Логика Лукасевича

Эта статья о системе логики. Чтобы узнать об одноименной нотации Лукасевича, см. польскую нотацию .

В математике и философии Лукасевича логика ( / ˌ w ʊ k ə ˈ ʃ ɛ v ɪ tʃ / WUUK -ə- SHEV -itch , Польский: [wukaˈɕɛvitʂ] ) — неклассическая , многозначная логика . Первоначально она была определена в начале 20 века Яном Лукасевичем как трехзначная модальная логика ; позже он был обобщен на n -значные (для всех конечных n ), а также на бесконечно-многозначные ( ℵ ₀ -значные) варианты, как пропозициональные , так и первого порядка . Версия со значением ℵ ₀ была опубликована в 1930 году Лукасевичем и Альфредом Тарским ; следовательно, ее иногда называют логикой Лукасевича – Тарского . Он принадлежит к классам нечетких логик t-нормы. и субструктурная логика .

Логика Лукасевича была мотивирована предположением Аристотеля о том, что бивалентная логика неприменима к будущим контингентам, например, утверждением: «Завтра будет морское сражение». Другими словами, утверждения о будущем не были ни истинными, ни ложными, но им можно было приписать промежуточное значение, чтобы представить их возможность стать истинными в будущем.

В данной статье логика Лукасевича (–Тарского) представлена ​​в ее полной общности, т.е. как бесконечнозначная логика. Для элементарного введения в трехзначную реализацию Ł ₃ см. трехзначную логику .

Язык

Пропозициональные связки логики Лукасевича: $\rightarrow$ («импликация») и константа $\bot$ ("ЛОЖЬ"). Дополнительные связки можно определить с помощью них:

${\begin{aligned}\neg A&=_{def}A\rightarrow \bot \\A\vee B&=_{def}(A\rightarrow B)\rightarrow B\\A\wedge B&=_{def}\neg (\neg A\vee \neg B)\\A\leftrightarrow B&=_{def}(A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)\\\top &=_{def}\bot \rightarrow \bot \end{aligned}}$

The $\vee$ и $\wedge$ связки называются слабой дизъюнкцией и конъюнкцией, потому что они неклассические, так как закон исключенного третьего для них не выполняется . В контексте субструктурной логики их называют аддитивными связками. Они также соответствуют решеточным связкам min/max.

С точки зрения субструктурной логики существуют также сильные или мультипликативные связки дизъюнкции и конъюнкции, хотя они не являются частью исходного представления Лукасевича:

${\begin{aligned}A\oplus B&=_{def}\neg A\rightarrow B\\A\otimes B&=_{def}\neg (A\rightarrow \neg B)\end{aligned}}$

Существуют также определенные модальные операторы, использующие Тарского Möglichkeit :

${\begin{aligned}\Diamond A&=_{def}\neg A\rightarrow A\\\Box A&=_{def}\neg \Diamond \neg A\end{aligned}}$

Аксиомы

Исходная система аксиом пропозициональной бесконечнозначной логики Лукасевича использовала импликацию и отрицание в качестве примитивных связок, а также modus ponens :

${\begin{aligned}A&\rightarrow (B\rightarrow A)\\(A\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\((A\rightarrow B)\rightarrow B)&\rightarrow ((B\rightarrow A)\rightarrow A)\\(\neg B\rightarrow \neg A)&\rightarrow (A\rightarrow B).\end{aligned}}$

Пропозициональная бесконечнозначная логика Лукасевича также может быть аксиоматизирована путем добавления следующих аксиом к аксиоматической системе моноидальной логики t-нормы :

Делимость

$(A\wedge B)\rightarrow (A\otimes (A\rightarrow B))$

Двойное отрицание

$\neg \neg A\rightarrow A.$

То есть бесконечнозначная логика Лукасевича возникает путем добавления аксиомы двойного отрицания к базовой нечеткой логике (BL) или путем добавления аксиомы делимости к логике IMTL.

Конечнозначная логика Лукасевича требует дополнительных аксиом.

Теория доказательств

Гиперсеквенциальное исчисление трехзначной логики Лукасевича было введено Арноном Авроном в 1991 году.

Секвенционное исчисление для конечной и бесконечнозначной логики Лукасевича как расширение линейной логики было введено А. Приятелем в 1994 году. Однако это не системы без порезов .

