Мясная группа

В математике группа Батчера , названная в честь новозеландского математика Джона К. Батчера Хайером и Ваннером (1974) , представляет собой бесконечномерную группу Ли. впервые введен в численный анализ для исследования решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутты . Он возник из алгебраического формализма, включающего корневые деревья , который обеспечивает формальные степенные решения дифференциального уравнения, моделирующего поток векторного поля . Именно Кэли (1857) , вдохновленный работой Сильвестра по замене переменных в дифференциальном исчислении , первым заметил, что производные композиции функций можно удобно выразить в терминах корневых деревьев и их комбинаторики.

Конн и Креймер (1999) отметили, что группа Батчера — это группа характеров алгебры Хопфа корневых деревьев, которая возникла независимо в их собственных работах по перенормировке в квантовой теории поля и в работе Конна с Московичи над теоремами о локальном индексе . Эта алгебра Хопфа, часто называемая алгеброй Конна-Креймера , по существу эквивалентна группе Батчера, поскольку ее двойственная алгебра может быть отождествлена ​​с универсальной обертывающей алгеброй группы алгебры Ли Батчера. Как они прокомментировали:

Мы рассматриваем работу Батчера по классификации методов численного интегрирования как впечатляющий пример того, что конкретная проблемно-ориентированная работа может привести к далеко идущим концептуальным результатам.

Дифференциалы и корневые деревья

Деревья с корнем с двумя, тремя и четырьмя узлами из оригинальной статьи Кэли.

Корневое дерево — это граф с выделенным узлом, называемым корнем , в котором каждый второй узел соединен с корнем уникальным путем. Если корень дерева t удалить и узлы, соединенные с исходным узлом одинарной связью, принять за новые корни, дерево t разбивается на корневые деревья t ₁ , t ₂ ,... Обратный процесс - новое дерево t = [ t ₁ , t ₂ , ...] может быть построено путем объединения корней деревьев в новый общий корень. Число узлов в дереве обозначается | т |. Упорядочение | корневого дерева t — это распределение чисел от 1 до т | к узлам так, чтобы числа увеличивались на любом пути, отходящем от корня. Два упорядочения кучи эквивалентны , если существует автоморфизм корневых деревьев, отображающий одно из них в другое. Число классов эквивалентности упорядочений кучи на конкретном дереве обозначается α( t ) и может быть вычислено по формуле Мясника:

$\displaystyle \alpha (t)={|t|! \over t!|S_{t}|},$

где S _t обозначает группу симметрии t , а факториал дерева определяется рекурсивно формулой

$[t_{1},\dots ,t_{n}]!=|[t_{1},\dots ,t_{n}]|\cdot t_{1}!\cdots t_{n}!$

с факториалом дерева изолированного корня, равным 1

$\bullet !=1.$

Обыкновенное дифференциальное уравнение потока векторного поля на открытом подмножестве U в R ^Н можно написать

$\displaystyle {dx(s) \over ds}=f(x(s)),\,\,x(0)=x_{0},$

где x ( s ) принимает значения в U , f — гладкая функция от U до R ^Н и x ₀ — начальная точка потока в момент времени s = 0.

Кэли (1857) предложил метод вычисления производных высшего порядка x ^{( м )} ( s ) в терминах корневых деревьев. Его формулу удобно выразить с помощью элементарных дифференциалов, введенных Бутчером. Они определяются индуктивно как

$\delta _{\bullet }^{i}=f^{i},\,\,\,\delta _{[t_{1},\dots ,t_{n}]}^{i}=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=1}^{N}(\delta _{t_{1}}^{j_{1}}\cdots \delta _{t_{n}}^{j_{n}})\partial _{j_{1}}\cdots \partial _{j_{n}}f^{i}.$

С этим обозначением

${d^{m}x \over ds^{m}}=\sum _{|t|=m}\alpha (t)\delta _{t},$

давая разложение в степенной ряд

$\displaystyle x(s)=x_{0}+\sum _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)\delta _{t}(0).$

Например, когда N = 1, так что x и f являются вещественными функциями одной действительной переменной, формула дает

$x^{(4)}=f^{\prime \prime \prime }f^{3}+3f^{\prime \prime }f^{\prime }f^{2}+f^{\prime }f^{\prime \prime }f^{2}+(f^{\prime })^{3}f,$

где четыре термина соответствуют четырем корневым деревьям слева направо на рисунке 3 выше.

