Модель Джорджи – Глэшоу

Схема слабых изоспинов , слабых гиперзарядов и сильных зарядов для частиц в модели Джорджи-Глэшоу, повернутая на предсказанный угол слабого смешивания , показывает электрический заряд примерно вдоль вертикали. Помимо частиц Стандартной модели , теория включает двенадцать цветных Х-бозонов, ответственных за распад протона .

В физике элементарных частиц модель Джорджи – Глэшоу. — это особая Теория Великого Объединения (GUT), предложенная Говардом Джорджи и Шелдоном Глэшоу в 1974 году. В этой модели Стандартной модели калибровочные группы SU (3) × SU (2) × U (1) объединены в одну простую калибровочную группу. СУ(5) . Тогда считается, что объединенная группа SU (5) спонтанно распадается на подгруппу Стандартной модели ниже шкалы очень высокой энергии, называемой шкалой великого объединения .

Поскольку модель Джорджи-Глэшоу объединяет лептоны и кварки в отдельные неприводимые представления , существуют взаимодействия, которые не сохраняют барионное число, хотя они все еще сохраняют квантовое число B – L, связанное с симметрией общего представления. Это дает механизм распада протона , и скорость распада протона можно предсказать на основе динамики модели. Однако распад протона еще не наблюдался экспериментально, и полученный нижний предел времени жизни протона противоречит предсказаниям этой модели. Тем не менее, элегантность модели побудила физиков элементарных частиц использовать ее в качестве основы для более сложных моделей, которые обеспечивают более длительное время жизни протонов, особенно SO(10) в базовом и SUSY -вариантах.

(Более элементарное введение в то, как теория представлений алгебр Ли связана с физикой частиц, см. в статье « Физика частиц и теория представлений ».)

Кроме того, эта модель страдает от проблемы расщепления дублет-триплета .

Строительство

Схематическое изображение фермионов и бозонов в SU (5) GUT, показывающее 5 + 10 расщепление в мультиплетах . Строка 1 ( стерильный синглет нейтрино ) опущена, но также будет изолирована. Нейтральные бозоны (фотон, Z-бозон и нейтральные глюоны) не показаны, но занимают диагональные элементы матрицы в сложных суперпозициях.

SU(5) действует на $\mathbb {C} ^{5}$ и, следовательно, на его внешней алгебре $\wedge \mathbb {C} ^{5}$. Выбор $\mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}$ расщепление ограничивает SU(5) до S(U(2)×U(3)) , давая матрицы вида

${\begin{matrix}\phi :&U(1)\times SU(2)\times SU(3)&\longrightarrow &S(U(2)\times U(3))\subset SU(5)\\&(\alpha ,g,h)&\longmapsto &{\begin{pmatrix}\alpha ^{3}g&0\\0&\alpha ^{-2}h\end{pmatrix}}\\\end{matrix}}$

с ядром $\{(\alpha ,\alpha ^{-3}\mathrm {Id} _{2},\alpha ^{2}\mathrm {Id} _{3})|\alpha \in \mathbb {C} ,\alpha ^{6}=1\}\cong \mathbb {Z} _{6}$, следовательно, изоморфна Стандартной модели истинной калибровочной группе $SU(3)\times SU(2)\times U(1)/\mathbb {Z} _{6}$. Для нулевой степени ${\textstyle \bigwedge }^{0}\mathbb {C} ^{5}$, это действует тривиально, чтобы соответствовать левому нейтрино , $\mathbb {C} _{0}\otimes \mathbb {C} \otimes \mathbb {C}$. Для первой внешней силы ${\textstyle \bigwedge }^{1}\mathbb {C} ^{5}\cong \mathbb {C} ^{5}$, групповое действие Стандартной модели сохраняет расщепление $\mathbb {C} ^{5}\cong \mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}$. $\mathbb {C} ^{2}$ тривиально преобразуется в SU(3) как дублет в SU(2) и при Y = ⁠ 1 / 2 ⁠ представление U(1) (поскольку слабый гиперзаряд обычно нормируется как α ³ = а ^{6 лет} ); это соответствует правому антилептону , $\mathbb {C} _{\frac {1}{2}}\otimes \mathbb {C} ^{2*}\otimes \mathbb {C}$ (как $\mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {C} ^{2*}$ в SU(2)). $\mathbb {C} ^{3}$ преобразуется как тройка в SU(3), синглет в SU(2) и при Y = − ⁠ 1 / 3 ⁠ представление U(1) (как α ⁻² = а ^{6 лет} ); это соответствует правому нижнему кварку , $\mathbb {C} _{-{\frac {1}{3}}}\otimes \mathbb {C} \otimes \mathbb {C} ^{3}$.

