Биполярные цилиндрические координаты

Координатные поверхности биполярных цилиндрических координат. Желтый полумесяц соответствует σ, красная трубка соответствует τ, а синяя плоскость соответствует z =1. Три поверхности пересекаются в точке P (показана черной сферой).

Биполярные цилиндрические координаты — это трехмерная ортогональная система координат , возникающая в результате проецирования двумерной биполярной системы координат в перпендикуляр $z$-направление. Две линии фокусов $F_{1}$ и $F_{2}$ проецируемых аполлонических кругов обычно считаются определяется $x=-a$ и $x=+a$соответственно (и $y=0$) в декартовой системе координат .

Термин «биполярный» часто используется для описания других кривых, имеющих две особые точки (фокусы), таких как эллипсы , гиперболы и овалы Кассини . Однако термин «биполярные координаты» никогда не используется для описания координат, связанных с этими кривыми, например, эллиптических координат .

Основное определение

Наиболее распространенное определение биполярных цилиндрических координат. $(\sigma ,\tau ,z)$ является

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

$z=\ z$

где $\sigma$ координата точки $P$ равен углу $F_{1}PF_{2}$ и $\tau$ координата равна натуральному логарифму отношения расстояний $d_{1}$ и $d_{2}$ к фокальным линиям

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

(Напомним, что фокальные линии $F_{1}$ и $F_{2}$ расположены в $x=-a$ и $x=+a$, соответственно.)

Поверхности постоянной $\sigma$ соответствуют цилиндрам разного радиуса

$x^{2}+\left(y-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

все они проходят через фокальные линии и не концентричны. Поверхности постоянных $\tau$ непересекающиеся цилиндры разных радиусов

$y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$

которые окружают фокальные линии, но опять же не концентричны. Фокальные линии и все эти цилиндры параллельны $z$-ось (направление проекции). В $z=0$ плоскости, центры констант- $\sigma$ и постоянно- $\tau$ цилиндры лежат на $y$ и $x$ оси соответственно.

Масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для биполярных координат $\sigma$ и $\tau$ равны

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

тогда как оставшийся масштабный коэффициент $h_{z}=1$. Таким образом, бесконечно малый элемент объема равен

$dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz$

а лапласиан определяется выражением

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\nabla \cdot \mathbf {F}$ и $\nabla \times \mathbf {F}$ можно выразить в координатах $(\sigma ,\tau )$ заменив масштабные коэффициенты в общие формулы находится в ортогональных координатах .

Приложения

Классические применения биполярных координат заключаются в решении уравнений в частных производных . например, уравнение Лапласа или уравнение Гельмгольца , для которых биполярные координаты допускают разделение переменных (в 2D). Типичным примером может служить электрическое поле, окружающее два параллельные цилиндрические проводники.

Библиография

• Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 187–190 . LCCN   55010911 .
• Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 182. LCCN   59014456 . АСИН B0000CKZX7.
• Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Конические координаты (r, θ, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. неизвестный. ISBN  978-0-387-18430-2 .

Внешние ссылки

• MathWorld описание биполярных цилиндрических координат