Дифференциальная градуированная алгебра

В математике , в частности в гомологической алгебре , дифференциально-градуированная алгебра — это градуированная ассоциативная алгебра с добавленной цепной комплексной структурой, которая соответствует структуре алгебры .

Определение

Дифференциальная градуированная алгебра (или DG-алгебра сокращенно ) A — это градуированная алгебра, снабженная отображением $d\colon A\to A$ который имеет либо степень 1 (соглашение о комплексе коцепей), либо степень -1 (соглашение о комплексе цепей), который удовлетворяет двум условиям:

$d\circ d=0$ .
Это говорит о том, что d придает А структуру цепного комплекса или коцепного комплекса (соответственно, понижает или повышает степень дифференциал).
$d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ , где $\operatorname {deg}$ – степень однородности элементов.
Это говорит о том, что дифференциал d подчиняется градуированному правилу Лейбница .

Более краткий способ сформулировать то же определение — сказать, что DG-алгебра — это моноидный объект в моноидальной категории цепных комплексов . Морфизм DG между DG-алгебрами — это гомоморфизм градуированных алгебр, который соблюдает дифференциал d .

Дифференциально -градуированная дополненная алгебра (также называемая DGA-алгеброй , расширенная DG-алгебра или просто DGA ) — DG-алгебра, снабженная DG-морфизмом основного кольца (терминология принадлежит Анри Картану ). ^{[ 1 ]}

Предупреждение: используется термин DGA в некоторых источниках для обозначения DG-алгебры .

Примеры DG-алгебр

Тензорная алгебра

Тензорная алгебра — это DG-алгебра с дифференциалом, подобным дифференциалу комплекса Кошуля . Для векторного пространства $V$ над полем $K$ существует градуированное векторное пространство $T(V)$ определяется как

T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{i}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}

где $V^{\otimes 0}=K$ .

Если $e_{1},\ldots ,e_{n}$ является основой для $V$ есть дифференциал $d$ на тензорной алгебре, определенной покомпонентно

d:T^{k}(V)\to T^{k-1}(V)

отправка базовых элементов в

d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes d(e_{i_{j}})\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}

В частности, у нас есть $d(e_{i})=(-1)^{i}$ и так

d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}(-1)^{i_{j}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}}\otimes e_{i_{j+1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}

Рубашка комплексная

Одним из основополагающих примеров дифференциально-градуированной алгебры, широко используемой в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , является комплекс Кошуля . Это связано с широким спектром применений, включая построение плоских разрешений полных пересечений, а с производной точки зрения они дают производную алгебру, представляющую производное критическое локус.

Алгебра Де-Рама

Дифференциальные формы на многообразии вместе с внешним выводом и внешним произведением образуют DG-алгебру. Они имеют широкое применение, в том числе в производной теории деформации . ^{[ 2 ]} См. также когомологии де Рама .

Сингулярные когомологии

Сингулярные когомологии топологического пространства с коэффициентами из $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ является DG-алгеброй: дифференциал задается гомоморфизмом Бокштейна, связанным с короткой точной последовательностью $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$ , а продукт представляет собой продукт чашки . Эта дифференциально-градуированная алгебра использовалась для вычисления когомологий пространств Эйленберга – Маклейна на семинаре Картана. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Другие факты о DG-алгебрах

Гомология $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ DG-алгебры $(A,d)$ является градуированной алгеброй. Гомологии DGA-алгебры — это дополненная алгебра .

См. также

Ссылки

^ Картан, Анри (1954). «О группах Эйленберга-Мак Лейна $H(\Pi ,n)$ . pnas.40.6.467 Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 40 ( 6): 467–471. doi : 10.1073/ . PMC 534072. . PMID 16589508 .
^ Манетти, Марко. «Дифференциально-градуированные алгебры Ли и формальная теория деформаций» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2013 г.
^ Картан, Анри (1954–1955). «DGA-алгебры и DGA-модули» . Семинар Анри Картана . 7 (1): 1–9.
^ Картан, Анри (1954–1955). «DGA-модули (продолжение), концепция построения» . Семинар Анри Картана . 7 (1): 1–11.

Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9 , см. разделы V.3 и V.5.6.

[1] Картан, Анри (1954). «О группах Эйленберга-Мак Лейна $H(\Pi ,n)$ . pnas.40.6.467 Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 40 ( 6): 467–471. doi : 10.1073/ . PMC 534072. . PMID 16589508 .

[2] Манетти, Марко. «Дифференциально-градуированные алгебры Ли и формальная теория деформаций» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2013 г.

[3] Картан, Анри (1954–1955). «DGA-алгебры и DGA-модули» . Семинар Анри Картана . 7 (1): 1–9.

[4] Картан, Анри (1954–1955). «DGA-модули (продолжение), концепция построения» . Семинар Анри Картана . 7 (1): 1–11.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]