С одной переменной эта формула аналогична формуле Фаа ди Бруно 1855 года; однако в некоторых переменных его следует записать более аккуратно в виде

$x^{(4)}=f^{\prime \prime \prime }(f,f,f)+3f^{\prime \prime }(f,f^{\prime }(f))+f^{\prime }(f^{\prime \prime }(f,f))+f^{\prime }(f^{\prime }(f^{\prime }(f))),$

где древовидная структура имеет решающее значение.

Определение с использованием алгебры Хопфа корневых деревьев

Алгебра Хопфа H корневых деревьев была определена Конном и Креймером (1998) в связи с перенормировке предыдущей работой Креймера по в квантовой теории поля . Позже было обнаружено, что алгебра Хопфа была двойственной алгебре Хопфа, определенной ранее Гроссманом и Ларсоном (1989) в другом контексте. Характеры H , то есть гомоморфизмы базовой коммутативной алгебры в R , образуют группу, называемую группой Мясника . Это соответствует формальной групповой структуре, открытой Батчером (1972) в анализа ходе численного .

Алгебра Хопфа корневых деревьев H определяется как кольцо многочленов от переменных t , где t проходит через корневые деревья.

• Его коумножение $\Delta :H\rightarrow H\otimes H$ определяется

$\Delta (t)=t\otimes I+I\otimes t+\sum _{s\subset t}s\otimes [t\backslash s],$

где сумма ведется по всем собственным корневым поддеревьям s дерева t ; $[t\backslash s]$ — моном, заданный произведением переменных t _i, образованных корневыми деревьями, возникающими при стирании всех узлов s и связанных связей из t . Число таких деревьев обозначается n ( t \ s ).

• Его единицей является гомоморфизм ε группы H в R, переводящий каждую переменную t в ноль.
• Его антипод S можно определить рекурсивно по формуле

$S(t)=-t-\sum _{s\subset t}(-1)^{n(t\backslash s)}S([t\backslash s])s,\,\,\,S(\bullet )=-\bullet .$

Группа Батчера определяется как множество гомоморфизмов алгебры φ группы H в R со структурой группы .

$\varphi _{1}\star \varphi _{2}(t)=(\varphi _{1}\otimes \varphi _{2})\Delta (t).$

Обратное в группе Мясника имеет вид

$\varphi ^{-1}(t)=\varphi (St)$

и тождество по счету ε.

Используя комплексные коэффициенты при построении алгебры Хопфа корневых деревьев, получаем комплексную алгебру Хопфа корневых деревьев.Его C -значные символы образуют группу, называемую комплексной группой Батчера G _C . Комплексная группа Батчера G _C — это бесконечномерная комплексная группа Ли. которая появляется как игрушечная модель в § «Перенормировка квантовых теорий поля».

Ряд Мясника и метод Рунге – Кутты

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение

${dx(s) \over ds}=f(x(s)),\,\,\,x(0)=x_{0},$

может быть решена приближенно методом Рунге–Кутты . Для этой итеративной схемы требуется размера m x m. матрица

$A=(a_{ij})$

и вектор

$b=(b_{i})$

с m компонентами.

