Аукцион первой цены с закрытыми предложениями

Аукцион с закрытыми предложениями по первой цене (FPSBA) — распространенный тип аукциона . Он также известен как слепой аукцион . ^[1] На аукционе этого типа все участники одновременно подают запечатанные заявки, так что ни один участник торгов не знает ставки любого другого участника. Участник, предложивший самую высокую цену, платит заявленную цену. ^[2]^{: п2}^[3]

Стратегический анализ

В FPSBA каждый участник торгов характеризуется своей денежной оценкой выставленного на продажу предмета.

Предположим, что Алиса участвует в торгах и ее оценка равна $a$ . Тогда, если Алиса рациональна:

Она никогда не предложит больше, чем $a$ , поскольку ставка превышает $a$ может только привести к тому, что она потеряет чистую стоимость.
Если она предложит точно $a$ , то она не потеряет, но и не приобретет никакой положительной ценности.
Если она предложит меньше, чем $a$ , то она может иметь некоторый положительный выигрыш, но точный выигрыш зависит от ставок остальных.

Алиса хотела бы предложить наименьшую сумму, которая может помочь ей выиграть лот, при условии, что эта сумма меньше $a$ . Например, если есть другой участник торгов Боб, и он делает ставку $y$ и $y<a$ , то Алиса хотела бы сделать ставку $y+\varepsilon$ (где $\varepsilon$ — это наименьшая сумма, которую можно добавить, например, один цент).

К сожалению, Алиса не знает, какую цену собираются предложить другие участники торгов. Более того, она даже не знает оценок других участников торгов. Следовательно, стратегически мы имеем байесовскую игру — игру, в которой агенты не знают выигрыши других агентов.

Интересная задача в такой игре — найти байесовское равновесие Нэша . Однако это непросто, даже если претендентов всего два. Ситуация проще, когда оценки участников торгов являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , так что все оценки взяты из известного предварительного распределения. ^[4]^{: 234–236}

Пример

Предположим, есть два участника торгов, Алиса и Боб, чьи оценки $a$ и $b$ взяты из непрерывного равномерного распределения на интервале [0,1]. Тогда это равновесие Байеса-Нэша, когда каждый участник предлагает ровно половину своей стоимости: Алиса делает ставку $a/2$ и Боб делает ставку $b/2$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство опирается на точку зрения Алисы. Мы предполагаем, что она знает, что Боб делает ставку $f(b)=b/2$ , но она не знает $b$ . Мы находим лучший ответ Алисы на стратегию Боба. Предположим, Алиса делает ставку $x$ . Есть два случая:

$x\geq f(b)$ . Тогда Алиса выигрывает и получает чистый выигрыш в размере $a-x$ . Это происходит с вероятностью $f^{-1}(x)=2x$ .
$x<f(b)$ . Тогда Алиса проигрывает и ее чистый выигрыш равен 0. Это происходит с вероятностью $1-f^{-1}(x)$ .

В целом ожидаемый выигрыш Алисы составит: $G(x)=f^{-1}(x)\cdot (a-x)$ . Максимальный выигрыш достигается, когда $G'(x)=0$ . Производная равна (см. Обратные функции и дифференцирование ):

G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}

и оно равно нулю, когда ставка Алисы $x$ удовлетворяет:

f^{-1}(x)=(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}

Теперь, поскольку мы ищем симметричное равновесие, нам также нужна ставка Алисы. $x$ равняться $f(a)$ . Итак, у нас есть:

f^{-1}(f(a))=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}

a=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}

af'(a)=(a-f(a))

Решение этого дифференциального уравнения: $f(a)=a/2$ .

Обобщение

Обозначим через:

$v_{i}$ - оценка участника торгов $i$ ;
$y_{i}$ - максимальная оценка всех участников торгов, кроме $i$ , то есть, $y_{i}=\max _{j\neq i}{v_{j}}$ .

Тогда FPSBA имеет уникальный симметричный BNE, в котором ставка игрока $i$ дается: ^[5]^: 33–40

E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]

Вариант, совместимый со стимулами

FPSBA не совместим со стимулами даже в слабом смысле совместимости стимулов Байеса-Нэша (BNIC), поскольку не существует равновесия Байеса-Нэша, при котором участники торгов сообщают о своей истинной стоимости.

Однако легко создать вариант FPSBA, то есть BNIC, если априорные данные оценок общеизвестны. Например, для случая Алисы и Боба, описанного выше, правила варианта BNIC таковы:

Побеждает тот, кто предложит самую высокую цену;
Участник, предложивший самую высокую цену, платит половину своей ставки.