Гиперсеквенциальные исчисления для логики Лукасевича были представлены А. Чиабаттони и др. в 1999 году. Тем не менее, они не являются свободными от порезов для $n>3$ конечнозначные логики.

Система помеченных таблиц была представлена ​​Николой Оливетти в 2003 году.

Реальнозначная семантика

Бесконечнозначная логика Лукасевича — это вещественная логика , в которой предложениям из исчисления предложений может быть присвоено значение истинности не только 0 или 1, но также и любое действительное число между ними (например, 0,25). Оценки имеют рекурсивное определение, где:

• $w(\theta \circ \phi )=F_{\circ }(w(\theta ),w(\phi ))$ для бинарной связки $\circ ,$
• $w(\neg \theta )=F_{\neg }(w(\theta )),$
• $w\left({\overline {0}}\right)=0$ и $w\left({\overline {1}}\right)=1,$

и где определения операций выполняются следующим образом:

• Импликация: $F_{\rightarrow }(x,y)=\min\{1,1-x+y\}$
• Эквивалентность: $F_{\leftrightarrow }(x,y)=1-|x-y|$
• Отрицание: $F_{\neg }(x)=1-x$
• Слабое соединение: $F_{\wedge }(x,y)=\min\{x,y\}$
• Слабая дизъюнкция: $F_{\vee }(x,y)=\max\{x,y\}$
• Сильный союз: $F_{\otimes }(x,y)=\max\{0,x+y-1\}$
• Сильная дизъюнкция: $F_{\oplus }(x,y)=\min\{1,x+y\}.$
• Модальные функции : $F_{\Diamond }(x)=\min\{1,2x\},F_{\Box }(x)=\max\{0,2x-1\}$

Функция истинности $F_{\otimes }$ сильной конъюнкции - это t-норма Лукасевича и функция истинности $F_{\oplus }$ сильной дизъюнкции является ее двойственная t-конорма . Очевидно, $F_{\otimes }(.5,.5)=0$ и $F_{\oplus }(.5,.5)=1$, так что если $T(p)=.5$, затем $T(p\wedge p)=T(\neg p\wedge \neg p)=0$ в то время как соответствующие логически эквивалентные предложения имеют $T(p\vee p)=T(\neg p\vee \neg p)=1$.

Функция истинности $F_{\rightarrow }$ является остатком t-нормы Лукасевича. Все функции истинности основных связок непрерывны.

По определению, формула является тавтологией бесконечнозначной логики Лукасевича, если ее значение равно 1 при каждой оценке пропозициональных переменных действительными числами в интервале [0, 1].

Конечнозначная и счетнозначная семантика

Используя точно те же формулы оценки, что и для вещественнозначной семантики, Лукасевич (1922) также определил (с точностью до изоморфизма) семантику над

• любое конечное множество мощности n ≥ 2, выбрав область определения как { 0, 1/( n − 1), 2/( n − 1), ..., 1 }
• любое счетное множество , выбрав область определения как { p / q | 0 ≤ p ≤ q , где p — целое неотрицательное число, а q — целое положительное число }.

Общая алгебраическая семантика

Стандартная вещественная семантика, определяемая t-нормой Лукасевича, не является единственной возможной семантикой логики Лукасевича. Общая алгебраическая семантика пропозициональной бесконечнозначной логики Лукасевича формируется классом всех MV-алгебр . Стандартная вещественнозначная семантика представляет собой специальную MV-алгебру, называемую стандартной MV-алгеброй .

Как и другие нечеткие логики с t-нормой , пропозициональная бесконечнозначная логика Лукасевича обладает полнотой по отношению к классу всех алгебр, для которых логика корректна (то есть MV-алгебр), а также по отношению только к линейным. Это выражается общей, линейной и стандартной теоремами полноты:

Следующие условия эквивалентны:

• $A$ доказуемо в пропозициональной бесконечнозначной логике Лукасевича
• $A$ справедлива во всех MV-алгебрах ( общая полнота )
• $A$ справедлива во всех линейно упорядоченных MV-алгебрах ( линейная полнота )
• $A$ справедлива в стандартной MV-алгебре ( стандартная полнота ).

