1993619 . ISBN 9781450302616 .
^ Аналогичный результат для случая полной информации уже был представлен Бикчандани, Сушил (1999). «Аукционы разнородных объектов». Игры и экономическое поведение . 26 (2): 193–220. дои : 10.1006/game.1998.0659 . : «На одновременных аукционах первой цены набор равновесных распределений по Вальрасу содержит набор равновесных распределений Нэша по чистой стратегии, который, в свою очередь, содержит набор равновесных распределений по строгой стратегии Вальраса. Следовательно, равновесия Нэша по чистой стратегии (если они существуют) эффективны. Равновесие по Нэшу в смешанной стратегии может быть неэффективным. На одновременных аукционах второй цены любое эффективное распределение может быть реализовано как результат равновесия по Нэшу в чистой стратегии, если существует равновесие по Вальрасу».
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Фельдман, Михал ; Фу, Ху; Гравин, Ник; Люсье, Брендан (2013). «Одновременные аукционы (почти) эффективны». Материалы 45-го ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений - STOC '13 . п. 201. arXiv : 1209.4703 . дои : 10.1145/2488608.2488634 . ISBN 9781450320290 .
^ Jump up to: ^а ^б Фу, Ху; Кляйнберг, Роберт; Лави, Рон (2012). «Результаты условного равновесия посредством процессов возрастания цен с применением к комбинаторным аукционам с торгами по предметам». Материалы 13-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '12 . п. 586. CiteSeerX 10.1.1.230.6195 . дои : 10.1145/2229012.2229055 . ISBN 9781450314152 .
^ Условное ценовое равновесие — это ослабление вальрасовского ценового равновесия: в последнем каждый агент должен получить оптимальный набор с учетом вектора цен; в первом случае каждый агент должен получить пакет, который немного лучше, чем пустой пакет, и слабо лучше, чем любой содержащий его пакет (но может быть хуже, чем его подмножества). Последнее гарантированно существует главным образом для оценок валового замещения , тогда как первое гарантированно существует для гораздо более широкого класса оценок.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Леме, Ренато Паес; Сыргканис, Василис; Тардос, Ева (2012). «Последовательные аукционы и внешние эффекты». Материалы двадцать третьего ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам . п. 869. arXiv : 1108.2452 . дои : 10.1137/1.9781611973099.70 . ISBN 978-1-61197-210-8 .
^ Бэ, Джунджик; Бейгман, Эяль; Берри, Рэндалл ; Хониг, Майкл; Вохра, Ракеш (2008). «Последовательные аукционы пропускной способности и мощности для распределенного совместного использования спектра». Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 26 (7): 1193. CiteSeerX 10.1.1.616.8533 . дои : 10.1109/JSAC.2008.080916 . S2CID 28436853 .
^ Бэ, Джунджик; Бейгман, Эяль; Берри, Рэндалл; Хониг, Майкл Л.; Вохра, Ракеш (2009). «Об эффективности последовательных аукционов по совместному использованию спектра». Международная конференция 2009 г. по теории игр для сетей . п. 199. дои : 10.1109/gamenets.2009.5137402 . ISBN 978-1-4244-4176-1 .
^ Фельдман, Михал; Люсье, Брендан; Сыргканис, Василис (2013). «Пределы эффективности последовательных аукционов». Экономика Интернета и Интернета . Конспекты лекций по информатике. Том. 8289. с. 160. arXiv : 1309.2529 . дои : 10.1007/978-3-642-45046-4_14 . ISBN 978-3-642-45045-7 .
^ Сыргканис, Василис; Тардос, Ева (2012). «Байесовские последовательные аукционы». Материалы 13-й конференции ACM по электронной коммерции – EC '12 . п. 929. arXiv : 1206.4771 . дои : 10.1145/2229012.2229082 . ISBN 9781450314152 .
^ Б. Люсье; А. Бородин (2010). Цена анархии для жадных аукционов . СОДА 2010.
^ Леме, Ренато Паес; Тардос, Ева (2010). «Чистая цена анархии и цена Байеса-Нэша для общего аукциона второй цены». 2010 51-й ежегодный симпозиум IEEE по основам информатики . п. 735. CiteSeerX 10.1.1.168.6636 . дои : 10.1109/FOCS.2010.75 . ISBN 978-1-4244-8525-3 .
^ Люсье, Брендан; Паес Леме, Ренато (2011). «Аукционы GSP коррелирующих типов». Материалы 12-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '11 . п. 71. CiteSeerX 10.1.1.232.5139 . дои : 10.1145/1993574.1993587 . ISBN 9781450302616 .
^ Караяннис, Иоаннис; Какламанис, Христос; Канеллопулос, Панайотис; Киропулу, Мария (2011). «Об эффективности равновесий на обобщенных аукционах второй цены». Материалы 12-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '11 . п. 81. дои : 10.1145/1993574.1993588 . ISBN 9781450302616 .
^ Алон, Нога; Эмек, Юваль; Фельдман, Михал; Тенненхольц, Моше (2012). «Байесовское невежество» . Теоретическая информатика . 452 : 1–11. дои : 10.1016/j.tcs.2012.05.017 .

