Уплотнение модульной формы

В математике являются модульные формы Зигеля основным типом автоморфных форм . Они обобщают обычные эллиптические модульные формы , которые тесно связаны с эллиптическими кривыми . Комплексные многообразия, построенные в теории модулярных форм Зигеля, представляют собой модульные многообразия Зигеля , которые являются базовыми моделями того, каким должно быть пространство модулей для абелевых многообразий (с некоторой дополнительной структурой уровней ), и строятся как факторы верхнего полупространства Зигеля, а не чем верхняя полуплоскость дискретными группами .

Модулярные формы Зигеля — это голоморфные функции на множестве симметричных матриц размера n × n с положительно определенной мнимой частью; формы должны удовлетворять условию автоморфности. Модульные формы Зигеля можно рассматривать как модульные формы со многими переменными, то есть как специальные функции нескольких комплексных переменных .

Модульные формы Зигеля были впервые исследованы Карлом Людвигом Зигелем ( 1939 ) с целью аналитического изучения квадратичных форм . Они возникают главным образом в различных разделах теории чисел , например в арифметической геометрии и эллиптических когомологиях . Модульные формы Зигеля также использовались в некоторых областях физики , таких как конформная теория поля и термодинамика черных дыр в теории струн .

Определение

Предварительные сведения

Позволять $g,N\in \mathbb {N}$ и определить

{\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{\mathrm {T} }=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau ){\text{  positive definite}}\right\},

Зигеля верхнее полупространство . Определить симплектическую группу уровня $N$ , обозначенный $\Gamma _{g}(N),$ как

\Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},

где $I_{g}$ это $g\times g$ идентификационная матрица . Наконец, позвольте

\rho :{\textrm {GL}}_{g}(\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)

быть рациональным представлением , где $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство .

Уплотнение модульной формы

Данный

\gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}

и

\gamma \in \Gamma _{g}(N),

определить обозначения

(f{\big |}\gamma )(\tau )=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau ).

Тогда голоморфная функция

f:{\mathcal {H}}_{g}\rightarrow V

является модулярной формой Зигеля степени $g$ (иногда называемый родом), вес $\rho$ и уровень $N$ если

(f{\big |}\gamma )=f

для всех $\gamma \in \Gamma _{g}(N)$ . В случае, если $g=1$ , мы далее требуем, чтобы $f$ быть голоморфным «на бесконечности». Это предположение не является необходимым для $g>1$ из-за принципа Кехера, поясняемого ниже. Обозначим пространство веса $\rho$ , степень $g$ и уровень $N$ Модульные формы Siegel от

M_{\rho }(\Gamma _{g}(N)).

Примеры

Некоторые методы построения модульных форм Зигеля включают:

Уровень 1, малая степень

Для степени 1 модульные формы Зигеля 1-го уровня такие же, как модульные формы 1-го уровня. Кольцо таких форм представляет собой кольцо полиномов , E6 ] _[ в рядах _C Эйзенштейна (степени 1 E4 _и . E6 _E4 )

Для степени 2 (Igusa 1962 , 1967 ) показали, что кольцо модулярных форм Зигеля уровня 1 порождается рядами Эйзенштейна (степени 2) E ₄ и E ₆ и еще 3 формами весов 10, 12 и 35. Идеал отношений между ними порождается квадратом веса 35 формы минус некоторый многочлен в остальных.

Для степени 3 Цуюмине (1986) описал кольцо модульных форм Зигеля уровня 1, давая набор из 34 генераторов.

Для степени 4 найдены модульные формы Зигеля 1-го уровня малых весов. Не существует параболических форм с весами 2, 4 или 6. Пространство параболических форм с весом 8 одномерно и натянуто на форму Шоттки . Пространство возвратных форм веса 10 имеет размерность 1, пространство возвратных форм веса 12 имеет размерность 2, пространство возвратных форм веса 14 имеет размерность 3 и пространство возвратных форм веса 16 имеет размерность 7 ( Плохое & Yuen 2007 ) .

Для степени 5 пространство возвратных форм имеет размерность 0 для веса 10, размерность 2 для веса 12. Пространство форм веса 12 имеет размерность 5.