Здесь действительные средства обязательно оцениваются как 1 .

Фонт, Родригес и Торренс представили в 1984 году алгебру Вайсберга как альтернативную модель бесконечнозначной логики Лукасевича.

Попытка Григоре Мойсила в 1940-х годах обеспечить алгебраическую семантику для n- значной логики Лукасевича с помощью его алгебры Лукасевича – Мойсила (LM) (которую Мойсил назвал алгебрами Лукасевича ) оказалась неправильной моделью для n ≥ 5. Эта проблема была обнародован Аланом Роузом в 1956 году. MV-алгебра Ч.С. Чанга , которая является моделью ℵ _0- значной (бесконечно-многозначной) логики Лукасевича – Тарского, была опубликована в 1958 году. Для аксиоматически более сложной (конечной) ) n -значные логики Лукасевича, подходящие алгебры были опубликованы в 1977 году Ревазом Григолиа и названы MV _n -алгебрами. MV _n -алгебры являются подклассом LM _n -алгебр, и включение строгое при n ≥ 5. В 1982 году Роберто Чиньоли опубликовал некоторые дополнительные ограничения, которые, добавленные к _n -алгебрам LM, создают правильные модели для n -значной логики Лукасевича; Чиньоли назвал свое открытие собственными алгебрами Лукасевича .

Сложность

Логики Лукасевича ко-NP полны .

Модальная логика

Логику Лукасевича можно рассматривать как модальную логику , тип логики, которая рассматривает возможность, используя определенные операторы,

${\begin{aligned}\Diamond A&=_{def}\neg A\rightarrow A\\\Box A&=_{def}\neg \Diamond \neg A\\\end{aligned}}$

третий сомнительный оператор: Был предложен $\odot A=_{def}A\leftrightarrow \neg A$.

На основе них мы можем доказать следующие теоремы, которые являются общими аксиомами во многих модальных логиках :

${\begin{aligned}A&\rightarrow \Diamond A\\\Box A&\rightarrow A\\A&\rightarrow (A\rightarrow \Box A)\\\Box (A\rightarrow B)&\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)\\\Box (A\rightarrow B)&\rightarrow (\Diamond A\rightarrow \Diamond B)\\\end{aligned}}$

Мы также можем доказать теоремы о распределении сильных связок:

${\begin{aligned}\Box (A\otimes B)&\leftrightarrow \Box A\otimes \Box B\\\Diamond (A\oplus B)&\leftrightarrow \Diamond A\oplus \Diamond B\\\Diamond (A\otimes B)&\rightarrow \Diamond A\otimes \Diamond B\\\Box A\oplus \Box B&\rightarrow \Box (A\oplus B)\end{aligned}}$

Однако также справедливы следующие теоремы о распределении:

${\begin{aligned}\Box A\vee \Box B&\leftrightarrow \Box (A\vee B)\\\Box A\wedge \Box B&\leftrightarrow \Box (A\wedge B)\\\Diamond A\vee \Diamond B&\leftrightarrow \Diamond (A\vee B)\\\Diamond A\wedge \Diamond B&\leftrightarrow \Diamond (A\wedge B)\end{aligned}}$

Другими словами, если $\Diamond A\wedge \Diamond \neg A$, затем $\Diamond (A\wedge \neg A)$, что противоречит здравому смыслу. Однако эти спорные теоремы были защищены А. Н. Приором как модальная логика будущих контингентов . Примечательно, $\Diamond A\wedge \Diamond \neg A\leftrightarrow \odot A$.

Дальнейшее чтение

• Роуз, А.: 1956, Формализация импликативного исчисления высказываний ℵ ₀ значений Лукасевича, CR Acad. наук. Париж 243, 1183–1185.
• Роуз, А.: 1978, Формализация дальнейших ℵ _0- значных исчислений высказываний Лукасевича, Журнал символической логики 43 (2), 207–210. дои : 10.2307/2272818
• Синьоли, Р., «Алгебры многозначной логики Лукасевича. Исторический обзор», в книге С. Агуццоли и др. (ред.), «Алгебраические и теоретико-доказательные аспекты неклассической логики», LNAI 4460, Springer, 2007. , 69-83. дои : 10.1007/978-3-540-75939-3_5