[am06-1] Осубель, Лоуренс М.; Милгром, Пол (2005). «Милый, но одинокий аукцион Викри». Комбинаторные аукционы . п. 17. CiteSeerX 10.1.1.120.7158 . дои : 10.7551/mitpress/9780262033428.003.0002 . ISBN 9780262033428 .

[cks16-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Христодулу, Джордж; Ковач, Аннамария; Шапира, Михаил (2016). «Байесовские комбинаторные аукционы». Журнал АКМ . 63 (2): 1. CiteSeerX 10.1.1.721.5346 . дои : 10.1145/2835172 . S2CID 17082117 .

[br11-3] Jump up to: ^а ^б ^с Бхавалкар, Кшипра; Рафгарден, Тим (2011). «Гарантии благосостояния на комбинаторных аукционах с предметными торгами». Материалы двадцать второго ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам . п. 700. дои : 10.1137/1.9781611973082.55 . ISBN 978-0-89871-993-2 .

[hkmn11-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и хасидим, Авинатан; Каплан, Хаим; Мансур, Ишай; Нисан, Ноам (2011). «Неценовые равновесия на рынках дискретных товаров». Материалы 12-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '11 . п. 295. arXiv : 1103.3950 . дои : 10.1145/1993574.1993619 . ISBN 9781450302616 .

[b99-5] Аналогичный результат для случая полной информации уже был представлен Бикчандани, Сушил (1999). «Аукционы разнородных объектов». Игры и экономическое поведение . 26 (2): 193–220. дои : 10.1006/game.1998.0659 . : «На одновременных аукционах первой цены набор равновесных распределений по Вальрасу содержит набор равновесных распределений Нэша по чистой стратегии, который, в свою очередь, содержит набор равновесных распределений по строгой стратегии Вальраса. Следовательно, равновесия Нэша по чистой стратегии (если они существуют) эффективны. Равновесие по Нэшу в смешанной стратегии может быть неэффективным. На одновременных аукционах второй цены любое эффективное распределение может быть реализовано как результат равновесия по Нэшу в чистой стратегии, если существует равновесие по Вальрасу».

[ffgl12-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Фельдман, Михал ; Фу, Ху; Гравин, Ник; Люсье, Брендан (2013). «Одновременные аукционы (почти) эффективны». Материалы 45-го ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений - STOC '13 . п. 201. arXiv : 1209.4703 . дои : 10.1145/2488608.2488634 . ISBN 9781450320290 .

[fkl12-7] Jump up to: ^а ^б Фу, Ху; Кляйнберг, Роберт; Лави, Рон (2012). «Результаты условного равновесия посредством процессов возрастания цен с применением к комбинаторным аукционам с торгами по предметам». Материалы 13-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '12 . п. 586. CiteSeerX 10.1.1.230.6195 . дои : 10.1145/2229012.2229055 . ISBN 9781450314152 .

