Вероятность контрактного моста

В игре в бридж значительную роль играют математические вероятности. Различные стратегии игры разыгрывающего приводят к успеху в зависимости от распределения карт противника. Чтобы решить, какая стратегия имеет наибольшую вероятность успеха, оператор объявления должен обладать хотя бы элементарными знаниями о вероятностях.

В таблицах ниже указаны различные априорные вероятности , то есть вероятности при отсутствии какой-либо дополнительной информации. Во время торгов и игры становится доступно больше информации о раздачах, что позволяет игрокам улучшить свои оценки вероятности.

Вероятность раздачи мастей (по пропущенным козырям и т.п.) в двух скрытых руках

Эта таблица ^[1] представляет собой различные способы, которыми от двух до восьми конкретных карт могут быть распределены, лежат или разделены между двумя неизвестными 13-карточными руками (до торгов и игры или априори ).

В таблице также показано количество комбинаций конкретных карт, соответствующих любому числовому разделению, и вероятности каждой комбинации.

Эти вероятности следуют непосредственно из закона вакантных мест .

Количество карт (козырей и т. д.), недостающих в партнерстве	Распределение	Вероятность	Комбинации	Индивидуальный Вероятность
2	1 - 1	0.52	2	0.26
2	2 - 0	0.48	2	0.24
3	2 - 1	0.78	6	0.13
3	3 - 0	0.22	2	0.11
4	2 - 2	0.40	6	0.0678~
	3 - 1	0.50	8	0.0622~
	4 - 0	0.10	2	0.0478~
5	3 - 2	0.68	20	0.0339~
	4 - 1	0.28	10	0.02826~
	5 - 0	0.04	2	0.01956~
6	3 - 3	0.36	20	0.01776~
	4 - 2	0.48	30	0.01615~
	5 - 1	0.15	12	0.01211~
	6 - 0	0.01	2	0.00745~
7	4 - 3	0.62	70	0.00888~
	5 - 2	0.30	42	0.00727~
	6 - 1	0.07	14	0.00484~
	7 - 0	0.01	2	0.00261~
8	4 - 4	0.33	70	0.00467~
	5 - 3	0.47	112	0.00421~
	6 - 2	0.17	56	0.00306~
	7 - 1	0.03	16	0.00178~
	8 - 0	0.00	2	0.00082~

Расчет вероятностей

Позволять $P'(a,b,n_{e},n_{w})$ быть вероятностью игрока Востока с $n_{e}$ неизвестные карты на руках $a$ карты данной масти и игрок Запада с $n_{w}$ неизвестные карты на руках $b$ карты данной масти. Общее количество мероприятий $(a+b)$ карты в масти в $(n_{e}+n_{w})$ пространства $T={\frac {(n_{e}+n_{w})!}{(n_{e}+n_{w}-a-b)!(a+b)!}}$ количество перестановок то есть $(n_{e}+n_{w})$ предметы, у которых карты масти неотличимы от карт не масти. Количество расположений которых соответствует Востоку, имеющему $a$ карты в масти и западе $b$ карты в масти дает $S={\frac {n_{e}!}{a!(n_{e}-a)!}}\times {\frac {n_{w}!}{b!(n_{w}-b)!}}$ . Поэтому, $P'(a,b,n_{e},n_{w})={\frac {S}{T}}={\frac {(a+b)!}{a!b!}}\times {\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-a-b)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\binom {a+b}{a}}{\frac {n_{e}!n_{w}!(n_{e}+n_{w}-a-b)!}{(n_{e}+n_{w})!(n_{e}-a)!(n_{w}-b)!}}={\frac {{\binom {a+b}{a}}{\binom {n_{e}+n_{w}-a-b}{n_{e}-a}}}{\binom {n_{e}+n_{w}}{n_{e}}}}$ Если направление разделения не имеет значения (требуется только, чтобы разделение было $a$ - $b$ , не то чтобы Восток специально обязан удерживать $a$ карты), то общая вероятность определяется выражением $P(a,b,n_{e},n_{w})=P'(a,b,n_{e},n_{w})+(1-\delta _{a,b})P'(b,a,n_{e},n_{w})$ где дельта Кронекера гарантирует, что ситуация, когда Восток и Запад имеют одинаковое количество карт в масти, не учитывается дважды.