Для степени 6 нет параболических форм с весами 0, 2, 4, 6, 8. Пространство модулярных форм Зигеля с весом 2 имеет размерность 0, а формы с весами 4 или 6 имеют размерность 1.

Уровень 1, малый вес

Для малых весов и уровня 1 Duke & Imamoḡlu (1998) дают следующие результаты (для любой положительной степени):

Вес 0: Пространство форм одномерное, ограничено единицей.
Вес 1: Единственная модульная форма Зигеля равна 0.
Вес 2: Единственная модульная форма Зигеля равна 0.
Вес 3: Единственная модульная форма Зигеля равна 0.
Вес 4: Для любой степени пространство форм веса 4 является одномерным, натянутым на тэта-функцию решетки E ₈ (соответствующей степени). Единственная форма возврата — 0.
Вес 5: Единственная модульная форма Зигеля равна 0.
Вес 6: Пространство форм веса 6 имеет размерность 1, если степень не превышает 8, и размерность 0, если степень не ниже 9. Единственная форма возврата - 0.
Вес 7: Пространство возвратных форм исчезает, если степень равна 4 или 7.
Вес 8: В роде 4 пространство параболических форм одномерное, натянутое формой Шоттки , а пространство форм двумерное. Если род равен 8, то форма возврата отсутствует.
Бугорковых форм нет, если вес рода более чем в два раза превышает вес.

Таблица размеров помещений 1 уровня модульных форм Siegel

В следующей таблице приведенные выше результаты объединены с информацией из Poor & Yuen (2006) и Chenevier & Lannes (2014) и Taïbi (2014) .

Размеры пространств уровня 1 Касп-формы Зигеля: Модульные формы Зигеля
Масса	степень 0	степень 1	степень 2	степень 3	степень 4	степень 5	степень 6	степень 7	степень 8	степень 9	степень 10	степень 11	степень 12
0	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
2	1: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
4	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
6	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
8	1: 1	0: 1	0: 1	0:1	1: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0:	0:	0:	0:
10	1: 1	0: 1	1: 2	0: 2	1: 3	0: 3	1: 4	0: 4	1:	0:	0:	0:	0:
12	1: 1	1: 2	1: 3	1: 4	2: 6	2: 8	3: 11	3: 14	4: 18	2:20	2: 22	1: 23	1: 24
14	1: 1	0: 1	1: 2	1: 3	3:6	3: 9	9: 18	9: 27
16	1: 1	1: 2	2: 4	3: 7	7: 14	13:27	33:60	83:143
18	1: 1	1: 2	2: 4	4:8	12:20	28: 48	117: 163
20	1: 1	1: 2	3: 5	6: 11	22: 33	76: 109	486:595
22	1: 1	1: 2	4: 6	9:15	38:53	186:239
24	1: 1	2: 3	5: 8	14: 22
26	1: 1	1: 2	5: 7	17: 24
28	1: 1	2: 3	7: 10	27: 37
30	1: 1	2: 3	8: 11	34: 45

Принцип Кехера

Теорема, известная как принцип Кехера, гласит, что если $f$ представляет собой модульную форму веса Зигеля. $\rho$ , уровень 1 и степень $g>1$ , затем $f$ ограничено на подмножествах ${\mathcal {H}}_{g}$ формы

\left\{\tau \in {\mathcal {H}}_{g}\ |{\textrm {Im}}(\tau )>\epsilon I_{g}\right\},

где $\epsilon >0$ . Следствием этой теоремы является тот факт, что модулярные формы Зигеля степени $g>1$ имеют разложения Фурье и, следовательно, голоморфны на бесконечности. ^{[ 1 ]}

Приложения к физике

В системе суперсимметричных черных дыр D1D5P в теории струн функция, которая естественным образом фиксирует микросостояния энтропии черной дыры, представляет собой модулярную форму Зигеля. ^{[ 2 ]} В целом, модульные формы Зигеля потенциально могут использоваться для описания черных дыр или других гравитационных систем. ^{[ 2 ]}

Модульные формы Зигеля также используются в качестве производящих функций для семейств CFT2 с возрастающим центральным зарядом в конформной теории поля , особенно в гипотетическом соответствии AdS/CFT . ^{[ 3 ]}