Схема определяет векторы x _n, сначала находя решение X ₁ , ... X _m ,

$X_{i}=x_{n-1}+h\sum _{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j})$

а затем установка

$x_{n}=x_{n-1}+h\sum _{j=1}^{m}b_{j}f(x_{j}).$

Батчер (1963) показал, что решение соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений

$X_{i}(s)=x_{0}+s\sum _{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j}(s)),\,\,\,x(s)=x_{0}+s\sum _{j=1}^{m}b_{j}f(X_{j}(s))$

имеет разложение в степенной ряд

$X_{i}(s)=x_{0}+\sum _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)t!\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\varphi _{j}(t)\delta _{t}(0),\,\,\,\,x(s)=x_{0}+\sum _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)t!\varphi (t)\delta _{t}(0),$

где φ _j и φ определяются рекурсивно по формуле

$\varphi _{j}(\bullet )=1.\,\,\,\varphi _{i}([t_{1},\cdots ,t_{k}])=\sum _{j_{1},\dots ,j_{k}}a_{ij_{1}}\dots a_{ij_{k}}\varphi _{j_{1}}(t_{1})\dots \varphi _{j_{k}}(t_{k})$

и

$\varphi (t)=\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(t).$

Вышеуказанные силовые серии называются B-серией или серией Мясника . Соответствующее присваивание φ является элементом группы Батчера. Гомоморфизм, соответствующий реальному потоку, имеет

$\Phi (t)={1 \over t!}.$

Батчер показал, что метод Рунге-Кутты дает n-го аппроксимацию реального потока порядка при условии, что φ и Φ согласуются на всех деревьях с n узлами или меньше. Более того, Бутчер (1972) показал, что гомоморфизмы, определенные методом Рунге–Кутты, образуют плотную подгруппу группы Батчера: фактически он показал, что для данного гомоморфизма φ' существует гомоморфизм Рунге–Кутты φ, согласованный с φ' заказать н ; и что если даны гомоморфимы φ и φ', соответствующие данным Рунге–Кутты ( A , b ) и ( A' , b' ), гомоморфизм произведения $\varphi \star \varphi ^{\prime }$ соответствует данным

${\begin{pmatrix}A&0\\0&A^{\prime }\\\end{pmatrix}},\,\,(b,b^{\prime }).$

Хайрер и Ваннер (1974) доказали, что группа Батчера естественным образом действует на функции f . Действительно, постановка

$\varphi \circ f=1+\sum _{t}{s^{|t|} \over |t|!}\alpha (t)t!\varphi (t)\delta _{t}(0),$

они доказали это

$\varphi _{1}\circ (\varphi _{2}\circ f)=(\varphi _{1}\star \varphi _{2})\circ f.$

Алгебра Ли

Конн и Креймер (1998) показали, что с группой Батчера G связана бесконечномерная алгебра Ли. Существование этой алгебры Ли предсказывает теорема Милнора и Мура (1965) : из коммутативности и естественной градуировки на H следует, что градуированная двойственная H * может быть отождествлена ​​с универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$. Конн и Краймер четко идентифицируют ${\mathfrak {g}}$ с пространством дифференцирований θ группы H в R , т.е. линейными отображениями такими, что

$\theta (ab)=\varepsilon (a)\theta (b)+\theta (a)\varepsilon (b),$

формальное касательное пространство к G в единице ε. Это образует алгебру Ли со скобкой Ли.

$[\theta _{1},\theta _{2}](t)=(\theta _{1}\otimes \theta _{2}-\theta _{2}\otimes \theta _{1})\Delta (t).$

${\mathfrak {g}}$ порождается дифференцированием θ _t, определяемым формулой

$\theta _{t}(t^{\prime })=\delta _{tt^{\prime }},$

для каждого корневого дерева t .

Бесконечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ из Connes & Kreimer (1998) и алгебра Ли L(G) группы Батчера как бесконечномерная группа Ли не одно и то же. Алгебра Ли L(G) может быть отождествлена ​​с алгеброй Ли всех дифференцирований в двойственном к H (т.е. пространстве всех линейных отображений из H в R ), тогда как ${\mathfrak {g}}$ получается из градуированного дуала. Следовательно ${\mathfrak {g}}$ оказывается (строго меньшей) подалгеброй Ли в L(G) .