По сути, этот вариант моделирует стратегии игроков, основанные на равновесии Байеса-Нэша, поэтому в равновесии Байеса-Нэша оба участника торгов предлагают свою истинную стоимость.

Этот пример является частным случаем гораздо более общего принципа: принципа откровения .

Сравнение с аукционом второй цены

В следующей таблице FPSBA сравнивается с аукционом второй цены с закрытыми предложениями (SPSBA):

Аукцион:	Первая цена	Вторая цена
Победитель:	Агент с самой высокой ставкой	Агент с самой высокой ставкой
Победитель платит:	Ставка победителя	Вторая по величине ставка
Проигравший платит:	0	0
Доминирующая стратегия :	Нет доминирующей стратегии	Правдивые ставки – доминирующая стратегия ^[6]
Байесовское равновесие Нэша ^[7]	Участник торгов $i$ ставки ${\frac {n-1}{n}}v_{i}$	Участник торгов $i$ честно делает ставки $v_{i}$
Доход аукциониста ^[7]	${\frac {n-1}{n+1}}$	${\frac {n-1}{n+1}}$

Доход аукциониста рассчитывается в примере, в котором оценки агентов рассчитываются независимо и равномерно случайным образом из [0,1]. Например, когда есть $n=2$ агенты:

На аукционе первой цены аукционист получает максимальную из двух равновесных ставок, то есть $\max(a/2,b/2)$ .
На аукционе второй цены аукционист получает минимальную из двух правдивых ставок, то есть $\min(a,b)$ .

доход аукциониста В обоих случаях ожидаемый составляет 1/3.

Тот факт, что доходы одинаковы, не является совпадением — это частный случай теоремы об эквивалентности доходов . Это справедливо только тогда, когда оценки агентов статистически независимы ; когда оценки зависимы, мы имеем аукцион общей стоимости , и в этом случае выручка на аукционе второй цены обычно выше, чем на аукционе первой цены.

Предмет, выставленный на продажу, не может быть продан, если окончательная ставка недостаточно высока, чтобы удовлетворить продавца, то есть продавец оставляет за собой право принять или отклонить самую высокую ставку. Если продавец объявляет участникам резервную цену, это публичный аукцион по резервной цене. ^[8] Напротив, если продавец не объявляет резервную цену до продажи, а только после продажи, это секретный аукцион резервной цены. ^[9]

Сравнение с другими аукционами

FPSBA отличается от английского аукциона тем, что каждый участник торгов может подать только одну заявку. Более того, поскольку участники торгов не могут видеть ставки других участников, они не могут соответствующим образом корректировать свои собственные ставки. ^[3]

Утверждается, что FPSBA стратегически эквивалентен голландскому аукциону . ^[2]^:стр13

То, что фактически называется FPSBA, обычно называют тендерами на закупки компаний и организаций, особенно по государственным контрактам и аукционам по аренде горнодобывающих предприятий. ^[3] Считается, что FPSBA приводит к низким затратам на закупки за счет конкуренции и низкому уровню коррупции за счет повышения прозрачности, даже несмотря на то, что они могут повлечь за собой более высокие дополнительные затраты на завершенный проект и дополнительное время для его завершения. ^[10]

Обобщенный аукцион первой цены — это неправдивый аукционный механизм для спонсируемого поиска (он же аукцион позиции).

Обобщением аукционов как по 1-й, так и по 2-й цене является аукцион, на котором цена представляет собой некоторую выпуклую комбинацию 1-й и 2-й цен. ^[11]

