Принцип ограниченного выбора

Принцип ограниченного выбора — это принцип, используемый в карточных играх, таких как контрактный мост, для интуитивного понимания скрытой информации. Это можно сформулировать так: «Разыгрывание карты, которая могла быть выбрана в результате выбора равных ходов, увеличивает вероятность того, что игрок начал с руки, в которой его выбор был ограничен». ^{[ 1 ]} Что особенно важно, это помогает играть «в ситуациях, которые раньше считались догадками».

Например, Юг ведет низкую пику, Запад играет низкой, Север играет королевой, Восток выигрывает королем. Туз и король — эквивалентные карты; Игра Востока с королем снижает вероятность того, что у Востока есть туз, и увеличивает вероятность того, что у Запада есть туз. Этот принцип помогает другим игрокам после наблюдения за королем сделать вывод о местонахождении ненаблюдаемых эквивалентных карт, таких как пиковый туз. Увеличение или уменьшение вероятности является примером байесовского обновления по мере накопления доказательств и конкретных приложений с ограниченным выбором, подобных задаче Монти Холла .

Во многих из этих ситуаций правило, вытекающее из этого принципа, состоит в том, чтобы играть на разделение наград . После наблюдения одной эквивалентной карты, то есть следует продолжать игру так, как если бы между противостоящими игроками были разделены две эквивалентные карты, чтобы не было выбора, какую из них играть. Кто играл в первую, у того нет другой.

Когда количество эквивалентных карт больше двух, принцип усложняется, поскольку их эквивалентность может не проявляться. Когда у одного партнера , скажем, ♣ Q и ♣ 10, а у другого ♣ J, обычно верно, что эти три карты эквивалентны, но тот, у кого две из них, не знает этого. Ограниченный выбор всегда вводится в виде двух соприкасающихся карт – последовательных рангов одной масти, например ♥ QJ или ♦ KQ – где очевидна эквивалентность.

Если нет причин отдавать предпочтение определенной карте (например, для подачи сигнала партнеру), игроку, владеющему двумя или более эквивалентными картами, следует иногда рандомизировать порядок игры (см. примечание о равновесии Нэша). Расчеты вероятности при охвате ограниченного выбора часто принимают равномерную рандомизацию как нечто само собой разумеющееся, но это проблематично.

Принцип ограниченного выбора применим даже к выбору оппонентом первого хода из эквивалентных мастей. См. Келси и Глауэрт (1980).

Пример

♠ А Д 10 9 6

♠ 8 7 5 4

Таблица 1
Возможные западные и восточные владения KQ32
2-2 Сплит		3-1 Сплит		4-0 Сплит
Запад	Восток	Запад	Восток	Запад	Восток
КГ	32	КК3	2	KQ32	—
К3	2 квартал	КК2	3	—	KQ32
К2	Q3	К32	вопрос
Q3	К2	Вопрос 32	К
2 квартал	К3	К	Вопрос 32
32	КГ	вопрос	К32
		3	КК2
		2	КК3

Рассмотрим комбинацию мастей, представленную слева. лежат четыре пиковые карты ♠ На юге 8754 (закрытая рука) и пять ♠ AJ1096 на севере (фиктивная карта, видимая всем игрокам). Запад и Восток держат оставшиеся четыре пики ♠ KQ32 в своих двух закрытых руках.

Перед игрой с точки зрения Юга возможны 16 различных владений пиками или «ложью» на Западе и Востоке. Они перечислены в Таблице 1 и упорядочены сначала по «разделению» от равного к неравному количеству карт, а затем по наличию Уэста от самой сильной к самой слабой.

Юг ведет маленькую пику, Запад играет ♠ 2 (или ♠ 3), фиктивный Север играет ♠ J, а Восток выигрывает с ♠ K. Позже, после выигрыша взятки с боковой мастью, Юг ведет еще одну маленькую пику, а Запад следует за ним. минимум с ♠ 3 (или ♠ 2). На данный момент, поскольку Север и Восток еще не разыграны, местоположение только ♠ Q не установлено. Юг находится на этапе принятия решения и знает, что только две из первоначальных 16 лжи остаются возможными (выделены жирным шрифтом в Таблице 1), поскольку Запад разыграл обе младшие карты, а Восток - короля. На первый взгляд может показаться, что шансы теперь равны, 1:1, так что Югу следует рассчитывать на одинаковый успех при любом из двух возможных продолжений. Однако принцип ограниченного выбора говорит нам, что, хотя обе ложные карты возможны, вероятности составляют 2:1 в пользу предположения, что у Уэста Q32, и, следовательно, разыграть десятку.