Приведенные выше вероятности предполагают $n_{e}=n_{w}=13$ и что направление разделения не имеет значения, поэтому они определяются как $P(a,b)=P(a,b,13,13)={\binom {a+b}{a}}{\frac {13!13!(26-a-b)!}{26!(13-a)!(13-b)!}}(2-\delta _{a,b})$ Более общую формулу можно использовать для расчета вероятности разрушения масти, если известно, что у игрока есть карты другой масти, например, по результатам торгов. Предположим, что на торгах известно, что у Востока есть 7 пик, и, увидев манекен, вы делаете вывод, что у Запада есть 2 пики; тогда, если ваши две линии игры заключаются в том, чтобы надеяться либо на бубны 5-3, либо на трефы 4-2, априорные вероятности составляют 47% и 48% соответственно, но $P(5,3,13-7,13-2)\thickapprox 42\%$ и $P(4,2,13-7,13-2)\thickapprox 47\%$ так что теперь клубная линия значительно лучше ромбовой.

Вероятность распространения HCP

Очки старших карт (HCP) обычно подсчитываются по шкале Милтона Уорка, состоящей из 4/3/2/1 очка для каждого туза/короля/дамы/валета соответственно. Априорные вероятности того, что в данной руке содержится не более заданного количества HCP, приведены в таблице ниже. ^[1] Чтобы найти вероятность определенного диапазона точек, нужно просто вычесть две соответствующие совокупные вероятности. Таким образом, вероятность того, что вам раздадут руку с 12-19 HCP (диапазоны включительно), равна вероятности иметь не более 19 HCP минус вероятность иметь не более 11 HCP, или: 0,9855 - 0,6518 = 0,3337. ^[2]

медицинский работник	Вероятность	медицинский работник	Вероятность	медицинский работник	Вероятность	медицинский работник	Вероятность	медицинский работник	Вероятность
0	0.003639	8	0.374768	16	0.935520	24	0.999542	32	1.000000
1	0.011523	9	0.468331	17	0.959137	25	0.999806	33	1.000000
2	0.025085	10	0.562382	18	0.975187	26	0.999923	34	1.000000
3	0.049708	11	0.651828	19	0.985549	27	0.999972	35	1.000000
4	0.088163	12	0.732097	20	0.991985	28	0.999990	36	1.000000
5	0.140025	13	0.801240	21	0.995763	29	0.999997	37	1.000000
6	0.205565	14	0.858174	22	0.997864	30	0.999999
7	0.285846	15	0.902410	23	0.998983	31	1.000000

Вероятности паттернов рук

Модель руки обозначает распределение тринадцати карт в руке по четырем мастям. Всего возможны 39 паттернов рук, но только 13 из них имеют априорную вероятность, превышающую 1%. Наиболее вероятным паттерном является паттерн 4-4-3-2, состоящий из двух четырехкарточных мастей, трехкарточной масти и даблтона .

Обратите внимание, что в выкройке руки не указано, какие именно масти содержат указанную длину. Для шаблона 4-4-3-2 необходимо указать, какая масть содержит тройку, а какая масть содержит дублет, чтобы определить длину каждой из четырех мастей. Есть четыре возможности сначала определить трехкарточную масть и три возможности затем определить дублетон. Следовательно, количество перестановок мастей в схеме 4-4-3-2 равно двенадцати. Или, другими словами, всего существует двенадцать способов отображения паттерна 4-4-3-2 на четыре масти.

В таблице ниже перечислены все 39 возможных паттернов рук, вероятность их появления, а также количество перестановок мастей для каждого паттерна. Список упорядочен по вероятности появления паттернов рук. ^[3]

Шаблон	Вероятность	#
4-4-3-2	0.21551	12
5-3-3-2	0.15517	12
5-4-3-1	0.12931	24
5-4-2-2	0.10580	12
4-3-3-3	0.10536	4
6-3-2-2	0.05642	12
6-4-2-1	0.04702	24
6-3-3-1	0.03448	12
5-5-2-1	0.03174	12
4-4-4-1	0.02993	4
7-3-2-1	0.01881	24
6-4-3-0	0.01326	24
5-4-4-0	0.01243	12

