Jump to content

Первобытный

(Перенаправлено с Primorials )

В математике и, в частности, в теории чисел , примитив , обозначаемый «#», представляет собой функцию преобразования натуральных чисел в натуральные числа, аналогичную функции факториала , но вместо последовательного умножения положительных целых чисел эта функция умножает только простые числа .

Название «примориал», придуманное Харви Дабнером , проводит аналогию с простыми числами, подобно тому, как название «факториал» относится к факторам .

Определение простых чисел

[ редактировать ]
p n # как функция от n , построенная логарифмически.

Для n- го простого числа p n простое число p n # определяется как произведение первых n простых чисел: [1] [2]

,

где p k — е k- простое число. Например, p 5 # означает произведение первых 5 простых чисел:

Первые пять первоначальных чисел p n # таковы:

2 , 6 , 30 , 210 , 2310 (последовательность A002110 в OEIS ).

Последовательность также включает в себя # p0 =1 как пустой продукт . Асимптотически примориалы p n # растут по закону:

где o ( ) обозначение Little O. [2]

Определение натуральных чисел

[ редактировать ]
н ! (желтый) как функция от n по сравнению с n # (красный), оба построены логарифмически.

В общем, для положительного целого числа n его исходное число n# представляет собой произведение простых чисел, не превышающих n ; то есть, [1] [3]

,

где π ( n ) функция подсчета простых чисел (последовательность A000720 в OEIS ), которая дает количество простых чисел ≤ n . Это эквивалентно:

Например, 12# представляет собой произведение простых чисел ≤ 12:

Поскольку π (12) = 5 , это можно рассчитать как:

Рассмотрим первые 12 значений n # :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составного n каждый терм n # просто дублирует предыдущий терм ( n − 1)# , как указано в определении. В приведенном выше примере 12# = p 5 # = 11#, поскольку 12 — составное число.

Примориалы связаны с первой функцией Чебышева , записанной ϑ ( n ) или θ ( n ) согласно:

[4]

Поскольку ϑ ( n ) асимптотически приближается к n для больших значений n , простые числа растут согласно:

Идея умножения всех известных простых чисел встречается в некоторых доказательствах бесконечности простых чисел , где она используется для вывода существования другого простого числа.

Характеристики

[ редактировать ]
  • Пусть p и q — два соседних простых числа. Учитывая любой , где :
  • Для Первобытного известно следующее приближение: [5]
.

Примечания:

  1. Используя элементарные методы, математик Денис Хэнсон показал, что [6]
  2. Используя более совершенные методы, Россер и Шенфельд показали, что [7]
  3. Россер и Шенфельд в теореме 4, формуле 3.14 показали, что для , [7]
  • Более того:
Для , значения меньше e , [8] но при большем n значения функции превышают предел e бесконечно колеблются вокруг e . и впоследствии
  • Позволять быть k -м простым числом, тогда имеет точно делители. Например, имеет 2 делителя, имеет 4 делителя, имеет 8 делителей и уже есть делители, так как 97 — это 25-е простое число.
  • Сумма обратных значений первоначальных чисел сходится к постоянной
Разложение Энгеля этого числа приводит к последовательности простых чисел (см. (последовательность A064648 в OEIS ))
  • По теореме Евклида , используется для доказательства бесконечности простых чисел.

Приложения и свойства

[ редактировать ]

Примориалы играют роль в поиске простых чисел в аддитивных арифметических прогрессиях . Например, 2 236 133 941 + 23# дает простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, найденную путем многократного добавления 23#, и заканчивающееся 5 136 341 251 . 23# также является общей разницей в арифметических прогрессиях пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое весьма составное число является произведением простых чисел (например, 360 = 2 × 6 × 30 ). [9]

Все первоначальные числа представляют собой целые числа без квадратов , и каждое из них имеет больше различных простых делителей , чем любое число, меньшее его. Для каждого простого n дробь φ ( n ) / n меньше, чем для любого меньшего целого числа, где φ функция Эйлера .

Любая полностью мультипликативная функция определяется своими значениями в простых числах, поскольку она определяется своими значениями в простых числах, которые можно восстановить путем деления соседних значений.

Базовые системы, соответствующие первоначальным числам (например, система счисления по основанию 30, не путать с первичной системой счисления ), имеют меньшую долю повторяющихся дробей , чем любая меньшая система счисления.

Каждое первородное число представляет собой разреженное число . [10]

-составное n составного числа n — это произведение всех составных чисел до n включительно . [11] n - композитарий равен n - факториалу , делённому на первоначальный элемент n # . Композиторы

1 , 4 , 24 , 192 , 1728 , 17 280 , 207 360 , 2 903 040 , 43 545 600 , 696 729 600 , ... [12]

Появление

[ редактировать ]

Дзета- функция Римана в натуральных целых числах больше единицы может быть выражена [13] используя первоначальную функцию и функцию Жордана J k ( n ) :

