Гипотеза Бейтмана – Хорна

В теории чисел гипотеза Бейтмана -Хорна представляет собой утверждение о частоте простых чисел среди значений системы многочленов , названное в честь математиков Пола Т. Бейтмана и Роджера А. Хорна, которые предложили ее в 1962 году. Она обеспечивает обширное обобщение. таких гипотез, как гипотеза Харди и Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов или их гипотеза о простых числах вида n ² + 1; это также усиление гипотезы Шинцеля H.

Определение

Гипотеза Бейтмана-Хорна обеспечивает предполагаемую плотность целых положительных чисел, при которой все заданные многочлены имеют простые значения. Для набора из m различных неприводимых многочленов ƒ ₁ , ..., ƒ _m с целыми коэффициентами очевидным необходимым условием для того, чтобы многочлены одновременно генерировали простые значения бесконечно часто, является то, что они удовлетворяют свойству Буняковского , что не существует простого числа p , которое делит их произведение f ( n ) для каждого положительного целого числа n . Ибо, если бы существовало такое простое число p , то наличие всех значений многочленов, одновременно простых для данного n , означало бы, что хотя бы один из них должен быть равен p , что может произойти только для конечного числа значений n , иначе было бы многочлен с бесконечным числом корней, тогда как гипотеза состоит в том, как создать условия, при которых значения одновременно будут простыми для бесконечного числа n .

Целое число n является порождающим простые числа для данной системы многочленов, если каждый многочлен ƒ _i ( n ) дает простое число, если n является его аргументом. Если P ( x ) — количество порождающих простые целые числа среди положительных целых чисел, меньших x , то гипотеза Бейтмана-Хорна утверждает, что

$P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,$

где D — произведение степеней многочленов, а C — произведение простых чисел p

$C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m}}}\$

с $N(p)$ количество решений,

$f(n)\equiv 0{\pmod {p}}.\$

Собственность Буняковского подразумевает $N(p)<p$ для всех простых чисел p ,поэтому каждый фактор в бесконечном продукте C положителен.Интуитивно естественно ожидать, что константа C сама по себе положительна, и приложив некоторую работу, это можно доказать.(Работа необходима, поскольку некоторые бесконечные произведения положительных чисел равны нулю.)

Отрицательные числа

Как указано выше, гипотеза неверна: единственный многочлен ƒ ₁ ( x ) = − x дает только отрицательные числа при наличии положительного аргумента, поэтому доля простых чисел среди его значений всегда равна нулю. Есть два одинаково эффективных способа уточнить гипотезу, чтобы избежать этой трудности:

• Можно потребовать, чтобы все полиномы имели положительные старшие коэффициенты, чтобы только постоянное число их значений могло быть отрицательным.
• В качестве альтернативы можно разрешить отрицательные ведущие коэффициенты, но считать отрицательное число простым, если его абсолютное значение является простым.

Разумно разрешить отрицательным числам считаться простыми в качестве шага к формулированию более общих гипотез, применимых к другим системам чисел, кроме целых, но в то же время это легкопри необходимости просто отрицать полиномы, чтобы свести их к случаю, когда старшие коэффициенты положительны.

Примеры

Если система многочленов состоит из одного многочлена ƒ ₁ ( x ) = x , то значения n, для которых ƒ ₁ ( n ) является простым, сами являются простыми числами, и гипотеза становится переформулировкой теоремы о простых числах .

Если система многочленов состоит из двух многочленов ƒ ₁ ( x ) = x и ƒ ₂ ( x ) = x + 2, то значения n , для которых оба ƒ ₁ ( n ) и ƒ ₂ ( n ), являются простыми, равны просто меньшее из двух простых чисел в каждой паре простых чисел-близнецов . В этом случае гипотеза Бейтмана–Хорна сводится к гипотезе Харди–Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов, согласно которой число пар простых чисел-близнецов меньше x равно

$\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\approx 1.32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.$

Аналог для многочленов над конечным полем

Когда целые числа заменяются кольцом многочленов F [ u ] для конечного поля F , можно задаться вопросом, как часто конечный набор многочленов f _i ( x ) из F [ u ] [ x ] одновременно принимает неприводимые значения в F [ u ] когда мы заменяем x элементами F [ u ]. Хорошо известные аналогии между целыми числами и F [ u ] предполагают аналог гипотезы Бейтмана–Хорна над F [ u ], но аналог неверен. Например, данные показывают, что полином

$x^{3}+u\,$

в F ₃ [ u ][ x ] принимает (асимптотически) ожидаемое количество неприводимых значений, когда x пробегает полиномы в F ₃ [ u ] нечетной степени, но кажется, что оно принимает (асимптотически) вдвое больше неприводимых значений, чем ожидалось, когда x пробегает полиномы степени 2 по модулю 4, в то время как он (доказуемо) не вообще принимает неприводимых значений, когда x пробегает непостоянные многочлены степени, кратной 4. Аналог гипотезы Бейтмана–Хорна над F [ u ] который соответствует числовым данным, использует дополнительный фактор в асимптотике, который зависит от значения d mod 4, где d — степень полиномов в F [ u ], по которым x производится выборка .

Ссылки

• Бейтман, Пол Т.; Хорн, Роджер А. (1962), «Эвристическая асимптотическая формула, касающаяся распределения простых чисел», Mathematics of Computation , 16 (79): 363–367, doi : 10.2307/2004056 , JSTOR   2004056 , MR   0148632 , Zbl   0105.03302
• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-20860-2 , Збл   1058.11001
• Фридлендер, Джон; Гранвиль, Эндрю (1991), «Ограничения на равнораспределение простых чисел. IV.», Proceedings of the Royal Society A , 435 (1893): 197–204, Бибкод : 1991RSPSA.435..197F , doi : 10.1098/ рспа.1991.0138 .
• Сорен Лэнг Алетия-Зомлефер; Ленни Фукшанский; Стефан Рамон Гарсия (25 июля 2018 г.), ОДНА ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ, ЧТОБЫ ПРАВИТЬ ИМ ВСЕМИ: БЕЙТМАН – ХОРН , стр. 1–45, arXiv : 1807.08899