Если бы у Востока было ♠ KQ, он с таким же успехом мог бы сыграть ферзем вместо короля. Таким образом, некоторые сделки с исходной ложью 32 и KQ не дойдут до этой стадии; некоторые вместо этого достигли бы параллельной стадии с отсутствием одного ♠ K, а Юг наблюдал 32 и Q. Напротив, каждая сделка с исходной ложью Q32 и K достигала бы этой стадии, поскольку Восток играл королем волей-неволей (без выбора или «ограниченно» выбор").

Если Восток выиграет первую взятку с королем или ферзем равномерно случайным образом из ♠ KQ, то исходная ложь 32 и KQ дойдут до этой стадии в половине случаев и в половине случаев перейдут на другую развилку дороги. Таким образом, в реальной последовательности игры шансы равны не одной, а половине к одному, или 1:2. Восток будет сохранять королеву из исходного ♠ KQ примерно в трети случаев и не будет сохранять пики из исходного ♠ K примерно в двух третях случаев. Принцип ограниченного выбора утверждает, что ловкость, играя ♠ 10, почти в два раза увеличивает вероятность успеха.

Важно отметить, что это предполагает, что у защитников нет сигнальной системы, так что игра к западу от (скажем) 3, за которой следует 2, не сигнализирует о даблтоне. В ходе многих эквивалентных раздач Восток с ♠ KQ теоретически должен выиграть первую взятку с королем или ферзем равномерно и случайным образом; то есть по половине без всякого рисунка. ^{[ 2 ]}

Дополнительная точность

Априори четыре выдающиеся карты «разделяются», как показано в первых двух столбцах Таблицы 2 ниже. Например, три карты вместе, а четвертая одна, «сплит 3-1» с вероятностью 49,74%. Чтобы понять «количество конкретной лжи», обратитесь к предыдущему списку всей лжи в Таблице 1.

Таблица 2
Разделение вероятностей четырех карт
Расколоть	Вероятность Сплита	Количество конкретная ложь	Вероятность конкретная ложь
2-2	40.70%	6	6.78%
3-1	49.74%	8	6.22%
4-0	9.57%	2	4.78%

В последнем столбце указана априорная вероятность любого конкретного первоначального владения, например 32 и KQ; этот представлен первой строкой, охватывающей разделение 2–2. Другая ложь, показанная в нашем примере игры с пиковой мастью, Q32 и K, представлена вторым рядом, охватывающим разделение 3–1.

Таким образом, таблица показывает, что априорные шансы на эти две конкретные лжи были не равными, а слегка в пользу первой, примерно 6,78 к 6,22 для ♠ KQ против ♠ K.

Каковы шансы апостериорно в момент истины в нашем примере игры пиковой масти? Если Восток с ♠ KQ выиграет первую взятку равномерно случайным образом с королем или ферзем – и с ♠ K выиграет первую взятку с королем, не имея выбора – апостериорные шансы составляют 3,39 к 6,22, чуть больше 1: 2, в процентном отношении чуть более 35% для ♠ KQ. Чтобы разыграть туз ♠ А с севера во втором раунде, нужно выиграть около 35%, а чтобы снова сыграть с десяткой ♠ 10, нужно выиграть около 65%.

Принцип ограниченного выбора является общим, но этот конкретный расчет вероятности предполагает, что Восток выиграет с королем из ♠ KQ ровно в половине случаев (что лучше). Если Восток выигрывает с королем из ♠ KQ более или менее половины случаев, то Юг выигрывает более или менее 35%, разыгрывая туз. Действительно, если Восток выигрывает с королем в 92% случаев (=6,22/6,78), то Юг выигрывает в 50%, разыгрывая туза, и в 50%, повторяя ловкость. Однако если это правда, Юг выигрывает почти на 100%, повторяя хитрость после победы Востока с ферзем – поскольку ферзь этого восточного игрока почти отрицает короля.

Математическая теория

Принцип ограниченного выбора представляет собой применение теоремы Байеса об условной вероятности. Далее: $Kp$ представляет собой условие, что король играет Востоком в первой взятке; $KQ$ представляет собой состояние, при котором Восток держит KQ и; $K$ представляет собой условие, при котором Восток удерживает K.