Вторая власть ${\textstyle \bigwedge }^{2}\mathbb {C} ^{5}$ получается по формуле ${\textstyle \bigwedge }^{2}(V\oplus W)={\textstyle \bigwedge }^{2}V^{2}\oplus (V\otimes W)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}V^{2}$. Поскольку SU(5) сохраняет каноническую форму объема $\mathbb {C} ^{5}$, двойники Ходжа дают три верхние степени ${\textstyle \bigwedge }^{p}\mathbb {C} ^{5}\cong ({\textstyle \bigwedge }^{5-p}\mathbb {C} ^{5})^{*}$. Таким образом, представление Стандартной модели F ⊕ F* одного поколения фермионов и антифермионов лежит в пределах $\wedge \mathbb {C} ^{5}$.

Аналогичные мотивы применимы к модели Пати-Салама , а также к SO(10) , E6 и другим супергруппам SU(5).

Явное внедрение стандартной модели (SM)

Благодаря относительно простой калибровочной группе $SU(5)$ GUT можно записать в виде векторов и матриц, что позволяет интуитивно понять модель Джорджи – Глэшоу. Тогда фермионный сектор состоит из антифундаментального ${\overline {\mathbf {5} }}$ и антисимметричный $\mathbf {10}$. В терминах степеней свободы СМ это можно записать как

${\overline {\mathbf {5} }}_{F}={\begin{pmatrix}d_{1}^{c}\\d_{2}^{c}\\d_{3}^{c}\\e\\-\nu \end{pmatrix}}$

и

$\mathbf {10} _{F}={\begin{pmatrix}0&u_{3}^{c}&-u_{2}^{c}&u_{1}&d_{1}\\-u_{3}^{c}&0&u_{1}^{c}&u_{2}&d_{2}\\u_{2}^{c}&-u_{1}^{c}&0&u_{3}&d_{3}\\-u_{1}&-u_{2}&-u_{3}&0&e_{R}\\-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-e_{R}&0\end{pmatrix}}$

с $d_{i}$ и $u_{i}$ левый кварк верхнего и нижнего типа, $d_{i}^{c}$ и $u_{i}^{c}$ их праворукие коллеги, $\nu$ нейтрино, $e$ и $e_{R}$ левый и правый электрон соответственно.

Помимо фермионов, нам необходимо разбить $SU(3)\times SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)\rightarrow SU(3)\times U_{EM}(1)$; это достигается в модели Джорджи – Глэшоу посредством фундаментального $\mathbf {5}$ который содержит СМ Хиггса,

$\mathbf {5} _{H}=(T_{1},T_{2},T_{3},H^{+},H^{0})^{T}$

с $H^{+}$ и $H^{0}$ заряженная и нейтральная компоненты бозона Хиггса СМ соответственно. Обратите внимание, что $T_{i}$ не являются частицами СМ и, таким образом, являются предсказанием модели Джорджи – Глэшоу.

Калибровочные поля СМ также могут быть вложены явно. Для этого мы напомним, что калибровочное поле преобразуется как сопряженное и, следовательно, может быть записано как $A_{\mu }^{a}T^{a}$ с $T^{a}$ тот $SU(5)$ генераторы. Теперь, если ограничиться генераторами с ненулевыми элементами только в верхних $3\times 3$ блок, в нижнем $2\times 2$ блок, или по диагонали, мы можем определить

${\begin{pmatrix}G_{\mu }^{a}T_{3}^{a}&0\\0&0\end{pmatrix}}$

с $SU(3)$ поля цветовой шкалы,

${\begin{pmatrix}0&0\\0&{\frac {\sigma ^{a}}{2}}W_{\mu }^{a}\end{pmatrix}}$

со слабыми $SU(2)$ поля и

$N\,B_{\mu }^{0}\operatorname {diag} \left(-1/3,-1/3,-1/3,1/2,1/2\right)$

с $U(1)$ гиперзаряд (вплоть до некоторой нормализации $N$.) Используя вложение, мы можем явно проверить, что фермионные поля трансформируются так, как должны.

