Кардинальная функция

В математике ( кардинальная функция или кардинальный инвариант ) — это функция , возвращающая кардинальные числа .

Кардинальные функции в теории множеств

• Наиболее часто используемой кардинальной функцией является функция, присваивающая множеству A его мощность , обозначаемая | А |.
• Числа алеф и числа бет можно рассматривать как кардинальные функции, определенные для порядковых чисел .
• Кардинальные арифметические операции являются примерами функций преобразования кардинальных чисел (или их пар) в кардинальные числа.
• характеристиками (собственного) идеала I подмножеств Кардинальными X являются :

${\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I\}.$

«Аддитивность» I — это наименьшее число множеств из I, которых объединение не находится в I. больше Поскольку любой идеал замкнут относительно конечных объединений, это число всегда не меньше $\aleph _{0}$; если I — σ-идеал, то $\operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.$

$\operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X\}.$

«Покрывающее число» I — это наименьшее число множеств из I, представляет собой все X. объединение которых Поскольку самого X нет в I , мы должны иметь add( I ) ≤ cov( I ).

$\operatorname {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I\},$

«Число однородности» I (иногда также пишется ${\rm {unif}}(I)$ — размер наименьшего набора не в I. ) Предполагая, что I содержит все одиночные элементы , add( I ) ≤ non( I ).

${\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge \forall A\in I(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B)\}.$

«Конфинальность» I — это конфинальность частичного порядка ( I , ⊆). Легко видеть, что мы должны иметь non( I ) ⩽ cof( I ) и cov( I ) ⩽ cof( I ).

В случае, если $I$ Это идеал, тесно связанный со структурой вещественных чисел , такой как идеал нулевых множеств Лебега или идеал скудных множеств , эти кардинальные инварианты называются кардинальными характеристиками континуума .

• Для предзаказанного набора $(\mathbb {P} ,\sqsubseteq )$ ограничивающее число ${\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )$ и доминирующее число ${\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )$ определяются как

${\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},$

${\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.$

• В теории ПКФ кардинальная функция $pp_{\kappa }(\lambda )$ используется.

Кардинальные функции в топологии

Кардинальные функции широко используются в топологии как инструмент описания различных топологических свойств . Ниже приведены некоторые примеры. не существует конечных кардинальных чисел (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что «в общей топологии », предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, так, чтобы они никогда не принимали конечные кардинальные числа в качестве значений; для этого необходимо изменить некоторые определения, приведенные ниже, например, добавив « $\;\;+\;\aleph _{0}$» в правую часть определений и т. д.)

• Возможно, самые простые кардинальные инварианты топологического пространства. $X$ – его мощность и мощность его топологии, обозначаемые соответственно через $|X|$ и $o(X).$
• Вес ​ $\operatorname {w} (X)$ топологического пространства $X$ - мощность наименьшего основания для $X.$ Когда $\operatorname {w} (X)=\aleph _{0}$ пространство $X$ называется вторым счетным .
  • The $\pi$-вес помещения $X$ это мощность наименьшего $\pi$-база для $X.$ (А $\pi$-base — это набор непустых открытых множеств , надмножества которых включают все открытия.)
  • сети Вес $\operatorname {nw} (X)$ из $X$ — наименьшая мощность сети для $X.$ Сеть – это семья ${\mathcal {N}}$ множеств, для которых для всех точек $x$ и открытые кварталы $U$ содержащий $x,$ существует $B$ в ${\mathcal {N}}$ для чего $x\in B\subseteq U.$
• Характер пространства топологического $X$ в какой-то момент $x$ — мощность наименьшей локальной базы для $x.$ Характер ​ пространства $X$ является $$\chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.$$ Когда $\chi (X)=\aleph _{0}$ пространство $X$ называется первым счетным .
• Плотность ​ $\operatorname {d} (X)$ пространства $X$ — мощность наименьшего плотного подмножества $X.$ Когда ${\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}$ пространство $X$ говорят, что он раздельный .
• Число Линделефа $\operatorname {L} (X)$ пространства $X$ — наименьшая бесконечная мощность такая, что каждое открытое покрытие имеет подпокрытие мощности не более $\operatorname {L} (X).$ Когда ${\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}$ пространство $X$ называется пространством Линделефа .
• Ячеистость число или Суслина пространства $X$ является

$\operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}{\text{ is a family of mutually disjoint non-empty open subsets of }}X\}.$

• Наследственная клеточность (иногда называемая распространением ) — это наименьшая верхняя граница клеточности ее подмножеств: $$s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}$$ или $$s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ with the subspace topology is discrete}}\}$$ где «дискретный» означает, что это дискретное топологическое пространство .