Шаблон	Вероятность	#
5-5-3-0	0.00895	12
6-5-1-1	0.00705	12
6-5-2-0	0.00651	24
7-2-2-2	0.00513	4
7-4-1-1	0.00392	12
7-4-2-0	0.00362	24
7-3-3-0	0.00265	12
8-2-2-1	0.00192	12
8-3-1-1	0.00118	12
7-5-1-0	0.00109	24
8-3-2-0	0.00109	24
6-6-1-0	0.00072	12
8-4-1-0	0.00045	24

Шаблон	Вероятность	#
9-2-1-1	0.00018	12
9-3-1-0	0.00010	24
9-2-2-0	0.000082	12
7-6-0-0	0.000056	12
8-5-0-0	0.000031	12
10-2-1-0	0.000011	24
9-4-0-0	0.0000097	12
10-1-1-1	0.0000040	4
10-3-0-0	0.0000015	12
11-1-1-0	0.00000025	12
11-2-0-0	0.00000011	12
12-1-0-0	0.0000000032	12
13-0-0-0	0.0000000000063	4

39 моделей рук можно разделить на четыре типа рук : сбалансированные руки , одиночные масти , две масти и три масти . В таблице ниже приведены априорные вероятности того, что вам раздадут карты определенного типа.

Тип руки	Узоры	Вероятность
3 сбалансированных	4-3-3-3, 4-4-3-2, 5-3-3-2	0.4761
26 Одномастный	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0.1915
8 Двухмастные	5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-5-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-6-0-0	0.2902
2 Трехмастные	4-4-4-1, 5-4-4-0	0.0423

Альтернативная группировка 39 моделей рук может быть выполнена либо по самой длинной масти, либо по самой короткой масти. Таблицы ниже дают априорный шанс получить руку с самой длинной или самой короткой мастью заданной длины.

Самый длинный костюм	Узоры	Вероятность
4 карты	4-3-3-3, 4-4-3-2, 4-4-4-1	0.3508
5 карт	5-3-3-2, 5-4-2-2, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 5-4-4-0, 5-5-3-0	0.4434
6 карт	6-3-2-2, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-4-3-0, 6-5-1-1, 6-5-2-0, 6-6-1-0	0.1655
7 карт	7-2-2-2, 7-3-2-1, 7-3-3-0, 7-4-1-1, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0	0.0353
8 карт	8-2-2-1, 8-3-1-1, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0	0.0047
9 карт	9-2-1-1, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0	0.00037
10 карт	10-1-1-1, 10-2-1-0, 10-3-0-0	0.000017
11 карт	11-1-1-0, 11-2-0-0	0.0000003
12 карт	12-1-0-0	0.000000003
13 карт	13-0-0-0	0.000000000006

Самый короткий костюм	Узоры	Вероятность
Три карты	4-3-3-3	0.1054
Даблтон	4-4-3-2, 5-3-3-2, 5-4-2-2, 6-3-2-2, 7-2-2-2	0.5380
Синглтон	4-4-4-1, 5-4-3-1, 5-5-2-1, 6-3-3-1, 6-4-2-1, 6-5-1-1, 7-3-2-1, 7-4-1-1, 8-2-2-1, 8-3-1-1, 9-2-1-1, 10-1-1-1	0.3055
Пустота	5-4-4-0, 5-5-3-0, 6-4-3-0, 6-5-2-0, 6-6-1-0, 7-3-3-0, 7-4-2-0, 7-5-1-0, 7-6-0-0, 8-3-2-0, 8-4-1-0, 8-5-0-0, 9-2-2-0, 9-3-1-0, 9-4-0-0, 10-2-1-0, 10-3-0-0, 11-1-1-0, 11-2-0-0, 12-1-0-0, 13-0-0-0	0.0511

Количество возможных рук и сделок

Их 635 013 559 600 ( ${52 \choose 13}$ ) разные руки, которые может держать один игрок. ^[4] Кроме того, если добавить остальные 39 карт со всеми их комбинациями, получится 53 644 737 765 488 792 839 237 440 000 (53,6 х 10 ²⁷) возможны различные сделки ( $52!/(13!)^{4}$ ) ^[5] Огромность этого числа можно понять, ответив на вопрос: « Какая площадь вам понадобится, чтобы разместить все возможные мостовые сделки, если каждая сделка будет занимать всего один квадратный миллиметр? ». Ответ таков: площадь, более чем в сто миллионов раз превышающая площадь поверхности Земли .