Это явное вложение можно найти в Ref. или в оригинальной статье Джорджи и Глэшоу.

Взлом СУ(5)

Нарушение SU(5) происходит, когда скалярное поле (которое мы обозначим как $\mathbf {24} _{H}$), аналогичный полю Хиггса и преобразующийся в сопряженном к SU(5), приобретает вакуумное математическое ожидание (vev), пропорциональное генератору гиперзаряда слабого

$\langle \mathbf {24} _{H}\rangle =v_{24}\operatorname {diag} \left(-1/3,-1/3,-1/3,1/2,1/2\right)$.

Когда это происходит, SU(5) спонтанно распадается на подгруппу SU(5), коммутирующую с группой, порожденной Y .

Используя вложение из предыдущего раздела, мы можем явно проверить, что $SU(5)$ действительно равен $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ отметив, что $[\langle \mathbf {24} _{H}\rangle ,G_{\mu }]=[\langle \mathbf {24} _{H}\rangle ,W_{\mu }]=[\langle \mathbf {24} _{H}\rangle ,B_{\mu }]=0$. Расчет подобных коммутаторов далее показывает, что все остальные $SU(5)$ Калибровочные поля приобретают массу.

Точнее, непрерывная подгруппа на самом деле

$[SU(3)\times SU(2)\times U(1)_{Y}]/\mathbb {Z} _{6}.$

Под этой непрерывной подгруппой присоединенный 24 преобразуется как

$\mathbf {24} \rightarrow (8,1)_{0}\oplus (1,3)_{0}\oplus (1,1)_{0}\oplus (3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\oplus ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}$

чтобы получить калибровочные бозоны Стандартной модели, а также новые бозоны X и Y. См. ограниченное представительство .

Стандартной модели Кварки и лептоны прекрасно вписываются в представления SU(5). В частности, левые фермионы объединяются в 3 поколения $\ {\overline {\mathbf {5} }}\oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} ~.$ Под непрерывной подгруппой они преобразуются как

${\begin{aligned}{\overline {\mathbf {5} }}&\to ({\bar {3}},1)_{\tfrac {1}{3}}\oplus (1,2)_{-{\tfrac {1}{2}}}&&\mathrm {d} ^{\mathsf {c}}{\mathsf {~and~}}\ell \\\mathbf {10} &\to (3,2)_{\tfrac {1}{6}}\oplus ({\bar {3}},1)_{-{\tfrac {2}{3}}}\oplus (1,1)_{1}&&q,\mathrm {u} ^{\mathsf {c}}{\mathsf {~and~}}\mathrm {e} ^{\mathsf {c}}\\\mathbf {1} &\to (1,1)_{0}&&\nu ^{\mathsf {c}}\end{aligned}}$

чтобы получить именно левостороннее фермионное содержание Стандартной модели, где каждое поколение d ^с , в ^с , и ^с и н ^с соответствуют кварку анти-вниз-типа , анти- кварку вверх-типа , анти -лептону анти-вниз-типа и анти- лептону анти-верхнего типа соответственно. Кроме того, q и $\ell$ соответствуют кварку и лептону. Фермионы, преобразующиеся как 1 при SU(5), теперь считаются необходимыми из-за доказательств нейтринных осцилляций , если только не будет найден способ ввести бесконечно малое майорановское взаимодействие для левых нейтрино.

Поскольку гомотопическая группа

$\pi _{2}\left({\frac {SU(5)}{[SU(3)\times SU(2)\times U(1)_{Y}]/\mathbb {Z} _{6}}}\right)=\mathbb {Z}$,

эта модель предсказывает монополи 'т Хофта – Полякова .

Поскольку электромагнитный заряд Q представляет собой линейную комбинацию некоторого генератора SU(2) с ⁠ Y / 2 ⁠ , эти монополи также имеют квантованные магнитные заряды Y , где под магнитными здесь мы подразумеваем магнитные электромагнитные заряды.

