Гидродинамическая спиральность

Эта статья о гидродинамике. Чтобы узнать о магнитных полях, см. Магнитная спиральность . Чтобы узнать о физике элементарных частиц, см. спиральность (физика элементарных частиц) .

В гидродинамике потока жидкости , спиральность при соответствующих условиях является инвариантом уравнений Эйлера имеющим топологическую интерпретацию как меру связанности и/или завязанности вихревых линий в потоке. Впервые это доказал Жан-Жак Моро в 1961 году. и Моффат вывел его в 1969 году, не зная о Моро статье . Этот инвариант спиральности является расширением теоремы Вольтьера о магнитной спиральности .

Позволять $\mathbf {u} (x,t)$ быть полем скорости и $\nabla \times \mathbf {u}$ соответствующее поле завихренности . При следующих трех условиях вихревые линии переносятся потоком (или «вморожены») в него: (i) жидкость является невязкой ; (ii) либо поток несжимаем ( $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$), или он сжимаем по баротропному соотношению $p=p(\rho )$ между давлением p и плотностью ρ ; и (iii) любые объемные силы, действующие на жидкость, консервативны . В этих условиях любая замкнутая поверхность S, векторы нормали которой ортогональны завихренности (т. е. $\mathbf {n} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0$) так же, как и завихренность, переносится потоком.

Пусть V — объем внутри такой поверхности. Тогда спиральность в V , обозначаемая H , определяется объемным интегралом

$H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.$

Для локализованного распределения завихренности в неограниченной жидкости за V можно принять все пространство, а H - тогда полную спиральность потока. H инвариантен именно потому, что вихревые линии заморожены в потоке, и поэтому их связь и/или узловатость сохраняются, как это признал лорд Кельвин (1868). Спиральность — псевдоскалярная величина: она меняет знак при переходе от правой системы отсчета к левой; его можно рассматривать как меру направленности (или киральности ) потока. Спиральность — один из четырех известных интегральных инвариантов уравнений Эйлера; остальные три — это энергия , импульс и угловой момент .

Для двух связанных незавязанных вихревых трубок, имеющих циркуляцию $\kappa _{1}$ и $\kappa _{2}$и без внутреннего скручивания, спиральность определяется выражением $H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}$, где n — число гауссовских связей двух трубок, а плюс или минус выбирается в зависимости от того, правостороннее или левостороннее соединение. Для одноузловой вихревой трубы с циркуляцией $\kappa$, то, как показали Моффатт и Рикка (1992), спиральность определяется выражением $H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)$, где $Wr$ и $Tw$ корчатся скручиваются и ; трубки сумма $Wr+Tw$ как известно, инвариантен при непрерывной деформации трубки.

Инвариантность спиральности является краеугольным камнем предмета топологической гидродинамики и магнитогидродинамики , которая занимается глобальными свойствами потоков и их топологическими характеристиками.

Метеорология

В метеорологии , спиральность соответствует передаче завихренности из окружающей среды воздушному пакету, находящемуся в конвективном движении. Здесь определение спиральности упрощено: используется только горизонтальная составляющая ветра и завихренности и интегрируется только в вертикальном направлении, заменяя объемный интеграл одномерным определенным интегралом или линейным интегралом :

$H=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\,d{Z}=\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{{\vec {V}}_{h}}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z},$

где

• ⁠ $Z$⁠ — высота,
• ⁠ ${\vec {V}}_{h}$⁠ — горизонтальная скорость,
• ⁠ ${\vec {\zeta }}_{h}$⁠ — горизонтальная завихренность.

Согласно этой формуле, если горизонтальный ветер не меняет направление с высотой , H будет равно нулю, как $V_{h}$ и $\nabla \times V_{h}$ перпендикулярны , что делает их скалярное произведение равным нулю. Тогда H будет положительным, если ветер меняет направление (поворачивается по часовой стрелке ) с высотой, и отрицательным, если он поворачивает назад (поворачивается против часовой стрелки ). Эта спиральность, используемая в метеорологии, имеет единицы энергии на единицу массы [м ² /с ² ] и, таким образом, интерпретируется как мера передачи энергии сдвигом ветра с высотой, в том числе направленным.

Это понятие используется для прогнозирования возможности развития торнадо в грозовом облаке . В этом случае вертикальная интеграция будет ограничена ниже верхней границы облаков (обычно 3 км или 10 000 футов), а горизонтальный ветер будет рассчитываться как ветер относительно шторма за вычетом его движения:

$\mathrm {SRH} =\int _{Z_{1}}^{Z_{2}}{\left({\vec {V}}_{h}-{\vec {C}}\right)}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{Z}$

где ⁠ ${\vec {C}}$⁠ — движение облака относительно земли.

Критические значения СРЗ ( ) относительной спиральности штормов для Северной развития торнадо, согласно исследованиям в Америке , являются:

• SRH = 150-299... возможны суперячейки при слабых торнадо по шкале Фудзиты
• SRH = 300-499... очень благоприятно для развития суперячейок и сильных торнадо.
• СРЗ > 450 ... сильные торнадо
• При расчете только на расстоянии менее 1 км (4000 футов) пороговое значение составляет 100.

Спиральность сама по себе не является единственным компонентом сильных гроз , и к этим значениям следует относиться с осторожностью. Индекс энергетической спиральности ( EHI Именно поэтому был создан ). Это результат СРЗ, умноженный на CAPE ( доступная конвективная потенциальная энергия ), а затем разделенный на пороговое значение CAPE:

$\mathrm {EHI} ={\frac {\mathrm {CAPE} \times \mathrm {SRH} }{\text{160,000}}}$

Это учитывает не только спиральность, но и энергию воздушного потока и, таким образом, пытается устранить слабый потенциал гроз даже в регионах с сильным СРЗ. Критические значения EHI:

• EHI = 1... возможны торнадо
• EHI = 1-2... торнадо от умеренного до сильного.
• EHI > 2 ... сильные торнадо

Ссылки

• Бэтчелор, Г.К. (1967, переиздано в 2000 г.) Введение в гидродинамику , Кембриджский университет. Нажимать
• Окитани, К., « Элементарный учет завихренности и родственные уравнения ». Издательство Кембриджского университета. 30 января 2005 г. ISBN   0-521-81984-9
• Хорин, А.Дж. , « Завихренность и турбулентность ». Прикладные математические науки, том 103, Springer-Verlag. 1 марта 1994 года. ISBN   0-387-94197-5
• Майда, А.Дж. и Бертоцци, А.Л., « Завихренность и несжимаемый поток ». Издательство Кембриджского университета; 1-е издание. 15 декабря 2001 г. ISBN   0-521-63948-4
• Триттон, DJ , « Физическая гидродинамика ». Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк. 1977. ISBN   0-19-854493-6
• Арфкен Г. « Математические методы для физиков », 3-е изд. Academic Press, Орландо, Флорида. 1985. ISBN   0-12-059820-5
• Моффатт, Гонконг (1969) Степень запутанности запутанных вихревых линий. Дж. Гидромеханика . 35 , стр. 117–129.
• Моффатт, Гонконг и Рикка, Р.Л. (1992) Спиральность и инвариант Калугреану. Учеб. Р. Сок. Лонд. А 439 , стр. 411–429.
• Томсон, В. (лорд Кельвин) (1868) О вихревом движении. Пер. Рой. Соц. Эдин. 25 , стр. 217–260.