Эти два условия заключаются в следующем:

${\begin{aligned}P(KQ\mid Kp)&={\frac {P(Kp\mid KQ)P(KQ)}{P(Kp)}}\\P(K\mid Kp)&={\frac {P(Kp\mid K)P(K)}{P(Kp)}}\\\end{aligned}}$

Мы предполагаем, что когда Восток держит KQ, он играет каждые 50% времени, а когда он держит только K, он должен играть K. Это представлено следующим образом:

${\begin{aligned}P(Kp\mid KQ)&=0.5\\P(Kp\mid K)&=1\\\end{aligned}}$

Кроме того, согласно игре с трюком 1, только два из первоначальных 16 (т.е. априори ) возможных холдингов, показанных в Таблице 1 выше, остаются доступными для Востока, каждый из которых в равной степени возможен.

${\begin{aligned}P(K)\approx P(KQ)\\\end{aligned}}$

Решая, мы находим ( апостериорно ), что...

${\begin{aligned}\ P(K\mid Kp)\approx 2*P(KQ\mid Kp)\end{aligned}}$

В заключение можно сказать, что «после того, как Ист сыграл K в первом раунде, вероятность того, что Ист начал с одиночной K, в два раза выше, чем вероятность того, что он начал с KQ».

Первые два уравнения — это теорема Байеса , остальные — простая алгебра.

Увеличение и уменьшение вероятности первоначальной лжи противоположных карт по ходу игры являются примерами байесовского обновления по мере накопления доказательств.

См. также

Проблема Монти Холла

Примечания

^ Фрей, Ричард Л.; Траскотт, Алан Ф. , ред. (1964). Официальная энциклопедия бриджа (1-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Crown. п. 457. LCCN 64023817 . Все последующие издания Энциклопедии (до 7-го в 2011 г.) сохраняют это определение. Оригинальная статья была написана Джеффом Рубенсом , о чем свидетельствуют его инициалы в конце статьи в 1-м издании; вся статья остается неизменной во всех семи выпусках Энциклопедии.
^ Это должно быть в смысле равновесия Нэша . Теория Нэша предполагает, что оппоненты способны заметить любые закономерности и воспользоваться ими. Этот урок хорошо известен среди экспертов по бриджу, и его применение к таким пьесам принято. Что касается примера с тузом и королем в первом абзаце, Рубенс (1964, 457) предполагает, что «Восток будет разыгрывать свои равные почести с одинаковой частотой… Можно продемонстрировать, что это, по сути, лучшая стратегия Востока». См. также смешанную стратегию в комбинациях мастей.

Дальнейшее чтение

Келси, Хью ; Глауэрт, Майкл (1980). Шансы на бридж для практичных игроков . Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. стр. 92–116. ISBN 0-575-02799-1 .
Фрей, Ричард Л.; Траскотт, Алан Ф. , ред. (1964). Официальная энциклопедия бриджа (1-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Crown. п. 381-385. LCCN 64023817 . Статья об ограниченном выборе была написана Джеффом Рубенсом в первой энциклопедии (издание 1964 года). В этом и последующих изданиях (например, на странице 381 6-го издания) Рубенс заявляет, что Риз в своей книге «Мастерская игра » «объединил» «основополагающие принципы... впервые обсуждавшиеся Аланом Траскоттом в журнале Contract Bridge Journal »; он не называет дату публикации статьи Траскотта.
Риз, Теренс (1958). Экспертная игра . Лондон: Эдвард Арнольд (Издательство) Ltd. ISBN 0-575-02799-1 . Переиздано в США как Мастерская игра . Уолтем, Массачусетс: Джордж Коффин. 1960.

Внешние ссылки

[1] Фрей, Ричард Л.; Траскотт, Алан Ф. , ред. (1964). Официальная энциклопедия бриджа (1-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Crown. п. 457. LCCN 64023817 . Все последующие издания Энциклопедии (до 7-го в 2011 г.) сохраняют это определение. Оригинальная статья была написана Джеффом Рубенсом , о чем свидетельствуют его инициалы в конце статьи в 1-м издании; вся статья остается неизменной во всех семи выпусках Энциклопедии.

[2] Это должно быть в смысле равновесия Нэша . Теория Нэша предполагает, что оппоненты способны заметить любые закономерности и воспользоваться ими. Этот урок хорошо известен среди экспертов по бриджу, и его применение к таким пьесам принято. Что касается примера с тузом и королем в первом абзаце, Рубенс (1964, 457) предполагает, что «Восток будет разыгрывать свои равные почести с одинаковой частотой… Можно продемонстрировать, что это, по сути, лучшая стратегия Востока». См. также смешанную стратегию в комбинациях мастей.

[ 1 ]

[ 2 ]