Аукцион общей стоимости

На общей стоимости аукционах стоимость выставленного на продажу предмета одинакова среди участников торгов, но участники торгов имеют разную информацию о стоимости предмета. Это контрастирует с аукционом частной стоимости , где частная оценка предмета каждым участником различна и не зависит от оценок конкурентов. ^[1]

Классический пример аукциона, основанного на общих ценностях, — это когда на аукционе продается банка, полная четвертаков. Баночка будет стоить одинаково для всех. Однако у каждого участника торгов есть свое предположение о том, сколько четвертаков находится в банке. Другие примеры из реальной жизни включают аукционы казначейских векселей, первичные публичные предложения, аукционы спектра, очень дорогие картины, произведения искусства, антиквариат и т. д.

Одним из важных явлений, происходящих на аукционах общей стоимости, является проклятие победителя . Участники торгов имеют только приблизительную оценку стоимости товара. Если в среднем участники торгов оценивают правильно, самая высокая ставка, как правило, будет сделана кем-то, кто переоценил стоимость товара. Это пример неблагоприятного отбора , аналогичный классическому « лимонов примеру » Акерлофа . Рациональные участники торгов будут предвидеть неблагоприятный выбор, поэтому, даже если их информация все равно окажется слишком оптимистичной, когда они выиграют, в среднем они не заплатят слишком много.

Иногда термин «проклятие победителя» используется по-другому, для обозначения случаев, когда наивные участники торгов игнорируют неблагоприятный выбор и предлагают достаточно большую цену, чем вполне рациональный участник торгов, так что они фактически платят больше, чем стоит товар. Такое использование преобладает в литературе по экспериментальной экономике, в отличие от теоретической и эмпирической литературы по аукционам.

Аукционы взаимозависимой стоимости

Аукционы с общей стоимостью и аукционы с частной стоимостью — это две крайности. Между этими двумя крайностями находятся аукционы взаимозависимой стоимости (также называемые аукционами дочерней стоимости ), на которых оценки участников торгов (например, $\theta _{i}=\theta +\nu _{i}$ ) может иметь общий компонент значения ( $\theta$ ) и частное значение ( $\nu _{i}$ ) компонент. Эти два компонента могут быть коррелированы таким образом, что частная оценка одного участника торгов может влиять на оценку другого участника торгов. ^[2] Эти типы аукционов включают в себя большинство реальных аукционов, и иногда их также ошибочно называют аукционами общей стоимости.

Примеры

В следующих примерах аукцион с общей стоимостью моделируется как байесовская игра . Мы пытаемся найти байесовское равновесие Нэша (BNE), которое является функцией информации, которой владеет игрок, от ставки этого игрока. Мы ориентируемся на симметричную BNE (SBNE), в которой все участники торгов используют одну и ту же функцию.

Бинарные сигналы, аукцион первой цены

Следующий пример основан на Аджемоглу и Оздагларе . ^[3]^: 44–46

участвуют два участника торгов В аукционе с закрытыми предложениями по первой цене за объект, который для них обоих имеет либо высокое качество (значение V), либо низкое качество (значение 0). Каждый участник торгов получает сигнал, который может быть как высоким, так и низким, с вероятностью 1/2. Сигнал связан с истинным значением следующим образом:

Если хотя бы один участник торгов получает низкий сигнал, то истинное значение равно 0.
Если оба получают высокий сигнал, то истинное значение равно V.

В этой игре нет SBNE в чистых стратегиях.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что существует такое равновесие b . Это функция от сигнала к ставке, т.е. игрок с сигналом x делает ставку b ( x ). Очевидно, что b (low)=0, поскольку игрок с низким сигналом точно знает, что истинное значение равно 0, и не хочет за него ничего платить. Также b (high) ≤ V, иначе выигрыша в участии не будет. Предположим, что у участника, предложившего 1 цену, b1 (высокая) = B1 > 0. Мы ищем лучший ответ для участника, предложившего 2, b2 (высокая) = B2. Есть несколько случаев:

Другой участник предлагает B2 < B1. Тогда его ожидаемый выигрыш равен 1/2 (вероятность того, что участник торгов 2 имеет низкий сигнал) умножен на -B2 (поскольку в этом случае он выиграет бесполезный предмет и заплатит b2 (высокая цена)), плюс 1/2 (вероятность того, что участник торгов 2 имеет высокий сигнал) умноженный на 0 (поскольку в этом случае он теряет предмет). Общий ожидаемый выигрыш равен −B2/2, что хуже 0, поэтому он не может быть лучшим ответом.
Другой участник предлагает цену B2 = B1. Тогда его ожидаемый выигрыш составит 1/2 раза -B2 плюс 1/2 раза 1/2 раза [V- B2] (поскольку в этом случае он выиграет предмет с вероятностью 1/2). Общий ожидаемый выигрыш равен (V − 3 B2)/4.
Участник b2 предлагает B2 > B1. Тогда его ожидаемый выигрыш составит 1/2 раза -B2 плюс 1/2 раза [V- B2] (поскольку в этом случае он выиграет предмет с вероятностью 1). Общий ожидаемый выигрыш составляет (2 В – 4 В2)/4.

