Супермембраны

Супермембраны — это гипотетические объекты, которые существуют в 11-мерной теории, называемой М-теорией , и также должны существовать в одиннадцатимерной супергравитации . Супермембраны — это обобщение суперструн на другое измерение. Супермембраны представляют собой двумерные поверхности. Например, они могут быть сферическими или иметь форму тора . Как и в теории суперструн, колебания супермембран соответствуют разным частицам. Супермембраны также обладают симметрией, называемой суперсимметрией, без которой колебания соответствовали бы только бозонам , а не фермионам .

Энергия

Энергия классической супермембраны определяется площадью ее поверхности. Одним из следствий этого является отсутствие разницы между одной или двумя мембранами, поскольку две мембраны могут быть соединены длинной одномерной нитью нулевой площади. Следовательно, идея «числа мембран» не имеет смысла. Второе следствие состоит в том, что в отличие от струн колебания супермембраны могут представлять собой одновременно несколько частиц. С технической точки зрения это означает, что он уже «второквантован». Можно думать, что все частицы во Вселенной возникают как колебания одной мембраны.

Спектр

При переходе от классической теории к квантовой теории супермембран обнаруживается, что они могут существовать только в 11 измерениях, так же как суперструны могут существовать только в 10 измерениях. При исследовании энергетического спектра (разрешенных частот, на которых может колебаться струна) было обнаружено, что они могут находиться только в дискретных значениях, соответствующих массам разных частиц.

Было показано:

• Энергетический спектр классической бозонной мембраны непрерывен.
• Энергетический спектр квантовой бозонной мембраны дискретен.
• Энергетический спектр квантовой супермембраны непрерывен.

Сначала считалось, что открытие непрерывности спектра означает, что теория не имеет смысла. Но стало понятно, что это означает, что супермембраны на самом деле соответствуют множеству частиц. (Непрерывные степени свободы, соответствующие координатам/импульсам дополнительных частиц).

Действие

Действием классической мембраны является просто площадь поверхности мирового листа. Квантовую версию труднее записать, она нелинейна и ее очень сложно решить. В отличие от действия суперструны, которое является квадратичным, действие супермембраны является четвертым, что делает его экспоненциально более трудным. Если добавить к этому тот факт, что мембрана может представлять собой множество частиц одновременно, то в отношении супермембран не было достигнуто большого прогресса.

Низкоэнергетический сектор

Доказано, что низкоэнергетические колебания супермембраны соответствуют частицам в 11-мерной супергравитации .

Топология

Супермембрана может иметь несколько трубок или нитей, выходящих из нее, с небольшими дополнительными затратами энергии или без них, поскольку струны, например, не имеют площади. Это означает, что все ориентируемые топологии мембран физически одинаковы. Кроме того, соединенные и разделенные супермембраны физически одинаковы. Таким образом, топология супермембраны не имеет физического смысла.

Математика

Бесконечную супермембрану можно описать с помощью бесконечного числа участков. Координаты (каждого участка) супермембраны в любой случайный интервал времени являются 11-мерными и зависят от двух непрерывных параметров. $(\sigma ,\theta )$ и третий целочисленный параметр (k), обозначающий номер патча:

$X_{\mu }^{k}(\sigma ,\theta )=x_{\mu }^{k}+O(\sigma ,\theta )$

Следовательно, супермембрана может описывать бесконечное число частиц, если мы каким-то образом свяжем координату каждой частицы с каким-то топологическим свойством участков — возможно, дырками в мембране или замкнутыми петлями.