Минимальный суперсимметричный SU(5)

Минимальная суперсимметричная модель SU(5) присваивает $\mathbb {Z} _{2}$ четность материи к киральным суперполям, причем поля материи имеют нечетную четность, а поля Хиггса имеют четную четность, чтобы защитить электрослабый бозон Хиггса от квадратичных радиационных поправок массы ( проблема иерархии ). В несуперсимметричном варианте действие инвариантно относительно аналогичного $\mathbb {Z} _{2}$ симметрия, поскольку все поля материи являются фермионными и поэтому должны проявляться в действии парами, тогда как поля Хиггса являются бозонными .

Хиральные суперполя

В качестве сложных представлений:

этикетка	описание	множественность	Представитель SU(5)	$\mathbb {Z} _{2}$ представитель
Ф	Поле Хиггса GUT	1	24	+
Ч ты	электрослабое поле Хиггса	1	5	+
Х д	электрослабое поле Хиггса	1	${\overline {\mathbf {5} }}$	+
${\overline {\mathbf {5} }}$	поля материи	3	${\overline {\mathbf {5} }}$	−
10	поля материи	3	10	−
Н с	стерильные нейтрино	(фрактал) ⁠  1  / 2 ⁠	1	−

Суперпотенциал

Общий инвариантный перенормируемый суперпотенциал — это (комплекс) $SU(5)\times \mathbb {Z} _{2}$ инвариантный кубический полином в суперполях. Это линейная комбинация следующих терминов:

${\begin{matrix}\Phi ^{2}&&\Phi _{B}^{A}\Phi _{A}^{B}\\[4pt]\Phi ^{3}&&\Phi _{B}^{A}\Phi _{C}^{B}\Phi _{A}^{C}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {d}}\ \mathrm {H} _{\mathsf {u}}&&{\mathrm {H} _{\mathsf {d}}}_{A}\ {\mathrm {H} _{\mathsf {u}}}^{A}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {d}}\ \Phi \ \mathrm {H} _{\mathsf {u}}&&{\mathrm {H} _{\mathsf {d}}}_{A}\ \Phi _{B}^{A}\ {\mathrm {H} _{\mathsf {u}}}^{B}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {u}}\ \mathbf {10} _{i}\mathbf {10} _{j}&&\epsilon _{ABCDE}\ {\mathrm {H} _{\mathsf {u}}}^{A}\ \mathbf {10} _{i}^{BC}\ \mathbf {10} _{j}^{DE}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {d}}\ {\overline {\mathbf {5} }}_{i}\mathbf {10} _{j}&&{\mathrm {H} _{\mathsf {d}}}_{A}\ {\overline {\mathbf {5} }}_{Bi}\ \mathbf {10} _{j}^{AB}\\[4pt]\mathrm {H} _{\mathsf {u}}\ {\overline {\mathbf {5} }}_{i}\ {\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{j}&&{\mathrm {H} _{\mathsf {u}}}^{A}\ {\overline {\mathbf {5} }}_{Ai}\ {\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{j}\\[4pt]{\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{i}\ {\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{j}&&{\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{i}\ {\mathrm {N} ^{\mathsf {c}}}_{j}\\\end{matrix}}$

Первый столбец представляет собой сокращение второго столбца (без учета соответствующих коэффициентов нормализации), где индексы капитала представляют собой индексы SU(5), а i и j — индексы поколений.

Последние две строки предполагают кратность $\ \mathrm {N} ^{\mathsf {c}}\$ не равно нулю (т.е. существует стерильное нейтрино ). Муфта $\ \mathrm {H} _{\mathsf {u}}\ \mathbf {10} _{i}\ \mathbf {10} _{j}\$ имеет коэффициенты, симметричные по i и j . Муфта $\ \mathrm {N} _{i}^{\mathsf {c}}\ \mathrm {N} _{j}^{\mathsf {c}}\$ имеет коэффициенты, симметричные по i и j . Число поколений стерильных нейтрино не обязательно должно быть три, если только SU(5) не встроен в более высокую схему объединения, такую ​​как SO(10) .

Пустой

Вакуумы соответствуют взаимным нулям F и D. членов Давайте сначала рассмотрим случай, когда VEV всех киральных полей равны нулю, за исключением Φ .

