Теорема Фейта – Томпсона

В математике Фейта -Томпсона или теорема нечетного порядка утверждает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима теорема . Это доказали Уолтер Фейт и Джон Григгс Томпсон ( 1962 , 1963 ).

История

Контраст, который показывают эти результаты между группами нечетного и четного порядка, неизбежно предполагает, что простых групп нечетного порядка не существует.

Уильям Бернсайд ( 1911 , стр. 503, примечание М)

Уильям Бернсайд ( 1911 , стр. 503, примечание М) предположил, что каждая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок. Ричард Брауэр ( 1957 ) предложил использовать централизаторы инволюций простых групп в качестве основы для классификации конечных простых групп , поскольку теорема Брауэра–Фаулера показывает, что существует только конечное число конечных простых групп с централизатором инволюции данным . Группа нечетного порядка не имеет инволюций, поэтому для реализации программы Брауэра необходимо сначала показать, что нециклические конечные простые группы никогда не имеют нечетного порядка. Это эквивалентно доказательству разрешимости групп нечетного порядка , что и доказали Фейт и Томпсон.

Атаку на гипотезу Бернсайда начал Мичио Судзуки ( 1957 ), изучавший СА группы ; это группы такие, что C- энтрализатор каждого нетривиального элемента является A- белианом . В новаторской работе он показал, что все группы СА нечетного порядка разрешимы. (Позже он классифицировал все простые группы CA и, в более общем смысле, все простые группы так, что централизатор любой инволюции имеет нормальную 2- силовскую подгруппу пропущенное семейство простых групп лиева типа , обнаружив в процессе , которые теперь называются Suzuki группы .)

Фейт, Томпсон и Маршалл Холл ( 1960 ) распространили работу Сузуки на семейство CN групп ; это группы такие, что C- энтрализатор каждого нетривиального элемента N- ильпотентен . Они показали, что любая группа CN нечетного порядка разрешима. Их доказательство аналогично доказательству Сузуки. В нем было около 17 страниц, что в то время считалось очень длинным для доказательства в теории групп.

Теорему Фейта–Томпсона можно рассматривать как следующий шаг в этом процессе: они показывают, что не существует нециклической простой группы нечетного порядка, у которой каждая собственная подгруппа разрешима . Это доказывает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима, поскольку минимальный контрпример должен быть простой группой, в которой каждая собственная подгруппа разрешима. Хотя доказательство следует той же общей схеме, что и теорема CA и теорема CN, детали значительно сложнее. Итоговый документ имеет объем 255 страниц.

Значение доказательства

Теорема Фейта – Томпсона показала, что классификация конечных простых групп с использованием централизаторов инволюций возможна, поскольку каждая неабелева простая группа имеет инволюцию. Многие из методов, которые они представили в своем доказательстве, особенно идея локального анализа , получили дальнейшее развитие в инструментах, используемых при классификации. Возможно, самым революционным аспектом доказательства была его длина: до статьи Фейта-Томпсона немногие аргументы в теории групп занимали больше нескольких страниц, и большинство из них можно было прочитать за день. Как только теоретики групп поняли, что такие длинные аргументы могут работать, начали появляться серии статей объемом в несколько сотен страниц. Некоторые из них затмили даже статью Фейта-Томпсона; статья Майкла Ашбахера и Стивена Д. Смита о квазитонких группах имела объем 1221 страницу.

Пересмотр доказательства

Многие математики упростили части исходного доказательства Фейта – Томпсона. Однако все эти улучшения в некотором смысле носят локальный характер; глобальная структура аргумента осталась прежней, но некоторые детали аргументов были упрощены.

Упрощенное доказательство было опубликовано в двух книгах: ( Bender & Glauberman 1994 ), которая охватывает все, кроме теории характеров , и ( Peterfalvi 2000 , часть I), которая охватывает теорию характеров. Это исправленное доказательство по-прежнему очень сложное и длиннее, чем исходное, но написано в более неторопливом стиле.

Полностью формальное доказательство, проверенное с помощью Coq помощника по доказательству , было объявлено в сентябре 2012 года Жоржем Гонтье и его коллегами-исследователями из Microsoft Research и Inria . ^[1]

Схема доказательства

Вместо непосредственного описания теоремы Фейта – Томпсона проще описать теорему Сузуки о CA, а затем прокомментировать некоторые расширения, необходимые для CN-теоремы и теоремы о нечетном порядке. Доказательство можно разбить на три этапа. Пусть G — неабелева (минимальная) простая группа нечетного порядка, удовлетворяющая условию КА. Более подробное изложение статьи о нечетном порядке см. в Thompson (1963) или ( Gorenstein 1980 ) или Glauberman (1999) .

