Мяч (математика)

В математике шар , — это объемная фигура ограниченная сферой ; его еще называют твердой сферой . ^[1] Это может быть закрытый шар (включая граничные точки , составляющие сферу) или открытый шар (исключая их).

Эти понятия определены не только в трехмерном евклидовом пространстве , но также для низших и высших измерений, а также для метрических пространств в целом. Шар n в $или$ измерениях называется гипершаром или $n$ -шаром и ограничен гиперсферой ( n − $1)$ -сферой . Так, например, шар в евклидовой плоскости — это то же самое, что и диск , площадь, ограниченная кругом . В евклидовом трехмерном пространстве под шаром понимается объем, ограниченный двумерной сферой . В одномерном пространстве шар представляет собой отрезок прямой .

В других контекстах, например, в евклидовой геометрии и в неформальном использовании, сфера иногда используется для обозначения шара . В области топологии закрытые $n$ -мерный шар часто обозначается как $B^{n}$ или $D^{n}$ в то время как открытый $n$ -мерный шар $\operatorname {Int} B^{n}$ или $\operatorname {Int} D^{n}$ .

В евклидовом пространстве

В евклидовом $n$ -пространстве (открытый) $n$ -шар радиуса $r$ и центра $x$ представляет собой набор всех точек, находящихся на расстоянии меньше $r$ от $x$ . Замкнутый $n$ -шар радиуса $r$ — это набор всех точек, находящихся на расстоянии меньшем или равном $r$ от $x$ .

В евклидовом $n$ -пространстве каждый шар ограничен гиперсферой . Шар представляет собой ограниченный интервал, когда $n = 1$ , является диском , ограниченным кругом , когда $n = 2$ , и ограничен сферой, когда n $= 3$ .

Объем

-мерный объем $n$ евклидова шара радиуса $r$ в $n$ -мерном евклидовом пространстве равен: ^[2] $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},$ где $Γ$ — Леонарда Эйлера ( гамма-функция которую можно рассматривать как расширение факториала на дробные аргументы). Использование явных формул для конкретных значений гамма-функции в целых и полуцелых числах дает формулы для объема евклидова шара, которые не требуют вычисления гамма-функции. Это: ${\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}$

В формуле нечетных объемов двойной факториал $(2k + 1)!!$ определяется для нечетных целых чисел $2 k + 1$ как $(2 k + 1)!! знак равно 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ .

В общих метрических пространствах

Пусть $(M, d)$ — метрическое пространство , а именно множество $M$ с метрикой (функцией расстояния) $d$ . Открытый (метрический) шар радиуса $r > 0$ с центром в точке $p$ в $M$ , обычно обозначаемый $B r (p)$ или $B (p; r)$ , определяется выражением $B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},$

Замкнутый (метрический) шар, который можно обозначить $B r [p]$ или $B [p; r]$ определяется формулой $B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.$

Обратите внимание, в частности, что шар (открытый или закрытый) всегда включает в себя $сам p$ , поскольку определение требует $r > 0$ .

Единичный шар (открытый или закрытый) — это шар радиуса 1.

Шар в общем метрическом пространстве не обязательно должен быть круглым. Например, шар в реальном координатном пространстве под расстоянием Чебышева является гиперкубом , а шар под расстоянием такси — перекрестным многогранником .

Подмножество метрического пространства ограничено , если оно содержится в некотором шаре. Множество полностью ограничено , если для любого положительного радиуса оно покрыто конечным числом шаров этого радиуса.

Открытые шары метрического пространства могут служить базой , придавая этому пространству топологию , открытые множества которой представляют собой все возможные объединения открытых шаров. Эта топология метрического пространства называется топологией, индуцированной метрикой $d$ .

Обозначим через $(Br p) замыкание$ открытого этой шара $Br в (p)$ топологии. Хотя это всегда так, что $B r (p) \subseteq B r (p) \subseteq B r [p]$ , это не всегда так, что $B r (p) = B r [p]$ . Например, в метрическом пространстве $X$ с дискретной метрикой имеем $B 1 (p) = {p}$ и $B 1 [p] = X$ для любого $p \in X$ .

В нормированных векторных пространствах

Любое нормированное векторное пространство $V$ с нормой $\|\cdot \|$ также является метрическим пространством с метрикой $d(x,y)=\|x-y\|.$ В таких пространствах произвольный шар $B_{r}(y)$ очков $x$ вокруг точки $y$ с расстояния менее $r$ можно рассматривать как масштабированное (по $r$ ) и переведено (автор $y$ ) копия единичного шара $B_{1}(0).$ Такие «центрированные» шары с $y=0$ обозначаются $B(r).$

Евклидовы шары, обсуждавшиеся ранее, являются примером шаров в нормированном векторном пространстве.