Сектор Φ ​

$\ W=Tr\left[a\Phi ^{2}+b\Phi ^{3}\right]\$

Нули F соответствуют нахождению стационарных точек W с учетом бесследового ограничения. $\ Tr[\Phi ]=0~.$ Так, $\ 2a\Phi +3b\Phi ^{2}=\lambda \mathbf {1} \ ,$ где λ — множитель Лагранжа.

С точностью до преобразования SU(5) (унитарного)

$\Phi ={\begin{cases}\operatorname {diag} (0,0,0,0,0)\\\operatorname {diag} ({\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},{\frac {2a}{9b}},-{\frac {8a}{9b}})\\\operatorname {diag} ({\frac {4a}{3b}},{\frac {4a}{3b}},{\frac {4a}{3b}},-{\frac {2a}{b}},-{\frac {2a}{b}})\end{cases}}$

Эти три случая называются случаями I, II и III, и они нарушают калибровочную симметрию на $\ SU(5),\ \left[SU(4)\times U(1)\right]/\mathbb {Z} _{4}\$ и $\ \left[SU(3)\times SU(2)\times U(1)\right]/\mathbb {Z} _{6}$ соответственно (стабилизатор ВЭВ).

Другими словами, существует как минимум три различных участка суперотбора, что типично для суперсимметричных теорий.

Только случай III имеет какой-либо феноменологический смысл, и поэтому с этого момента мы сосредоточимся на этом случае.

Можно проверить, что это решение вместе с нулевыми VEV для всех остальных киральных мультиплетов является нулем F -термов и D-термов . Паритет материи остается ненарушенным (вплоть до ТэВного масштаба).

Разложение

Калибровочная алгебра 24 разлагается как

${\begin{pmatrix}(8,1)_{0}\\(1,3)_{0}\\(1,1)_{0}\\(3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\\({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}\end{pmatrix}}~.$

Это число 24 является реальным представлением, поэтому два последних термина нуждаются в пояснении. Оба $(3,2)_{-{\frac {5}{6}}}$ и $\ ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}\$ являются сложными представлениями. Однако прямая сумма обоих представлений распадается на два неприводимых вещественных представления, и мы берем только половину прямой суммы, т. е. одну из двух вещественных неприводимых копий. Первые три компонента остаются целыми. Сопряженный Хиггс также имеет аналогичное разложение, но является комплексным. Механизм Хиггса вызывает одну реальную ПОЛОВИНУ $\ (3,2)_{-{\frac {5}{6}}}\$ и $\ ({\bar {3}},2)_{\frac {5}{6}}\$ присоединенного Хиггса, который будет поглощен. Другая реальная половина приобретает массу, исходящую от D-термов . И остальные три компонента присоединенного Хиггса: $\ (8,1)_{0},(1,3)_{0}\$ и $\ (1,1)_{0}\$ приобретать массы в масштабе Великого Объединения, происходящие от самоспариваний суперпотенциала, $\ a\Phi ^{2}+b<\Phi >\Phi ^{2}~.$

Стерильные нейтрино, если таковые существуют, также приобретут майорановскую массу в масштабе Великого объединения, возникающую в результате суперпотенциальной связи ν. ^{с  2}  .

Из-за четности материи представления материи $\ {\overline {\mathbf {5} }}\$ и 10 остаются хиральными.

Это поля Хиггса 5 _H и $\ {\overline {\mathbf {5} }}_{\mathrm {H} }\$ которые интересны.

$5_{\mathrm {H} }$		${\bar {5}}_{\mathrm {H} }$
${\begin{pmatrix}(3,1)_{-{\tfrac {1}{3}}}\\(1,2)_{\tfrac {1}{2}}\end{pmatrix}}$	${\begin{matrix}\_\_\_\\???\end{matrix}}$	${\begin{pmatrix}({\bar {3}},1)_{\tfrac {1}{3}}\\(1,2)_{-{\tfrac {1}{2}}}\end{pmatrix}}$

Два соответствующих члена суперпотенциала здесь: $\ 5_{\mathrm {H} }\ {\bar {5}}_{\mathrm {H} }\$ и $\ \langle 24\rangle 5_{\mathrm {H} }\ {\bar {5}}_{\mathrm {H} }~.$ Если не произойдет какая-то тонкая настройка , мы ожидаем, что и триплетные, и дублетные члены соединятся в пары, в результате чего у нас не останется легких электрослабых дублетов. Это находится в полном противоречии с феноменологией. см. в разделе «Задача о расщеплении дублет-триплета» Более подробную информацию .