Последнее выражение положительно только тогда, когда B2 < V/2. Но в этом случае выражение в № 3 больше, чем выражение в № 2: всегда лучше предложить немного большую ставку, чем другой участник. Это означает, что симметричного равновесия не существует.

Этот результат отличается от случая с частной стоимостью, где всегда существует SBNE (см. аукцион с закрытыми предложениями по первой цене ).

Независимые сигналы, аукцион второй цены

Следующий пример основан на. ^[3]^: 47–50

участвуют два участника торгов В аукционе с закрытыми предложениями второй цены на объект . Каждый участник торгов $i$ получает сигнал $s_{i}$ ; сигналы независимы и имеют непрерывное равномерное распределение на [0,1]. Оценки следующие:

v_{i}=a\cdot s_{i}+b\cdot s_{-i}

где $a,b$ являются константами ( $a=1,b=0$ означает частные ценности; $a=b$ означает общие ценности).

Здесь есть уникальный SBNE, в котором каждый игрок делает ставку:

b(s_{i})=(a+b)\cdot s_{i}

Этот результат контрастирует со случаем частной стоимости, где в SBNE каждый игрок честно предлагает свою стоимость (см. аукцион с закрытыми предложениями второй цены ).

Зависимые сигналы, аукцион второй цены

Этот пример предлагается ^[4]^{: 188–190} в качестве объяснения необходимости повышения ставок на английских аукционах .

Два претендента, Ксения и Яков, участвуют в аукционе за один предмет. Оценки зависят от AB и C — трех независимых случайных величин, взятых из непрерывного равномерного распределения на интервале [0,36]:

Ксения видит $X:=A+B$ ;
Yakov sees $Y:=B+C$ ;
Общая стоимость предмета равна $V:=(X+Y)/2=(A+2B+C)/2$ .

Ниже мы рассмотрим несколько форматов аукционов и найдем SBNE в каждом из них. Для простоты мы ищем SBNE, в котором каждый участник делает ставку. $r$ раз его сигнал: Ксения делает ставку $r\cdot X$ и Яков делает ставку $r\cdot Y$ . Пытаемся найти значение $r$ в каждом случае.

На с закрытыми предложениями аукционе второй цены имеется SBNE с $r=1$ , т. е. каждый участник торгов предлагает ровно свой сигнал.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство опирается на точку зрения Ксении. Мы предполагаем, что она знает, что Яков делает ставку $rY$ , но она не знает $Y$ . Лучший ответ Ксении на стратегию Якова мы находим. Предположим, Ксения сделает ставку $Z$ . Есть два случая:

$Z\geq rY$ . Тогда Ксения выигрывает и получает чистую прибыль в размере $V-rY=(X+Y-2rY)/2$ .
$Z<rY$ . Тогда Ксения проигрывает и ее чистый выигрыш равен 0.

В целом ожидаемый выигрыш Ксении (с учетом ее сигнала X) составит:

\int _{Y=0}^{Z/r}{X+Y-2rY \over 2}\cdot f(Y|X)dY

где $f(Y|X)$ - это условная плотность вероятности Y при условии X.

Согласно Основной теореме исчисления , производная этого выражения как функция от Z равна просто ${1 \over r}{X+Z/r-2Z \over 2}\cdot f(Z/r|X)$ . Это ноль, когда $X=2Z-Z/r$ . Итак, лучший ответ Ксении – сделать ставку $Z={rX \over 2r-1}$ .

В симметричном BNE Ксения делает ставку $Z=rX$ . Сравнивая последние два выражения, следует, что $r=1$ .

Ожидаемый доход аукциониста составит:

=E[\min(X,Y)]=E[B+\min(A,C)]

=E[B]+E[\min(A,C)]

=18+12=30

На японском аукционе результат тот же, что и на аукционе второй цены. ^[4] поскольку информация раскрывается только при выходе одного из участников торгов, но в этом случае аукцион завершается. Таким образом, каждый участник торгов выходит по своему наблюдению.

Зависимые сигналы, аукцион первой цены

В приведенном выше примере на аукционе с закрытыми предложениями первой цены имеется SBNE с $r=2/3$ , т. е. каждый участник торгов предлагает 2/3 своего сигнала.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство опирается на точку зрения Ксении. Мы предполагаем, что она знает, что Яков делает ставку $rY$ , но не знает $Y$ . Лучший ответ Ксении на стратегию Якова мы находим. Предположим, Ксения сделает ставку $Z$ . Есть два случая:

$Z\geq rY$ . Тогда Ксения выигрывает и получает чистую прибыль в размере $V-Z=(X+Y-2Z)/2$ .
$Z<rY$ . Тогда Ксения проигрывает и ее чистый выигрыш равен 0.