Очевидно, что сделки, которые идентичны, за исключением обмена – скажем, ♥ 2 и ♥ 3, вряд ли дадут разный результат. Чтобы подчеркнуть неуместность маленьких карт (что, однако, не всегда так), в бридже такие маленькие карты обычно обозначаются знаком «х». Таким образом, «количество возможных раздач» в этом смысле зависит от того, сколько нечестных карт (2, 3, .. 9) считаются «неотличимыми». Например, если обозначение «x» применяется ко всем картам меньше десяти, то распределения мастей A987-K106-Q54-J32 и A432-K105-Q76-J98 будут считаться идентичными.

Таблица ниже ^[6] дает количество раздач, когда различные количества маленьких карт считаются неразличимыми.

Высшая ничем не примечательная карта	Количество сделок
2	53,644,737,765,488,792,839,237,440,000
3	7,811,544,503,918,790,990,995,915,520
4	445,905,120,201,773,774,566,940,160
5	14,369,217,850,047,151,709,620,800
6	314,174,475,847,313,213,527,680
7	5,197,480,921,767,366,548,160
8	69,848,690,581,204,198,656
9	800,827,437,699,287,808
10	8,110,864,720,503,360
Дж	74,424,657,938,928
вопрос	630,343,600,320
К	4,997,094,488
А	37,478,624

Обратите внимание, что последняя запись в таблице (37 478 624) соответствует количеству различных раздач колоды (количеству раздач, когда карты различаются только по масти).

Вероятность проигрыша взяток

Подсчет проигрышных взяток является альтернативой подсчету HCP в качестве метода оценки рук.

LTC	Количество рук	Вероятность
0	4,245,032	0.000668%
1	90,206,044	0.0142%
2	872,361,936	0.137%
3	5,080,948,428	0.8%
4	19,749,204,780	3.11%
5	53,704,810,560	8.46%
6	104,416,332,340	16.4%
7	145,971,648,360	23.0%
8	145,394,132,760	22.9%
9	100,454,895,360	15.8%
10	45,618,822,000	7.18%
11	12,204,432,000	1.92%
12	1,451,520,000	0.229%
13	12 это максимум	Н/Д

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б «Математические таблицы» (табл. 4). Фрэнсис, Генри Г.; Траскотт, Алан Ф .; Фрэнсис, Дорти А., ред. (1994). Официальная энциклопедия бриджа (5-е изд.). Мемфис, Теннесси: Американская лига контрактного бриджа . п. 278. ИСБН 0-943855-48-9 . LCCN 96188639 .
^ Ричард Павличек. «Высокое ожидание карты». связь
^ Ричард Павличек. «Вопреки всему». связь
^ Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 1
^ Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 2
^ Подсчет сделок с мостами , Йерун Вармердам

Дальнейшее чтение

Эмиль, Борель; Андре, Шерон (1940). Математическая теория моста . Готье-Виллар. Второе французское издание авторов в 1954 году. Переведено и отредактировано на английский Алеком Траубом под названием «Математическая теория моста»; напечатано в 1974 году на Тайване при содействии CC Wei.
Келси, Хью ; Глауэрт, Майкл (1980). Шансы на бридж для практичных игроков . Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. ISBN 0-575-02799-1 .
Риз, Теренс ; Трезель, Роджер (1986). Управляйте шансами в бридже . Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. ISBN 0-575-02597-2 .

[OEB-1] Jump up to: ^а ^б «Математические таблицы» (табл. 4). Фрэнсис, Генри Г.; Траскотт, Алан Ф .; Фрэнсис, Дорти А., ред. (1994). Официальная энциклопедия бриджа (5-е изд.). Мемфис, Теннесси: Американская лига контрактного бриджа . п. 278. ИСБН 0-943855-48-9 . LCCN 96188639 .

[2] Ричард Павличек. «Высокое ожидание карты». связь

[Pavlicek1-3] Ричард Павличек. «Вопреки всему». связь

[4] Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 1

[5] Вероятности моста Дуранго Билла и комбинаторика 2

[6] Подсчет сделок с мостами , Йерун Вармердам

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]