Ссылки

^ Это доказал Макс Кехер , К теории модулярных форм n-й степени I , Математика. Журнал 59 (1954), 455–466. Соответствующий принцип для гильбертовых модулярных форм был, по-видимому, известен ранее, после Фрица Гоцки, «О теоретико-числовом применении модулярных функций двух переменных» , Math. 100 (1928), стр. 411–37.
^ Jump up to: ^а ^б Белен, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (11 апреля 2017 г.). «Модульные формы Зигеля и энтропия черной дыры». Журнал физики высоких энергий . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Бибкод : 2017JHEP...04..057B . дои : 10.1007/JHEP04(2017)057 . S2CID 256037311 .
^ Белен, Александр; Кастро, Алехандра; Гомес, Жуан; Келлер, Кристоф А. (7 ноября 2018 г.). «Парамодулярные формы Зигеля и разреженность в AdS3/CFT2». Журнал физики высоких энергий . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Бибкод : 2018JHEP...11..037B . дои : 10.1007/JHEP11(2018)037 . S2CID 256040660 .

Шеневье, Гаэтан; Ланн, Жан (2014), Автоморфные формы и соседи Кнезера сетей Нимейера , arXiv : 1409.7616 , Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
Дюк, В.; Имамоглу, О. (1998), «Модульные формы Зигеля малого веса», Math. Энн. , 310 (1): 73–82, doi : 10.1007/s002080050137 , MR 1600030 , S2CID 122219495
Фрайтаг, Э. (1983), Модульные функции Зигеля , Основы математических наук, том. 254. Springer-Verlag, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-68649-8 , ISBN. 978-3-540-11661-5 , МР 0871067 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
ван дер Гир, Джерард (2008), «Модульные формы Зигеля и их приложения», 1-2-3 модульных форм, 181–245 , Universitext, Berlin: Springer, стр. 181–245, arXiv : math/0605346 , дои : 10.1007/978-3-540-74119-0_3 , ISBN 978-3-540-74117-6 , МР 2409679
Игуса, Дзюнъити (1962), «О модулярных формах Зигеля второго рода», Amer. Дж. Математика. , 84 (1): 175–200, номер документа : 10.2307/2372812 , JSTOR 2372812 , MR 0141643.
Клинген, Хельмут (2003), Вводные лекции по модульным формам Зигеля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
Сигель, Карл Людвиг (1939), «Введение в теорию модулярных функций n-й степени», Math. , 116 : 617–657, doi : 10.1007/bf01597381 , MR 0001251 , S2CID 124337559
Тайби, Оливье (2014), Размерности пространств автоморфных форм первого уровня для расщепляемых классических групп с использованием формулы следа , arXiv : 1406.4247 , Bibcode : 2014arXiv1406.4247T
Цуюмине, Шигеаки (1986), «О модулярных формах Зигеля третьей степени», Amer. Дж. Математика. , 108 (4): 755–862, номер документа : 10.2307/2374517 , JSTOR 2374517 , MR 0853217.

[1] Это доказал Макс Кехер , К теории модулярных форм n-й степени I , Математика. Журнал 59 (1954), 455–466. Соответствующий принцип для гильбертовых модулярных форм был, по-видимому, известен ранее, после Фрица Гоцки, «О теоретико-числовом применении модулярных функций двух переменных» , Math. 100 (1928), стр. 411–37.

[entropy-2] Jump up to: ^а ^б Белен, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (11 апреля 2017 г.). «Модульные формы Зигеля и энтропия черной дыры». Журнал физики высоких энергий . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Бибкод : 2017JHEP...04..057B . дои : 10.1007/JHEP04(2017)057 . S2CID 256037311 .

[3] Белен, Александр; Кастро, Алехандра; Гомес, Жуан; Келлер, Кристоф А. (7 ноября 2018 г.). «Парамодулярные формы Зигеля и разреженность в AdS3/CFT2». Журнал физики высоких энергий . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Бибкод : 2018JHEP...11..037B . дои : 10.1007/JHEP11(2018)037 . S2CID 256040660 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]