Шаг 1. Локальный анализ структуры группы G.

В случае CA это легко сделать, поскольку отношение « a коммутирует с b » является отношением эквивалентности для неединичных элементов. Таким образом, элементы разбиваются на классы эквивалентности, так что каждый класс эквивалентности представляет собой набор нетождественных элементов максимальной абелевой подгруппы. Нормализаторы этих максимальных абелевых подгрупп оказываются в точности максимальными собственными подгруппами группы G . Эти нормализаторы представляют собой группы Фробениуса , чья теория характеров достаточно прозрачна и хорошо подходит для манипуляций, связанных с индукцией символов . Кроме того, множество простых делителей | г | разбивается по простым числам, разделяющим порядки различных классов сопряженности максимальных абелевых подгрупп группы | Г |. Этот шаблон разделения простых делителей | г | по классам сопряженности некоторых холловских подгрупп (холлова подгруппа — это та, порядок и индекс которой относительно просты), которые соответствуют максимальным подгруппам группы G (с точностью до сопряженности), повторяется в обоих доказательствах CN-группы Фейта–Холла–Томпсона. теоремы и в доказательстве теоремы Фейта–Томпсона о нечетном порядке. Каждая максимальная подгруппа M имеет некоторую нильпотентную холлову подгруппу M _σ с нормализатором, содержащимся в M , порядок которой делится на некоторые простые числа, образующие множество σ( M ). Две максимальные подгруппы сопряжены тогда и только тогда, когда множества σ( M ) одинаковы, а если они не сопряжены, то множества σ( M ) не пересекаются. Каждое простое число, делящее порядок G, встречается в некотором множестве σ( M ). Таким образом, простые числа, делящие порядок группы G, разбиваются на классы эквивалентности, соответствующие классам сопряженности максимальных подгрупп. Доказательство CN-случай уже значительно сложнее, чем CA-случай: основная дополнительная проблема состоит в том, чтобы доказать, что две разные силовские подгруппы пересекаются в тождестве. Эта часть доказательства теоремы о нечетном порядке занимает более 100 журнальных страниц. Ключевым шагом является доказательство теоремы единственности Томпсона , утверждающей, что абелевы подгруппы нормального ранга не менее 3 содержатся в единственной максимальной подгруппе, а это означает, что простые числа p , для которых силовские p -подгруппы имеют нормальный ранг не более 2, нуждаются в рассматриваться отдельно. Позже Бендер упростил доказательство теоремы единственности, используя Метод Бендера . В то время как в случае CN результирующие максимальные подгруппы M по-прежнему являются группами Фробениуса, максимальные подгруппы, которые встречаются в доказательстве теоремы о нечетном порядке, больше не должны иметь эту структуру, и анализ их структуры и взаимодействия дает 5 возможных типов максимальных подгрупп, называемых типами I, II, III, IV, V. Подгруппы типа I относятся к «типу Фробениуса», небольшому обобщению группы Фробениуса, и фактически в дальнейшем в доказательстве показано, что это группы Фробениуса. Они имеют структуру MF _⋊ MF U , где MF _— наибольшая нормальная нильпотентная холловская подгруппа, а имеет подгруппу U ₀ с тем же показателем такую, что ⋊ _U ядром 0 _— группа Фробениуса с MF _U . III, IV, V — это группы со структурой MF _⋊ U Типы II , ⋊ W ₁ , где MF _⋊ трехступенчатые U — производная подгруппа M . Подразделение на типы II, III, IV и V зависит от структуры и вложения подгруппы U следующим образом:

Тип II: U нетривиально абелева и ее нормализатор не содержится в M .
Тип III: U нетривиально абелева и ее нормализатор содержится в M .
Тип IV: U неабелев.
Тип V: U тривиален.

Все классы максимальных подгрупп, кроме двух, относятся к типу I, но могут быть также два дополнительных класса максимальных подгрупп: один типа II и один типа II, III, IV или V.