[8] Условное ценовое равновесие — это ослабление вальрасовского ценового равновесия: в последнем каждый агент должен получить оптимальный набор с учетом вектора цен; в первом случае каждый агент должен получить пакет, который немного лучше, чем пустой пакет, и слабо лучше, чем любой содержащий его пакет (но может быть хуже, чем его подмножества). Последнее гарантированно существует главным образом для оценок валового замещения , тогда как первое гарантированно существует для гораздо более широкого класса оценок.

[lst12-9] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Леме, Ренато Паес; Сыргканис, Василис; Тардос, Ева (2012). «Последовательные аукционы и внешние эффекты». Материалы двадцать третьего ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам . п. 869. arXiv : 1108.2452 . дои : 10.1137/1.9781611973099.70 . ISBN 978-1-61197-210-8 .

[bbbhv08-10] Бэ, Джунджик; Бейгман, Эяль; Берри, Рэндалл ; Хониг, Майкл; Вохра, Ракеш (2008). «Последовательные аукционы пропускной способности и мощности для распределенного совместного использования спектра». Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 26 (7): 1193. CiteSeerX 10.1.1.616.8533 . дои : 10.1109/JSAC.2008.080916 . S2CID 28436853 .

[bbbhv09-11] Бэ, Джунджик; Бейгман, Эяль; Берри, Рэндалл; Хониг, Майкл Л.; Вохра, Ракеш (2009). «Об эффективности последовательных аукционов по совместному использованию спектра». Международная конференция 2009 г. по теории игр для сетей . п. 199. дои : 10.1109/gamenets.2009.5137402 . ISBN 978-1-4244-4176-1 .

[fls13-12] Фельдман, Михал; Люсье, Брендан; Сыргканис, Василис (2013). «Пределы эффективности последовательных аукционов». Экономика Интернета и Интернета . Конспекты лекций по информатике. Том. 8289. с. 160. arXiv : 1309.2529 . дои : 10.1007/978-3-642-45046-4_14 . ISBN 978-3-642-45045-7 .

[st12-13] Сыргканис, Василис; Тардос, Ева (2012). «Байесовские последовательные аукционы». Материалы 13-й конференции ACM по электронной коммерции – EC '12 . п. 929. arXiv : 1206.4771 . дои : 10.1145/2229012.2229082 . ISBN 9781450314152 .

[lb10-14] Б. Люсье; А. Бородин (2010). Цена анархии для жадных аукционов . СОДА 2010.

[pt10-15] Леме, Ренато Паес; Тардос, Ева (2010). «Чистая цена анархии и цена Байеса-Нэша для общего аукциона второй цены». 2010 51-й ежегодный симпозиум IEEE по основам информатики . п. 735. CiteSeerX 10.1.1.168.6636 . дои : 10.1109/FOCS.2010.75 . ISBN 978-1-4244-8525-3 .

[lp11-16] Люсье, Брендан; Паес Леме, Ренато (2011). «Аукционы GSP коррелирующих типов». Материалы 12-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '11 . п. 71. CiteSeerX 10.1.1.232.5139 . дои : 10.1145/1993574.1993587 . ISBN 9781450302616 .

[ckkk11-17] Караяннис, Иоаннис; Какламанис, Христос; Канеллопулос, Панайотис; Киропулу, Мария (2011). «Об эффективности равновесий на обобщенных аукционах второй цены». Материалы 12-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '11 . п. 81. дои : 10.1145/1993574.1993588 . ISBN 9781450302616 .

[aeft12-18] Алон, Нога; Эмек, Юваль; Фельдман, Михал; Тенненхольц, Моше (2012). «Байесовское невежество» . Теоретическая информатика . 452 : 1–11. дои : 10.1016/j.tcs.2012.05.017 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]