• Размер ​ пространства $X$ является $$e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ is closed and discrete}}\}.$$ Так $X$ имеет счетную протяженность ровно тогда, когда у него нет несчетного замкнутого дискретного подмножества.
• Герметичность ​ $t(x,X)$ топологического пространства $X$ в какой-то момент $x\in X$ это наименьшее кардинальное число $\alpha$ такой, что всякий раз, когда $x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)$ для некоторого подмножества $Y$ из $X,$ существует подмножество $Z$ из $Y$ с $|Z|\leq \alpha ,$ такой, что $x\in \operatorname {cl} _{X}(Z).$ Символически, $$t(x,X)=\sup \left\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)\right\}.$$ Тесность пространства $X$ является $$t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.$$ Когда $t(X)=\aleph _{0}$ пространство $X$ называется счетно порожденным или счетно тесным .
  • Повышенная герметичность пространства $X,$ $t^{+}(X)$ самый маленький правильный кардинал $\alpha$ такой, что для любого $Y\subseteq X,$ $x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)$ есть подмножество $Z$ из $Y$ с мощностью меньше $\alpha ,$ такой, что $x\in {\rm {cl}}_{X}(Z).$

Основные неравенства

$$c(X)\leq d(X)\leq w(X)\leq o(X)\leq 2^{|X|}$$$$e(X)\leq s(X)$$$$\chi (X)\leq w(X)$$$$\operatorname {nw} (X)\leq w(X){\text{ and }}o(X)\leq 2^{\operatorname {nw} (X)}$$

Кардинальные функции в булевых алгебрах

Кардинальные функции часто используются при изучении булевых алгебр . Можно упомянуть, например, следующие функции:

• Ячеистость $c(\mathbb {B} )$ булевой алгебры $\mathbb {B}$ есть верхняя грань мощностей антицепей в $\mathbb {B}$.
• Длина ${\rm {length}}(\mathbb {B} )$ булевой алгебры $\mathbb {B}$ является

${\rm {length}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a chain}}{\big \}}$

• Глубина ${\rm {depth}}(\mathbb {B} )$ булевой алгебры $\mathbb {B}$ является

${\rm {depth}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a well-ordered subset}}{\big \}}$.

• несравнимость ${\rm {Inc}}(\mathbb {B} )$ булевой алгебры $\mathbb {B}$ является

${\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ such that }}\forall a,b\in A{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}$.

• Псевдовес $\pi (\mathbb {B} )$ булевой алгебры $\mathbb {B}$ является

$\pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}{\text{ such that }}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.$

Кардинальные функции в алгебре

Примеры кардинальных функций в алгебре :

• Индекс подгруппы H группы G — это количество смежных классов .
• Размерность векторного пространства V над полем K — это мощность любого гамелевского V . базиса
• В более общем смысле, для свободного модуля M над кольцом R мы определяем ранг ${\rm {rank}}(M)$ как мощность любого базиса этого модуля .
• Для линейного подпространства W векторного пространства V определим коразмерность W ( относительно V ).
• Для любой алгебраической структуры можно учитывать минимальную мощность образующих структуры.
• Для алгебраических полей расширений часто используются алгебраическая степень и сепарабельная степень (обратите внимание, что алгебраическая степень равна размерности расширения как векторного пространства над меньшим полем).
• Для неалгебраических расширений полей степень трансцендентности . также используется

Внешние ссылки

• Глоссарий определений общей топологии [1] [2]

См. также

• Диаграмма Чихоня

Ссылки

• Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . Збл   1007.03002 .