Фермионные массы

Дополнительная информация: массовое соотношение Георги – Ярлскога.

Проблемы модели Джорджи – Глэшоу.

Распад протона в SU(5)

Самый распространенный источник распада протона в SU(5). Левый и правый верхний кварки аннигилируют, образуя X ⁺ бозон, который распадается на позитрон и анти- нижний кварк противоположной направленности.

Объединение Стандартной модели с помощью группы SU(5) имеет важные феноменологические последствия. Наиболее примечательным из них является распад протона, который присутствует в SU (5) с суперсимметрией и без нее. Это обеспечивается новыми векторными бозонами, введенными из присоединенного представления SU (5), которое также содержит калибровочные бозоны сил Стандартной модели. Поскольку эти новые калибровочные бозоны находятся в _{(3,2) -5/6} бифундаментальных представлениях , они нарушают барионное и лептонное число. В результате новые операторы должны вызывать распад протонов со скоростью, обратно пропорциональной их массам. Этот процесс называется распадом протона размерности 6 и является проблемой для модели, поскольку экспериментально установлено, что протон имеет время жизни, превышающее возраст Вселенной. Это означает, что модель SU(5) сильно ограничена этим процессом.

Помимо этих новых калибровочных бозонов, в моделях SU(5) поле Хиггса обычно включается в 5- представление группы GUT. Предостережение заключается в том, что, поскольку поле Хиггса представляет собой дублет SU(2), оставшаяся часть, триплет SU(3), должна быть каким-то новым полем, обычно называемым D или T. Этот новый скаляр сможет генерировать протоны. также и распад, и, предполагая самое элементарное выравнивание вакуума Хиггса, он был бы безмассовым, что позволяло бы процессу происходить с очень высокими скоростями.

Хотя это не проблема в модели Джорджи-Глэшоу, суперсимметризованная модель SU (5) будет иметь дополнительные операторы распада протона из-за суперпартнеров фермионов Стандартной модели. Отсутствие обнаружения распада протона (в любой форме) ставит под сомнение достоверность SU(5) GUT всех типов; однако, хотя модели сильно ограничены этим результатом, они, как правило, не исключаются.

Механизм

низшего порядка, В диаграмме Фейнмана соответствующей простейшему источнику распада протона в SU(5), левый и правый верхний кварки аннигилируют, давая X ⁺ бозон, который распадается на правый (или левый) позитрон и левый (или правый) анти- нижний кварк :

$\mathrm {u} _{\mathsf {L}}+\mathrm {u} _{\mathsf {R}}\to X^{+}\to \mathrm {e} _{\mathsf {R}}^{+}+\mathrm {\bar {d}} _{\mathsf {L}}\ ,$

$\mathrm {u} _{\mathsf {L}}+\mathrm {u} _{\mathsf {R}}\to X^{+}\to \mathrm {e} _{\mathsf {L}}^{+}+\mathrm {\bar {d}} _{\mathsf {R}}~.$

Этот процесс сохраняет слабый изоспин , слабый гиперзаряд и цвет . GUT приравнивает антицвет к наличию двух цветов, $\ {\bar {g}}\equiv rb\ ,$ а SU(5) определяет левые нормальные лептоны как «белые», а правые антилептоны как «черные». Первая вершина включает только фермионы представления 10 , а вторая включает только фермионы представления 5 (или 10 ), что демонстрирует сохранение симметрии SU (5).

Массовые отношения

Поскольку состояния СМ перегруппировываются в $SU(5)$ представления их матрицы Юкавы имеют следующие отношения:

$Y_{\mathrm {d} }=Y_{\mathrm {e} }^{\mathsf {T}}\quad {\mathsf {and}}\quad Y_{\mathrm {u} }=Y_{\mathrm {u} }^{\mathsf {T}}$

В частности, это предсказывает $m_{e,\mu \tau }\approx m_{d,s,b}$ при энергиях, близких к масштабу объединения. Однако в природе это не реализуется.

