Нули и полюса
Математический анализ → Комплексный анализ |
Комплексный анализ |
---|
![]() |
Комплексные числа |
Сложные функции |
Основная теория |
Геометрическая теория функций |
Люди |
В комплексном анализе (разделе математики) — вид это особый комплексной функции комплексной полюс переменной. Это простейший тип неустранимой особенности такой функции (см. существенная особенность ). Технически точка z0 если является полюсом функции f, она является нулем функции 1/ f и 1/ f голоморфна комплексно (т.е. дифференцируема в некоторой окрестности точки z0 . )
Функция f называется мероморфной в открытом множестве U , если для каждой точки z из U существует окрестность z , в которой хотя бы одно из f и 1/ f голоморфно.
Если f мероморфен в U , то нуль f является полюсом 1/ f , а полюс f является нулем 1/ f . Это вызывает двойственность между нулями и полюсами , которая является фундаментальной для изучения мероморфных функций. Например, если функция мероморфна на всей комплексной плоскости плюс точка, находящаяся на бесконечности , то сумма кратностей ее полюсов равна сумме кратностей ее нулей.
Определения [ править ]
Функция комплексной переменной z голоморфна , в открытой области U если она дифференцируема по z в каждой точке U . Эквивалентно, он голоморфен, если он аналитичен , то есть если его ряд Тейлора существует в каждой точке U и сходится к функции в некоторой окрестности точки. Функция мероморфна в U , если каждая точка U имеет окрестность такую, что хотя бы одна из f и 1/ f голоморфна в ней.
Нуль f мероморфной функции f — это комплексное число z такое, что ( z ) = 0 . Полюс — f это ноль 1/ f .
Если f — функция, мероморфная в окрестности точки комплексной плоскости , то существует целое число n такое, что
голоморфен и отличен от нуля в окрестности (это следствие аналитического свойства). Если n > 0 , то является полюсом порядка ) (или кратности n функции f . Если n < 0 , то является нулем порядка выключенный . Простой ноль и простой полюс — это термины, используемые для обозначения нулей и полюсов порядка. Степень иногда используется как синоним порядка.
Эта характеристика нулей и полюсов подразумевает, что нули и полюса изолированы , то есть каждый нуль или полюс имеет окрестность, которая не содержит других нулей и полюсов.
Поскольку порядок нулей и полюсов определяется как неотрицательное число n и симметрия между ними, часто полезно рассматривать полюс порядка n как нуль порядка – n , а нуль порядка n как полюс. порядка – н . В этом случае точка, которая не является ни полюсом, ни нулём, рассматривается как полюс (или ноль) порядка 0.
Мероморфная функция может иметь бесконечное количество нулей и полюсов. Так обстоит дело с гамма-функцией (см. изображение в информационном окне), которая мероморфна во всей комплексной плоскости и имеет простой полюс в каждом неположительном целом числе. также Дзета-функция Римана мероморфна во всей комплексной плоскости с единственным полюсом порядка 1 при z = 1 . Его нули в левой полуплоскости — все отрицательные четные целые числа, а гипотеза Римана — это гипотеза о том, что все остальные нули расположены вдоль Re( z ) = 1/2 .
В окрестности точки ненулевая мероморфная функция f представляет собой сумму ряда Лорана с не более чем конечной главной частью (члены с отрицательными значениями индекса):
где n — целое число, и Опять же, если n > 0 (сумма начинается с , главная часть имеет n членов), имеет полюс порядка n , и если n ≤ 0 (сумма начинается с , главной части нет), имеется нуль порядка .
В бесконечности [ править ]
Функция мероморфен на бесконечности, если он мероморфен в некоторой окрестности бесконечности (то есть вне некоторого круга ) и существует целое число n такое, что
существует и является ненулевым комплексным числом.
В этом случае точка на бесконечности является полюсом порядка n, если n > 0 , и нулем порядка если п <0 .
Например, многочлен степени n имеет полюс степени n в бесконечности.
Комплексная плоскость , продолженная бесконечно удаленной точкой, называется сферой Римана .
Если f — функция, мероморфная на всей сфере Римана, то она имеет конечное число нулей и полюсов, а сумма порядков ее полюсов равна сумме порядков ее нулей.
Всякая рациональная функция мероморфна на всей сфере Римана, и в этом случае сумма порядков нулей или полюсов есть максимум степеней числителя и знаменателя.
Примеры [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Pole-order9-infin.png/300px-Pole-order9-infin.png)
- Функция
- мероморфна на всей сфере Римана. Он имеет полюс порядка 1 или простой полюс в точке и простой ноль на бесконечности.
- Функция
- мероморфен на всей сфере Римана. Он имеет полюс второго порядка в точке и полюс порядка 3 при . Он имеет простой ноль в и четверной ноль на бесконечности.
- Функция
- мероморфна во всей комплексной плоскости, но не на бесконечности. Он имеет полюсы порядка 1 при . В этом можно убедиться, написав Тейлора ряд вокруг начала.
- Функция
- имеет единственный полюс на бесконечности порядка 1 и один нуль в начале координат.
Все приведенные выше примеры, кроме третьего, являются рациональными функциями . Общее обсуждение нулей и полюсов таких функций см. в разделе График полюс-ноль § Системы с непрерывным временем .
Функция на кривой [ править ]
Понятие нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на комплексной кривой , то есть на комплексное аналитическое многообразие размерности один (над комплексными числами). Простейшими примерами таких кривых являются комплексная плоскость и риманова поверхность . Это расширение осуществляется путем передачи структур и свойств через карты , которые являются аналитическими изоморфизмами .
Точнее, пусть f будет функцией комплексной кривой M комплексных чисел. Эта функция голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности точки z множества M , если существует карта такой, что голоморфен (соответственно мероморфен) в окрестности Тогда z является полюсом или нулем порядка n, если то же самое верно для
Если кривая компактна и функция f мероморфна на всей кривой, то число нулей и полюсов конечно, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, которые включены в теорему Римана-Роха .
См. также [ править ]
- Принцип аргументации
- Теория управления § Устойчивость
- Конструкция фильтра
- Фильтр (обработка сигнала)
- Теорема Гаусса – Лукаса
- Теорема Гурвица (комплексный анализ)
- Теорема Мардена
- Критерий устойчивости Найквиста
- График полюс – ноль
- Остаток (комплексный анализ)
- Теорема Руше
- Гипотеза Сендова
Ссылки [ править ]
- Конвей, Джон Б. (1986). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер. ISBN 0-387-90328-3 .
- Конвей, Джон Б. (1995). Функции одной комплексной переменной II . Спрингер. ISBN 0-387-94460-5 .
- Хенрици, Питер (1974). Прикладной и вычислительный комплексный анализ 1 . Джон Уайли и сыновья .