В целом ожидаемый выигрыш Ксении (с учетом ее сигнала X и ее ставки Z) составит:

G(X,Z)=\int _{Y=0}^{Z/r}{X+Y-2Z \over 2}\cdot f(Y|X)dY

где $f(Y|X)$ - это условная плотность вероятности Y при условии X.

С $Y=X+C-A$ , условная плотность вероятности Y равна:

$f(Y|X)=Y-(X-1)$ когда $X-1\leq Y\leq X$
$f(Y|X)=(X+1)-Y$ когда $X\leq Y\leq X+1$

Подставив это в приведенную выше формулу, получим, что выигрыш Ксении составит:

G(X,Z)={1 \over r^{3}}(XZ^{2}r/2+Z^{3}/3-Z^{3}r)

Оно имеет максимум, когда $Z={rX \over 3r-1}$ . Но поскольку нам нужен симметричный BNE, мы также хотим иметь $Z=rX$ . Вместе эти два равенства означают, что $r=2/3$ .

Ожидаемый доход аукциониста составит:

=E[\max(fX,fY)]=(2/3)E[B+\max(A,C)]

=(2/3)(E[B]+E[\max(A,C)])

=(2/3)(18+24)=28

Обратите внимание, что здесь НЕ соблюдается принцип эквивалентности доходов : доход аукциониста ниже на аукционе первой цены, чем на аукционе второй цены (эквивалентность доходов справедлива только тогда, когда значения независимы).

Связь с конкуренцией Бертрана

Аукционы общей стоимости можно сравнить с конкурсом Бертрана . Здесь фирмы являются участниками торгов, а потребитель — аукционистом. Фирмы «предлагают» цены, не превышающие истинную стоимость товара. Конкуренция между фирмами должна вытеснять прибыль. Количество фирм будет влиять на успех или неудачу аукционного процесса, приближая цену к истинной стоимости. Если число фирм невелико, возможен сговор. См. Монополия , Олигополия .

Ссылки

^ Эти, Сьюзен ; Сигал, Илья (2013). «Эффективный динамический механизм» (PDF) . Эконометрика . 81 (6): 2463–2485. CiteSeerX 10.1.1.79.7416 . дои : 10.3982/ECTA6995 .
^ Дирк Бергеманн и Стивен Моррис (2013). «Надежные прогнозы в играх с неполной информацией» (PDF) . Эконометрика . 81 (4): 1251–1308. CiteSeerX 10.1.1.299.4285 . дои : 10.3982/ecta11105 . Архивировано из оригинала (PDF) 18 февраля 2015 г.
^ Jump up to: ^а ^б Дарон Аджемоглу и Асу Оздаглар (2009). «Лекции по сетям 19–21: Неполная информация: байесовские равновесия Нэша, аукционы и введение в социальное обучение» . Массачусетский технологический институт. Архивировано из оригинала 22 октября 2016 года . Проверено 8 октября 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б Эйвери, Кристофер (1998). «Стратегические скачки ставок на английских аукционах». Обзор экономических исследований . 65 (2): 185–210. CiteSeerX 10.1.1.1002.310 . дои : 10.1111/1467-937x.00041 .

[1] Эти, Сьюзен ; Сигал, Илья (2013). «Эффективный динамический механизм» (PDF) . Эконометрика . 81 (6): 2463–2485. CiteSeerX 10.1.1.79.7416 . дои : 10.3982/ECTA6995 .

[2] Дирк Бергеманн и Стивен Моррис (2013). «Надежные прогнозы в играх с неполной информацией» (PDF) . Эконометрика . 81 (4): 1251–1308. CiteSeerX 10.1.1.299.4285 . дои : 10.3982/ecta11105 . Архивировано из оригинала (PDF) 18 февраля 2015 г.

[da09-3] Jump up to: ^а ^б Дарон Аджемоглу и Асу Оздаглар (2009). «Лекции по сетям 19–21: Неполная информация: байесовские равновесия Нэша, аукционы и введение в социальное обучение» . Массачусетский технологический институт. Архивировано из оригинала 22 октября 2016 года . Проверено 8 октября 2016 г.

[a98-4] Jump up to: ^а ^б Эйвери, Кристофер (1998). «Стратегические скачки ставок на английских аукционах». Обзор экономических исследований . 65 (2): 185–210. CiteSeerX 10.1.1.1002.310 . дои : 10.1111/1467-937x.00041 .

[1]

[2]

[3]

[4]