Супермембранная теория поля

Поскольку супермембраны соответствуют множественным частицам, полевая теория мембран соответствует пространству Фока . Неформально, пусть a (x) обозначает непрерывные степени свободы в энергетическом спектре:

$\Phi [X]=\Phi [x,\mathbf {a} ,..]=\phi (x)+\int \mathbf {a} (y)\phi (x,y)dy+\int \mathbf {a} (y)\mathbf {a} (z)\phi (x,y,z)dydz+...$

Действие можно записать как

$S=\int \Phi [X]\mathbf {Q} \Phi [X]D[X]$

где Q — кинетический оператор. Никаких условий взаимодействия не требуется, поскольку нет понятия количества мембран. Всё та же мембрана. Это действие не совсем того же типа, что и для суперструн или частиц, поскольку оно включает в себя термины с несколькими частицами. Члены, относящиеся к одиночным полям, должны восстанавливать классические уравнения поля Дирака , Максвелла и Эйнштейна . Пропагатор для перехода из состояния с мембраной X в другой конформный срез с мембраной Y :

$G(X,Y)=\mathbf {Q^{-1}} (X,Y)$

А поскольку каждой мембране соответствует любое количество одинаковых частиц, это эквивалентно всем функциям Грина для многих столкновений частиц одновременно!

Хотя кажется, что в картине супермембраны многое упрощается, реальная форма кинетического оператора Q пока неизвестна и должна быть очень сложным оператором, действующим в бесконечном фоковском пространстве. Следовательно, в этом операторе скрыта кажущаяся простота теории.

Космология

Поскольку колебания супермембраны с бесконечной энергией могут соответствовать сразу каждой частице во Вселенной, можно интерпретировать супермембрану как эквивалент Вселенной. т.е. все, что существует, это супермембрана. Нет никакой разницы, живем ли мы на этой супермембране или находимся в 11-мерном пространстве-времени. Каждое состояние Вселенной соответствует супермембране, а каждая история Вселенной соответствует надмембранному мировому объему. То, что мы считаем координатами пространства-времени, можно в равной степени рассматривать как векторные поля на 2+1-мерной супермембране.

Для супермембраны, движущейся со скоростью света, ее мировой объем может быть равен нулю из-за метрики (+++-) . Таким образом, Большой взрыв можно представить как сферическую мембрану, расширяющуюся со скоростью света. Это имеет интересные интерпретации с точки зрения голографического принципа .

Геометрия

Поскольку супермембрана(ы) соответствует всем частицам в определенном причинном интервале времени, она также соответствует всем частицам гравитонов (которые представляют собой определенные моды колебаний). Таким образом, геометрия 2+1D супермембраны содержит в себе описание геометрии (макроскопического) 10+1D пространства-времени. Но поскольку это квантовая теория, она дает вероятности для различных пространств-временей, согласующиеся с наблюдениями. Различные пространства-времени могут отличаться лишь микроскопически, тогда как макроскопическое пространство-время является гладким. Другими словами, геометрия мембраны определяет геометрию (макроскопического) пространства-времени. Это отличается от теории струн, где только конденсаты множества отдельных струн могут макроскопически определять пространство-время.

Супер-5-браны

М-теория и одиннадцатимерная супергравитация также предсказывают 5+1D объекты, называемые супер-5- бранами . Альтернативная космологическая теория утверждает, что мы живем на одной из этих бран.

Компактификация

Компактизация одного измерения пространства-времени на круге и обертывание мембраны вокруг этого круга дает нам теорию суперструн. Чтобы вернуться в нашу 3+1-мерную вселенную, координаты пространства-времени необходимо компактифицировать на 7-мерном многообразии (голономии G2). Об этих типах фигур известно не так много.

Теория матриц

Теория матриц — это особый способ формулировки теории супермембран. Он все еще находится в разработке. Диагональные элементы бесконечномерной матрицы можно рассматривать как различные супермембраны (части), соединенные одномерными струнами.

Ссылки

• Дж. Хьюз, Л. Джун, Дж. Полчински, «Супермембраны», Physics Letters B (1988)
• Янссон, Ронни (2003). Состояние мембранного вакуума (PDF) .
• Хау, Сезгин (2005). Супермембрана снова посетила . arXiv : hep-th/0412245 .