Ссылки

^ Шор, Михаил, «слепой аукцион» Словарь терминов теории игр.
^ Jump up to: ^а ^б Кришна, Виджай (2002), Теория аукционов , Сан-Диего, США: Academic Press, ISBN 978-0-12-426297-3
^ Jump up to: ^а ^б ^с Макафи, Динеш Сатам; Макмиллан, Динеш (1987), «Аукционы и торги» (PDF) , Журнал экономической литературы , том. 25, нет. 2, Американская экономическая ассоциация (опубликовано в июне 1987 г.), стр. 699–738, JSTOR 2726107 , заархивировано из оригинала (PDF) 28 ноября 2018 г. , получено 25 июня 2008 г.
^ Вазирани, Виджай В .; Нисан, Ноам ; Рафгарден, Тим ; Тардос, Ева (2007). Алгоритмическая теория игр (PDF) . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-87282-0 .
^ Дарон Аджемоглу; Асу Оздаглар (2009). «Лекции по сетям 19–21: Неполная информация: байесовские равновесия Нэша, аукционы и введение в социальное обучение» . Массачусетский технологический институт. Архивировано из оригинала 22 октября 2016 года . Проверено 8 октября 2016 г.
^ Следовательно, аукцион второй цены — это правдивый механизм .
^ Jump up to: ^а ^б Рассчитано на $n$ участники торгов, чьи оценки определяются независимо и равномерно случайным образом из [0,1]
^ Райли, Дж. Г.; Самуэльсон, ВФ (1981). «Оптимальные аукционы» (PDF) . Американский экономический обзор . 71 : 381–392.
^ Эльякиме, Б.; Лаффонт, Джей-Джей; Лойзель, П.; Вуонг, К. (1994). «Аукционы первой цены с закрытыми ценами и секретными резервными ценами». Анналы экономики и статистики . 34 (34): 115–141. дои : 10.2307/20075949 . JSTOR 20075949 .
^ Декаролис, Франческо (2014). «Цена присуждения, исполнение контракта и проверка заявок: данные закупочных аукционов» (PDF) . Американский экономический журнал: Прикладная экономика . 6 (1): 108–132. дои : 10.1257/app.6.1.108 .
^ Гют, В.; Ван Дамм, Э. (1 сентября 1986 г.). «Сравнение правил ценообразования на аукционах и играх честного дележа». Социальный выбор и благосостояние . 3 (3): 177–198. дои : 10.1007/bf00433534 . ISSN 0176-1714 . S2CID 153813349 .

Дальнейшее чтение

Хаммами, Фарук; Рекик, Моня; Коэльо, Леандро К. (2019). «Точные и эвристические подходы к решению задачи построения заявок на аукционах по закупке транспортных средств с неоднородным парком». Транспортные исследования, часть E: Обзор логистики и транспорта . 127 : 150–177. дои : 10.1016/j.tre.2019.05.009 . S2CID 182223089 . Комбинаторные аукционы по закупке транспортных услуг по правилам закрытых торгов по первой цене.

Внешние ссылки

Равновесие Нэша на аукционе первой цены — на math.stackexchange.com.

[1] Шор, Михаил, «слепой аукцион» Словарь терминов теории игр.

[Krishna2002-2] Jump up to: ^а ^б Кришна, Виджай (2002), Теория аукционов , Сан-Диего, США: Academic Press, ISBN 978-0-12-426297-3

[McAfee-3] Jump up to: ^а ^б ^с Макафи, Динеш Сатам; Макмиллан, Динеш (1987), «Аукционы и торги» (PDF) , Журнал экономической литературы , том. 25, нет. 2, Американская экономическая ассоциация (опубликовано в июне 1987 г.), стр. 699–738, JSTOR 2726107 , заархивировано из оригинала (PDF) 28 ноября 2018 г. , получено 25 июня 2008 г.

[agt07-4] Вазирани, Виджай В .; Нисан, Ноам ; Рафгарден, Тим ; Тардос, Ева (2007). Алгоритмическая теория игр (PDF) . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-87282-0 .

[5] Дарон Аджемоглу; Асу Оздаглар (2009). «Лекции по сетям 19–21: Неполная информация: байесовские равновесия Нэша, аукционы и введение в социальное обучение» . Массачусетский технологический институт. Архивировано из оригинала 22 октября 2016 года . Проверено 8 октября 2016 г.

[6] Следовательно, аукцион второй цены — это правдивый механизм .

[uniform-7] Jump up to: ^а ^б Рассчитано на $n$ участники торгов, чьи оценки определяются независимо и равномерно случайным образом из [0,1]

[8] Райли, Дж. Г.; Самуэльсон, ВФ (1981). «Оптимальные аукционы» (PDF) . Американский экономический обзор . 71 : 381–392.

[9] Эльякиме, Б.; Лаффонт, Джей-Джей; Лойзель, П.; Вуонг, К. (1994). «Аукционы первой цены с закрытыми ценами и секретными резервными ценами». Анналы экономики и статистики . 34 (34): 115–141. дои : 10.2307/20075949 . JSTOR 20075949 .

[10] Декаролис, Франческо (2014). «Цена присуждения, исполнение контракта и проверка заявок: данные закупочных аукционов» (PDF) . Американский экономический журнал: Прикладная экономика . 6 (1): 108–132. дои : 10.1257/app.6.1.108 .

[11] Гют, В.; Ван Дамм, Э. (1 сентября 1986 г.). «Сравнение правил ценообразования на аукционах и играх честного дележа». Социальный выбор и благосостояние . 3 (3): 177–198. дои : 10.1007/bf00433534 . ISSN 0176-1714 . S2CID 153813349 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]