$р$ -норма

В декартовом пространстве $R н$ с $p$ -нормой $L p$ , т.е. $\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},$ открытый шар вокруг начала координат с радиусом $r$ задается набором $B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.$

Для $n = 2$ в двумерной плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ , «шары» по $L 1$ -норме (часто называемой таксистной или манхэттенской метрикой) ограничены квадратами, диагонали которых параллельны осям координат; те, которые соответствуют $L \infty$ -норме, также называемой метрикой Чебышева , имеют в качестве границ квадраты со сторонами, параллельными осям координат. L $p 2$ известная как евклидова метрика, порождает хорошо известные диски внутри окружностей, а при других значениях $-норма ,$ соответствующие шары представляют собой области, ограниченные кривыми Ламе (гипоэллипсами или гиперэллипсами).

При $n = 3$ L $, 1$ -шары находятся внутри октаэдров с диагоналями тела , ориентированными по осям , $L \infty$ ориентированными по осям -шары находятся внутри кубов с рёбрами , а границы шаров для $L p$ с $p > 2$ являются суперэллипсоидами . Очевидно, что $p = 2$ порождает внутреннюю часть обычной сферы.

Общая выпуклая норма

В более общем смысле, если любое центрально симметричное , ограниченное , открытое и выпуклое подмножество $X$ в $R н$ , можно определить норму на $R н$ где все шары представляют собой переведенные и равномерно масштабированные копии $X$ . Обратите внимание, что эта теорема не выполняется, если «открытое» подмножество заменяется «закрытым» подмножеством, поскольку исходная точка квалифицирует, но не определяет норму на $R. н$ .

В топологических пространствах

О шарах можно говорить в любом топологическом пространстве $X$ , не обязательно индуцированном метрикой. (Открытый или закрытый) $n$ -мерный топологический шар X $n$ — это любое подмножество $X$ ( , гомеоморфное открытому или замкнутому) евклидову $-$ шару. Топологические $n$ -шары играют важную роль в комбинаторной топологии как строительные блоки клеточных комплексов .

Любой открытый топологический $n$ -шар гомеоморфен декартову пространству $R н$ и открытому элементу $n$ -куба (гиперкуба) $(0, 1) н \subseteq Р н$ . Любой замкнутый топологический $n$ -шар гомеоморфен замкнутому $n$ -кубу $[0, 1] н$ .

- шар $n$ гомеоморфен $m$ -шару тогда и только тогда, когда $n = m$ . Гомеоморфизмы между открытым $n$ -шаром $B$ и $R н$ класса, которые можно отождествить с двумя возможными топологическими ориентациями B $.$ можно разделить на два

Топологический $n$ -шар не обязательно должен быть гладким ; если он гладкий, он не обязательно должен быть диффеоморфен евклидову $n$ -шару.

Регионы

Для шара можно определить ряд особых областей:

шапка , ограниченная одной плоскостью
сектор , ограниченный конической границей с вершиной в центре сферы
отрезок , ограниченный парой параллельных плоскостей
оболочка , ограниченная двумя концентрическими сферами разного радиуса
клин , ограниченный двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и поверхность сферы

См. также

Мяч – обычное значение
Диск (математика)
Формальный шар , расширение отрицательных радиусов.
Соседство (математика)
Сфера , аналогичная геометрическая форма
3-сфера
$n$ -сфера или гиперсфера
Александр рогатая сфера
Коллектор
Объем $н$ -шара
Октаэдр – шар-3 в $метрике l 1$ .

Ссылки

^ Сугаккай, Нихон (1993). Энциклопедический словарь математики . МТИ Пресс . ISBN 9780262590204 .
^ Уравнение 5.19.4, Цифровая библиотека математических функций NIST . [1] Версия 1.0.6 от 06 мая 2013 г.

Смит, диджей; Ваманамурти, МК (1989). «Насколько мал единичный шар?». Журнал «Математика» . 62 (2): 101–107. дои : 10.1080/0025570x.1989.11977419 . JSTOR 2690391 .
Даукер, Дж. С. (1996). «Условия Робина на евклидовом шаре». Классическая и квантовая гравитация . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th/9506042 . Бибкод : 1996CQGra..13..585D . дои : 10.1088/0264-9381/13/4/003 . S2CID 119438515 .
Грубер, Питер М. (1982). «Изометрии пространства выпуклых тел, содержащихся в евклидовом шаре». Израильский математический журнал . 42 (4): 277–283. дои : 10.1007/BF02761407 . S2CID 119483499 .

[1] Сугаккай, Нихон (1993). Энциклопедический словарь математики . МТИ Пресс . ISBN 9780262590204 .

[2] Уравнение 5.19.4, Цифровая библиотека математических функций NIST . [1] Версия 1.0.6 от 06 мая 2013 г.

[1]

[2]