Шаг 2. Теория характеров G

Если X — неприводимый характер нормализатора H максимальной абелевой подгруппы A СА-группы G , не содержащий A в своем ядре, мы можем индуцировать X к характеру Y группы G , который не обязательно является неприводимым. Благодаря известной структуре G легко найти значения символов Y для всех элементов G, кроме единичного . Отсюда следует, что если X ₁ и X ₂ — два таких неприводимых характера H , а Y ₁ и Y ₂ — соответствующие индуцированные характеры, то Y ₁ − Y ₂ полностью определен, и вычисление его нормы показывает, что он представляет собой разность двух неприводимые характеры группы G (иногда их называют исключительными характерами группы G относительно H ). Счетное рассуждение показывает, что каждый нетривиальный неприводимый характер группы G возникает ровно один раз как исключительный характер, ассоциированный с нормализатором некоторой максимальной абелевой подгруппы группы G . Аналогичный аргумент (но с заменой абелевых холловских подгрупп нильпотентными холловскими подгруппами) работает при доказательстве CN-теоремы. Однако в доказательстве теоремы о нечетном порядке аргументы в пользу построения характеров G из персонажей подгрупп гораздо более деликатны и используют изометрию Дейда между кольцами персонажей, а не индукцию символов, поскольку максимальные подгруппы имеют более сложную структуру и встраиваются менее прозрачно. Теория исключительных характеров заменяется теорией связного множества характеров для расширения изометрии Дейда. Грубо говоря, эта теория утверждает, что изометрию Дейда можно расширить, если участвующие группы не имеют определенной точной структуры. Петерфальви (2000) описал упрощенную версию теории характера, предложенную Дейдом, Сибли и Петерфальви.

Шаг 3. Последнее противоречие

К шагу 2 мы имеем полное и точное описание таблицы символов группы G. СА Отсюда, а также учитывая тот факт, что G имеет нечетный порядок, имеется достаточно информации для получения оценок | г | и придем к противоречию с предположением о G. простоте Эта часть аргумента работает аналогично в случае CN-группы.

Однако в доказательстве теоремы Фейта–Томпсона этот шаг (как обычно) значительно сложнее. Теория характеров исключает лишь некоторые из возможных конфигураций, оставшихся после шага 1. Сначала они показывают, что все максимальные подгруппы типа I являются группами Фробениуса. Если все максимальные подгруппы относятся к типу I, то аргумент, аналогичный случаю CN, показывает, что группа G не может быть минимальной простой группой нечетного порядка, поэтому существует ровно два класса максимальных подгрупп типов II, III, IV или V. Большинство Остальная часть доказательства теперь сосредоточена на этих двух типах максимальных подгрупп S и T и на связи между ними. Дополнительные аргументы теории характеров показывают, что они не могут относиться к типам IV или V. Эти две подгруппы имеют точную структуру: подгруппа S имеет порядок p. ^д× q ×( p ^д–1)/( p –1) и состоит из всех автоморфизмов основного множества конечного поля порядка p ^д вида x → ax ^п+ b , где норма a равна 1, а σ — автоморфизм конечного поля, где p и q — различные простые числа. Максимальная подгруппа T имеет аналогичную структуру с обратными p и q . Подгруппы S и T тесно связаны. Взяв p > q , можно показать, что циклическая подгруппа группы S порядка ( p ^д–1)/( p –1) сопряжена подгруппе циклической подгруппы группы T порядка ( q ^п–1)/( q –1). (В частности, первое число делит второе, поэтому, если гипотеза Фейта-Томпсона верна, будет утверждаться, что этого не может произойти, и это можно использовать для завершения доказательства на этом этапе. Однако гипотеза все еще недоказанна ( Хухро и Мазуров 2023 , 4.65). )

Вывод из применения теории характеров к группе G состоит в том, что G имеет следующую структуру: существуют простые числа p > q такие, что ( p ^д–1)/( p –1) взаимно просто с p –1 и G имеет подгруппу, заданную полупрямым произведением PU , где P – аддитивная группа конечного поля порядка p ^д и U — его элементы нормы 1. Кроме того, G имеет абелеву подгруппу Q порядка, простого с p, содержащую элемент y, такой, что P ₀ нормализует Q и ( P ₀ ) ^и нормализует U , где P0 _. аддитивная группа конечного поля порядка p — (При p =2 аналогичная конфигурация имеет место в группе SL ₂ (2 ^д), где PU — борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц, а Q — подгруппа порядка 3, порожденная $\scriptstyle y=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)$ .) Чтобы исключить этот последний случай, Томпсон применил некоторые устрашающе сложные манипуляции с генераторами и отношениями , которые позже были упрощены Петерфальви (1984) , чья аргументация воспроизведена в ( Bender & Glauberman 1994 ). Доказательство исследует множество элементов a в конечном поле порядка p ^д такие, что a и 2–a оба имеют норму 1. Сначала проверяют, что в этом множестве есть хотя бы один элемент, отличный от 1. Затем довольно сложное рассуждение с использованием генераторов и отношений в группе G показывает, что множество замкнуто относительно обратных. Если a находится в множестве и не равен 1, то многочлен N((1– a ) x +1)–1 имеет степень q и имеет по крайней мере p различных корней, заданных элементами x в F _p , используя тот факт, что x → 1/(2– x ) отображает множество в себя, поэтому p ≤ q , что противоречит предположению p > q .