Таблица первородных

[ редактировать ]
н п # п н п н # Первобытное начало ?
п н # + ​​1 [14] п п # - 1 [15]
0 1 1 Да Нет
1 1 2 2 Да Нет
2 2 3 6 Да Да
3 6 5 30 Да Да
4 6 7 210 Да Нет
5 30 11 2 310 Да Да
6 30 13 30 030 Нет Да
7 210 17 510 510 Нет Нет
8 210 19 9 699 690 Нет Нет
9 210 23 223 092 870 Нет Нет
10 210 29 6 469 693 230 Нет Нет
11 2 310 31 200 560 490 130 Да Нет
12 2 310 37 7 420 738 134 810 Нет Нет
13 30 030 41 304 250 263 527 210 Нет Да
14 30 030 43 13 082 761 331 670 030 Нет Нет
15 30 030 47 614 889 782 588 491 410 Нет Нет
16 30 030 53 32 589 158 477 190 044 730 Нет Нет
17 510 510 59 1 922 760 350 154 212 639 070 Нет Нет
18 510 510 61 117 288 381 359 406 970 983 270 Нет Нет
19 9 699 690 67 7 858 321 551 080 267 055 879 090 Нет Нет
20 9 699 690 71 557 940 830 126 698 960 967 415 390 Нет Нет
21 9 699 690 73 40 729 680 599 249 024 150 621 323 470 Нет Нет
22 9 699 690 79 3 217 644 767 340 672 907 899 084 554 130 Нет Нет
23 223 092 870 83 267 064 515 689 275 851 355 624 017 992 790 Нет Нет
24 223 092 870 89 23 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 310 Нет Да
25 223 092 870 97 2 305 567 963 945 518 424 753 102 147 331 756 070 Нет Нет
26 223 092 870 101 232 862 364 358 497 360 900 063 316 880 507 363 070 Нет Нет
27 223 092 870 103 23 984 823 528 925 228 172 706 521 638 692 258 396 210 Нет Нет
28 223 092 870 107 2 566 376 117 594 999 414 479 597 815 340 071 648 394 470 Нет Нет
29 6 469 693 230 109 279 734 996 817 854 936 178 276 161 872 067 809 674 997 230 Нет Нет
30 6 469 693 230 113 31 610 054 640 417 607 788 145 206 291 543 662 493 274 686 990 Нет Нет
31 200 560 490 130 127 4 014 476 939 333 036 189 094 441 199 026 045 136 645 885 247 730 Нет Нет
32 200 560 490 130 131 525 896 479 052 627 740 771 371 797 072 411 912 900 610 967 452 630 Нет Нет
33 200 560 490 130 137 72 047 817 630 210 000 485 677 936 198 920 432 067 383 702 541 010 310 Нет Нет
34 200 560 490 130 139 10 014 646 650 599 190 067 509 233 131 649 940 057 366 334 653 200 433 090 Нет Нет
35 200 560 490 130 149 1 492 182 350 939 279 320 058 875 736 615 841 068 547 583 863 326 864 530 410 Нет Нет
36 200 560 490 130 151 225 319 534 991 831 177 328 890 236 228 992 001 350 685 163 362 356 544 091 910 Нет Нет
37 7 420 738 134 810 157 35 375 166 993 717 494 840 635 767 087 951 744 212 057 570 647 889 977 422 429 870 Нет Нет
38 7 420 738 134 810 163 5 766 152 219 975 951 659 023 630 035 336 134 306 565 384 015 606 066 319 856 068 810 Нет Нет
39 7 420 738 134 810 167 962 947 420 735 983 927 056 946 215 901 134 429 196 419 130 606 213 075 415 963 491 270 Нет Нет
40 7 420 738 134 810 173 166 589 903 787 325 219 380 851 695 350 896 256 250 980 509 594 874 862 046 961 683 989 710 Нет Нет

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Вайсштейн, Эрик В. «Первобытный» . Математический мир .
  2. Перейти обратно: Перейти обратно: а б (последовательность A002110 в OEIS )
  3. ^ (последовательность A034386 в OEIS )
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева» . Математический мир .
  5. ^ Г.Х. Харди, Э.М. Райт: Введение в теорию чисел . 4-е издание. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд, 1975. ISBN   0-19-853310-1 .
    Теорема 415, с. 341
  6. ^ Хэнсон, Денис (март 1972 г.). «О произведении простых чисел» . Канадский математический бюллетень . 15 (1): 33–37. дои : 10.4153/cmb-1972-007-7 . ISSN   0008-4395 .
  7. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Россер, Дж. Баркли; Шенфельд, Лоуэлл (1 марта 1962 г.). «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел» . Иллинойсский математический журнал . 6 (1). дои : 10.1215/ijm/1255631807 . ISSN   0019-2082 .
  8. ^ Л. Шенфельд: Более точные оценки функций Чебышева и . II. Математика. Комп. Том. 34, № 134 (1976) 337–360; п. 359.
    Цитируется по: Робин Г.: Оценка функции Чебышева. по k -му простому числу и большим значениям функции , количество простых делителей n . Акта Арифм. XLII (1983) 367–389 ( PDF, 731 КБ ); п. 371
  9. ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
  10. ^ Массер, Вашингтон ; Шиу, П. (1986). «О малочисленных числах» . Тихоокеанский математический журнал . 121 (2): 407–426. дои : 10.2140/pjm.1986.121.407 . ISSN   0030-8730 . МР   0819198 . Збл   0538.10006 .
  11. ^ Уэллс, Дэвид (2011). Простые числа: самые загадочные цифры в математике . Джон Уайли и сыновья. п. 29. ISBN  9781118045718 . Проверено 16 марта 2016 г.
  12. ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A036691 (Составные числа: произведение первых n составных чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
  13. ^ Мезё, Иштван (2013). «Первоначальная и дзета-функция Римана». Американский математический ежемесячник . 120 (4): 321.
  14. ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014545 (первичный плюс 1 простой индекс)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
  15. ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A057704 (первоначальная — 1 простой индекс)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
  • Дубнер, Харви (1987). «Факториал и первоначальные простые числа». Дж. Рекр. Математика. 19 : 197–203.
  • Спенсер, Адам «Топ-100», номер 59, часть 4.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: cbb4275b5b3893752581edb9c76e6a2a__1708090980
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/cb/2a/cbb4275b5b3893752581edb9c76e6a2a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Primorial - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)