Перенормировка

Конн и Краймер (1998) предоставили общий контекст для использования алгебраических методов Хопфа , чтобы дать простую математическую формулировку перенормировки в квантовой теории поля . Перенормировка интерпретировалась как факторизация по Биркгофу петель в группе характеров ассоциированной алгебры Хопфа. Модели, рассмотренные Краймером (1999), имели алгебру Хопфа H и группу характеров G , группу Батчера. Броудер (2000) описал этот процесс перенормировки с точки зрения данных Рунге – Кутты.

В этой упрощенной настройке перенормируемая модель имеет две части входных данных:

• набор правил Фейнмана , заданный гомоморфизмом алгебры Φ группы H в алгебру V по рядов Лорана z с полюсами конечного порядка;
• схема перенормировки, заданная линейным оператором R на V, такая, что R удовлетворяет тождеству Роты–Бакстера

$R(fg)+R(f)R(g)=R(fR(g))+R(R(f)g)$

а образ R – id лежит в алгебре V ₊ степенных рядов по z .

Обратите внимание, что R удовлетворяет тождеству Роты-Бакстера тогда и только тогда, когда id – R удовлетворяет. Важным примером является схема минимального вычитания.

$\displaystyle R(\sum _{n}a_{n}z^{n})=\sum _{n<0}a_{n}z^{n}.$

существует проекция P H Кроме того , на идеал приращения ker ε, заданный формулой

$\displaystyle P(x)=x-\varepsilon (x)1.$

Чтобы определить перенормированные правила Фейнмана, обратите внимание, что антипод S удовлетворяет условию

$m\circ (S\otimes {\rm {id}})\Delta (x)=\varepsilon (x)1$

так что

$S=-m\circ (S\otimes P)\Delta ,$

Перенормированные правила Фейнмана задаются гомоморфизмом $\Phi _{S}^{R}$ группы H в V, полученный скручиванием гомоморфизма Φ • S. Гомоморфизм $\Phi _{S}^{R}$ однозначно определяется

$\Phi _{S}^{R}=-m(S\otimes \Phi _{S}^{R}\circ P)\Delta .$

Благодаря точному виду Δ это дает рекурсивную формулу для $\Phi _{S}^{R}$.

Для минимальной схемы вычитания этот процесс можно интерпретировать в терминах факторизации Биркгофа в комплексной группе Батчера. Φ можно рассматривать как отображение γ единичной окружности в комплексификацию G _C группы G (отображается в C вместо R ). Таким образом, он имеет факторизацию Биркгофа.

$\displaystyle \gamma (z)=\gamma _{-}(z)^{-1}\gamma _{+}(z),$

где γ ₊ голоморфен сфере внутри единичного замкнутого круга, а γ _– голоморфен в своем дополнении в Римана C $\cup \{\infty \}$ причем γ _– (∞) = 1. Петля γ ₊ соответствует перенормированному гомоморфизму. Оценка при z γ ₊ или перенормированного гомоморфизма = 0 дает размерно регуляризованные значения для каждого корневого дерева.

Например, правила Фейнмана зависят от дополнительного параметра μ, «единицы массы». Конн и Краймер (2001) показали, что

$\partial _{\mu }\gamma _{\mu -}=0,$

так что γ _µ– не зависит от µ.

Комплексная группа Батчера имеет естественную однопараметрическую группу автоморфизмов λ _w , двойственную группе на H

$\lambda _{w}(t)=w^{|t|}t$

для w 0 в C. ≠

Петли γ _µ и λ _w · γ _µ имеют одну и ту же отрицательную часть и при t вещественном

$\displaystyle F_{t}=\lim _{z=0}\gamma _{-}(z)\lambda _{tz}(\gamma _{-}(z)^{-1})$

определяет однопараметрическую подгруппу комплексной группы Батчера GC _, называемую потоком ренормгруппы (RG).

Ее инфинитезимальный генератор β является элементом алгебры Ли группы и _GC определяется формулой

$\beta =\partial _{t}F_{t}|_{t=0}.$

Она называется бета-функцией модели.