Использование странностей

Тот факт, что порядок группы G нечетен, используется в нескольких местах доказательства следующим образом ( Томпсон, 1963 ).

Теорема Холла –Хигмана является более точной для групп нечетного порядка.
Для групп нечетного порядка все неглавные характеры встречаются в комплексно-сопряженных парах.
Некоторые результаты о p -группах верны только для нечетных простых чисел p .
Если группа нечетного порядка не имеет элементарных абелевых подгрупп ранга 3, то ее производная группа нильпотентна. (Это неверно для симметрической группы S ₄ четного порядка.)
Некоторые аргументы, связанные с теорией характеров, не работают для малых простых чисел, особенно для простого числа 2.

Ссылки

^ «Теорема Фейта – Томпсона полностью проверена в Coq» . Msr-inria.inria.fr. 20 сентября 2012 г. Архивировано из оригинала 19 ноября 2016 г. Проверено 25 сентября 2012 г.

Бендер, Гельмут; Глауберман, Джордж (1994), Локальный анализ теоремы нечетного порядка , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 188, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-45716-3 , МР 1311244
Брауэр, Р. (1957), «О структуре групп конечного порядка» , Труды Международного конгресса математиков, Амстердам, 1954, Vol. 1 , Эрвен П. Нордхофф, Невада, Гронинген, стр. 209–217, MR 0095203 , заархивировано из оригинала 05 марта 2011 г. , получено 14 ноября 2010 г.
Бернсайд, Уильям (1911), Теория групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49575-0 , МР 0069818
Фейт, Уолтер ; Томпсон, Джон Г .; Холл, Маршалл-младший (1960), «Конечные группы, в которых централизатор любого неединичного элемента нильпотентен», Math. З. , 74 : 1–17, doi : 10.1007/BF01180468 , MR 0114856 , S2CID 120550114
Фейт, Уолтер ; Томпсон, Джон Г. (1962), «Критерий разрешимости конечных групп и некоторые следствия», Proc. Натл. акад. наук. , 48 (6): 968–970, Bibcode : 1962PNAS...48..968F , doi : 10.1073/pnas.48.6.968 , JSTOR 71265 , MR 0143802 , PMC 220889 , PMID 16590960
Фейт, Уолтер ; Томпсон, Джон Г. (1963), «Разрешимость групп нечетного порядка» , Pacific Journal of Mathematics , 13 : 775–1029, doi : 10.2140/pjm.1963.13.775 , ISSN 0030-8730 , MR 0166261
Глауберман, Джордж (1999), «Новый взгляд на теорему Фейта – Томпсона о нечетном порядке» , Matemática Contemporânea , 16 : 73–92, ISSN 0103-9059 , MR 1756828
Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6 , МР 0569209
Хухро, Евгений; Мазуров, Виктор (2023). «Нерешенные задачи теории групп. Коуровская тетрадь. № 20». arXiv : 1401.0300v28 [ math.GR ].
Петерфальви, Томас (1984), «Упрощение главы VI статьи Фейта и Томпсона о группах нечетного порядка», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 299 (12): 531–534, ISSN 0249- 6291 , МР 0770439
Петерфальви, Томас (2000), Теория характеров для теоремы нечетного порядка , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 272, Издательство Кембриджского университета , doi : 10.1017/CBO9780511565861 , ISBN 978-0-521-64660-4 , МР 1747393
Судзуки, Мичио (1957), «Несуществование определенного типа простых групп нечетного порядка», Труды Американского математического общества , 8 (4), Труды Американского математического общества, Vol. 8, № 4: 686–695, номер документа : 10.2307/2033280 , JSTOR 2033280 , MR 0086818.
Томпсон, Джон Г. (1963), «Два результата о конечных группах» , Proc. Интерн. Конгресс Математики (Стокгольм, 1962) , Дюрсхольм: Инст. Миттаг-Леффлер, стр. 296–300, MR 0175972 , заархивировано из оригинала 17 июля 2011 г. , получено 14 ноября 2010 г.

[1] «Теорема Фейта – Томпсона полностью проверена в Coq» . Msr-inria.inria.fr. 20 сентября 2012 г. Архивировано из оригинала 19 ноября 2016 г. Проверено 25 сентября 2012 г.

[1]