Дублет-триплетное расщепление

Как упоминалось в разделе выше, цветовая тройка ${\mathbf {5} }$ который содержит СМ Хиггса, может опосредовать распад протона размерности 6. Поскольку протоны кажутся вполне стабильными, такой триплет должен приобрести довольно большую массу, чтобы подавить распад. Однако это проблематично. Для этого рассмотрим скалярную часть лагранжиана Греорджи-Глэшоу:

${\mathcal {L}}\supset {\mathbf {5} }_{\mathrm {H} }^{\dagger }(a+b\mathbf {24} _{\mathrm {H} }){\mathbf {5} }_{\mathrm {H} }{\overset {SSB}{\longrightarrow }}(a+2bv_{24})T^{\dagger }T+(a-3bv_{24})H^{\dagger }H=m_{\mathrm {T} }^{2}T^{\dagger }T-\mu ^{2}H^{\dagger }H$

Здесь мы обозначили сопряжение, используемое для разрушения $\ SU(5)\$ в СМ с $\ \mathbf {24} _{H}\ ,$ T представляет собой VEV по $\ v_{24}\$ и $\ {\mathbf {5} }_{\mathrm {H} }=(T,H)^{\mathsf {T}}\$ определяющее представление. который содержит СМ Хиггса $\ H\$ и тройка цветов $T$ который может вызвать распад протона. Как уже упоминалось, нам требуется $\ m_{\mathrm {T} }>10^{12}\ \mathrm {GeV} \$ для того, чтобы в достаточной степени подавить распад протона. С другой стороны, $\ \mu \$ обычно в порядке $\ 100\ \mathrm {GeV} \$ чтобы соответствовать наблюдениям. Глядя на приведенное выше уравнение, становится ясно, что нужно быть очень точным в выборе параметров. $\ a\$ и $\ b\ :$ любые два случайных параметра не подойдут, так как тогда $\ \mu \$ и $\ m_{\mathrm {T} }\$ может быть того же порядка!

Это известно как проблема расщепления дублет-триплета (DT) : чтобы быть последовательными, мы должны «разделить» «массы» $\ T\$ и $\ H\ ,$ но для этого нам нужно настроить $\ a\$ и $\ b~.$Однако существуют некоторые решения этой проблемы (см., например, ), который вполне хорошо работает в моделях SUSY .

Обзор проблемы расщепления DT можно найти в .

Массы нейтрино

В качестве СМ использовалась оригинальная модель Джорджи – Глэшоу, предложенная в не включает массы нейтрино. Однако, поскольку осцилляции нейтрино, наблюдались такие массы необходимы. Решения этой проблемы основаны на тех же идеях, которые были применены к SM: один под рукой может включать в себя $SU(5)$ синглет, который затем может генерировать либо массы Дирака, либо массы Майораны. Как и в СМ, можно также реализовать механизм качелей типа I , который затем естественным образом генерирует легкие массы.

С другой стороны, можно просто параметризовать незнание о нейтрино, используя оператор Вайнберга размерности 5:

${\mathcal {O}}_{W}=({\overline {\mathbf {5} }}_{F}\mathbf {5} _{H}){\frac {Y_{\nu }}{\Lambda }}({\overline {\mathbf {5} }}_{F}\mathbf {5} _{H})+h.c.$

с $Y_{\nu }$ тот $3\times 3$ Матрица Юкава необходима для смешивания ароматов.

Ссылки

• Джорджи, Ховард; Глэшоу, Шелдон (1974). «Единство всех сил элементарных частиц». Письма о физических отзывах . 32 (8): 438. Бибкод : 1974PhRvL..32..438G . дои : 10.1103/PhysRevLett.32.438 . S2CID   9063239 .
• Баэз, Джей Си ; Уэрта, Дж. (2010). «Алгебра теорий Великого объединения». Бюллетень Американского математического общества . 47 (3): 483–552. arXiv : 0904.1556 . дои : 10.1090/S0273-0979-10-01294-2 . S2CID   2941843 .
• Лангакер, Пол (2012). «Великое объединение». Схоларпедия . Том. 7. с. 11419. Бибкод : 2012SchpJ...711419L . дои : 10.4249/scholarpedia.11419 .