В любой данной модели обычно существует конечномерное пространство комплексных констант связи. Комплексная группа Батчера действует на этом пространстве диффеоморфизмами. В частности, ренормгруппа определяет поток в пространстве констант связи, причем бета-функция задает соответствующее векторное поле.

Более общие модели в квантовой теории поля требуют замены корневых деревьев диаграммами Фейнмана с вершинами, украшенными символами из конечного набора индексов. Конн и Краймер также определили алгебры Хопфа в этом контексте и показали, как их можно использовать для систематизации стандартных вычислений в теории перенормировок.

Пример

Краймер (2007) предложил «игрушечную модель», включающую размерную регуляризацию для H и алгебры V . Если c — положительное целое число, а q _µ = q /µ — безразмерная константа, правила Фейнмана можно определить рекурсивно следующим образом:

$\displaystyle \Phi ([t_{1},\dots ,t_{n}])=\int {\Phi (t_{1})\cdots \Phi (t_{n}) \over |y|^{2}+q_{\mu }^{2}}(|y|^{2})^{-z({c \over 2}-1)}\,d^{D}y,$

где z = 1 – D /2 – параметр регуляризации. Эти интегралы можно вычислить явно через гамма-функцию по формуле

$\displaystyle \int {(|y|^{2})^{-u} \over |y|^{2}+q_{\mu }^{2}}\,d^{D}y=\pi ^{D/2}(q_{\mu }^{2})^{-z-u}{\Gamma (-u+D/2)\Gamma (1+u-D/2) \over \Gamma (D/2)}.$

В частности

$\displaystyle \Phi (\bullet )=\pi ^{D/2}(q_{\mu }^{2})^{-zc/2}{\Gamma (1+cz) \over cz}.$

Используя схему перенормировки R минимального вычитания, перенормированные величины $\Phi _{S}^{R}(t)$ являются полиномами в $\log q_{\mu }^{2}$ при оценке при z = 0.

Ссылки

• Бергбауэр, Кристоф; Краймер, Дирк (2005), «Алгебра Хопфа корневых деревьев в перенормировке Эпштейна-Глейзера», Annales Henri Poincaré , 6 (2): 343–367, arXiv : hep-th/0403207 , Bibcode : 2005AnHP....6 ..343B , doi : 10.1007/s00023-005-0210-3 , S2CID   16100842
• Буте де Монвель, Луи (2003), «Алгебра Хопфа диаграмм Фейнмана, перенормировка и факторизация Винера-Хопфа (по А. Конну и Д. Креймеру). [Алгебра Хопфа диаграмм Фейнмана, перенормировка и факторизация Винера-Хопфа (по А. Конн и Д. Креймер)]» (PDF) , Asterisk , Séminaire Bourbaki , 290 : 149–165
• Броудер, Кристиан (2000), «Методы Рунге – Кутты и перенормировка», Eur. Физ. J. C , 12 (3): 521–534, arXiv : hep-th/9904014 , Bibcode : 2000EPJC...12..521B , doi : 10.1007/s100529900235 , S2CID   16539907
• Богфьельмо, Г.; Шмединг, А. (2015), «Групповая структура Ли группы Мясника», Foundations of Computational Mathematics , 17 (1): 127–159, arXiv : 1410.4761 , doi : 10.1007/s10208-015-9285-5 , S2CID   27789611
• Броудер, Кристиан (2004), «Деревья, перенормировка и дифференциальные уравнения», BIT Numerical Mathematics , 44 (3): 425–438, CiteSeerX   10.1.1.180.7535 , doi : 10.1023/B:BITN.0000046809.66837.cc , S2CID   7977 686
• Батчер, Дж. К. (1963), «Коэффициенты для изучения интеграционных процессов Рунге-Кутты», J. Austral. Математика. Соц. , 3 (2): 185–201, doi : 10.1017/S1446788700027932
• Батчер, Дж. К. (1972), "Алгебраическая теория методов интегрирования", Math. Вычислить. , 26 (117): 79–106, номер документа : 10.2307/2004720 , JSTOR   2004720.
• Батчер, Джон К. (2008), Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), John Wiley & Sons Ltd., ISBN  978-0-470-72335-7 , МР   2401398
• Батчер, Дж. К. (2009), «Деревья и численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений», Numerical Algorithms , 53 (2–3): 153–170, doi : 10.1007/s11075-009-9285-0 , S2CID   41661943
• Кэли, Артур (1857), «К теории аналитических форм, называемых деревьями» , Philosophical Magazine , XIII : 172–176 (также в томе 3 Собрания сочинений Кэли, страницы 242–246)
• Конн, Ален ; Краймер, Дирк (1998), «Алгебры Хопфа, перенормировка и некоммутативная геометрия» (PDF) , Communications in Mathematical Physics , 199 (1): 203–242, arXiv : hep-th/9808042 , Bibcode : 1998CMaPh.199..203C , doi : 10.1007/s002200050499 , S2CID   10371164
• Конн, Ален ; Краймер, Дирк (1999), «Уроки квантовой теории поля: алгебры Хопфа и геометрия пространства-времени», Letters in Mathematical Physics , 48 : 85–96, doi : 10.1023/A:1007523409317 , S2CID   117848361
• Конн, Ален ; Краймер, Дирк (2000), «Перенормировка в квантовой теории поля и проблема Римана-Гильберта. I. Структура графов в алгебре Хопфа и основная теорема» (PDF) , Commun. Математика. Физ. , 210 (1): 249–273, arXiv : hep-th/9912092 , Bibcode : 2000CMaPh.210..249C , doi : 10.1007/s002200050779 , S2CID   17448874
• Конн, Ален ; Краймер, Дирк (2001), «Перенормировка в квантовой теории поля и проблема Римана-Гильберта. II. β-функция, диффеоморфизмы и ренормгруппа» (PDF) , Commun. Математика. Физ. , 216 (1): 215–241, arXiv : hep-th/0003188 , Bibcode : 2001CMaPh.216..215C , doi : 10.1007/PL00005547 , S2CID   10349737
• Грейс-Бонд, Джозеф; Варилли, Джозеф К.; Фигероа, Гектор (2000), Элементы некоммутативной геометрии , Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4124-5 , Глава 14.
• Гроссман, Р.; Ларсон, Р. (1989), «Алгебраические структуры Хопфа семейств деревьев», Journal of Algebra , 26 : 184–210, doi : 10.1016/0021-8693(89)90328-1
• Хайрер, Э.; Ваннер, Г. (1974), «О группе Мясника и общих многозначных методах», Computing , 13 : 1–15, doi : 10.1007/BF02268387 , S2CID   21392760
• Краймер, Дирк (1998), "О структуре алгебры Хопфа пертурбативных квантовых теорий поля", Адв. Теор. Математика. Физ. , 2 (2): 303–334, arXiv : q-alg/9707029 , Bibcode : 1997q.alg.....7029K , doi : 10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a4 , S2CID   7018827
• Креймер, Дирк (1999), «Повторный интеграл Чена представляет собой расширение продукта оператора», Adv. Теор. Математика. Физ. , 3 (3): 627–670, arXiv : hep-th/9901099 , Bibcode : 1999hep.th....1099K , doi : 10.4310/ATMP.1999.v3.n3.a7 , S2CID   1174142
• Краймер, Дирк (2007), Факторизация в квантовой теории поля: упражнение по алгебрам Хопфа и локальным особенностям , Границы теории чисел, физики и геометрии II, Springer, стр. 715–736, arXiv : hep-th/0306020 , Bibcode : 2003г.ч....6020К
• Милнор, Джон Уиллард ; Мур, Джон К. (1965), «О структуре алгебр Хопфа» , Annals of Mathematics , Second Series, 81 (2): 211–264, doi : 10.2307/1970615 , JSTOR   1970615 , MR   0174052
• Джон К. Батчер: «Серия B: алгебраический анализ численных методов», Springer (SSCM, том 55), ISBN 978-3030709556 (апрель 2021 г.).