Первобытный

В математике и, в частности, в теории чисел , примитив , обозначаемый «#», представляет собой функцию преобразования натуральных чисел в натуральные числа, аналогичную функции факториала , но вместо последовательного умножения положительных целых чисел эта функция умножает только простые числа .

Название «примориал», придуманное Харви Дабнером , проводит аналогию с простыми числами, подобно тому, как название «факториал» относится к факторам .

Определение простых чисел

Для $n-$ го простого числа $p n$ простое число $p n #$ определяется как произведение первых $n$ простых чисел: ^[1]^[2]

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}

,

где $p k —$ е $k-$ простое число. Например, $p 5 #$ означает произведение первых 5 простых чисел:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Первые пять первоначальных чисел $p n #$ таковы:

2 , 6 , 30 , 210 , 2310 (последовательность A002110 в OEIS ).

Последовательность также включает в себя $# p0 =1$ как пустой продукт . Асимптотически примориалы $p n #$ растут по закону:

p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},

где $o ( )$ — обозначение Little O. ^[2]

Определение натуральных чисел

В общем, для положительного целого числа $n$ его исходное число $n#$ представляет собой произведение простых чисел, не превышающих $n$ ; то есть, ^[1]^[3]

n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#

,

где $π (n)$ — функция подсчета простых чисел (последовательность A000720 в OEIS ), которая дает количество простых чисел ≤ $n$ . Это эквивалентно:

n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}

Например, 12# представляет собой произведение простых чисел ≤ 12:

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Поскольку $π (12) = 5$ , это можно рассчитать как:

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

Рассмотрим первые 12 значений $n #$ :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составного $n$ каждый терм $n #$ просто дублирует предыдущий терм $(n - 1)#$ , как указано в определении. В приведенном выше примере $12# = p 5 # = 11#,$ поскольку 12 — составное число.

Примориалы связаны с первой функцией Чебышева , записанной $ϑ (n)$ или $θ (n)$ согласно:

\ln(n\#)=\vartheta (n).

^[4]

Поскольку $ϑ (n)$ асимптотически приближается $к n$ для больших значений $n$ , простые числа растут согласно:

n\#=e^{(1+o(1))n}.

Идея умножения всех известных простых чисел встречается в некоторых доказательствах бесконечности простых чисел , где она используется для вывода существования другого простого числа.

Характеристики

Пусть $p$ и $q$ — два соседних простых числа. Учитывая любой $n\in \mathbb {N}$ , где $p\leq n<q$ :

n\#=p\#

Для Первобытного известно следующее приближение: ^[5]

n\#\leq 4^{n}

.

Примечания:

Используя элементарные методы, математик Денис Хэнсон показал, что $n\#\leq 3^{n}$ ^[6]
Используя более совершенные методы, Россер и Шенфельд показали, что $n\#\leq (2.763)^{n}$ ^[7]
Россер и Шенфельд в теореме 4, формуле 3.14 показали, что для $n\geq 563$ , $n\#\geq (2.22)^{n}$ ^[7]

Более того:

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e

Для

n<10^{11}

, значения меньше

e

, ^[8] но при большем

n

значения функции превышают предел

e

бесконечно колеблются вокруг

e .

и впоследствии

Позволять $p_{k}$ быть $k$ -м простым числом, тогда $p_{k}\#$ имеет точно $2^{k}$ делители. Например, $2\#$ имеет 2 делителя, $3\#$ имеет 4 делителя, $5\#$ имеет 8 делителей и $97\#$ уже есть $2^{25}$ делители, так как 97 — это 25-е простое число.
Сумма обратных значений первоначальных чисел сходится к постоянной

\sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots

Разложение Энгеля этого числа приводит к последовательности простых чисел (см. (последовательность A064648 в OEIS ))

По теореме Евклида , $p\#+1$ используется для доказательства бесконечности простых чисел.

Приложения и свойства

Примориалы играют роль в поиске простых чисел в аддитивных арифметических прогрессиях . Например, 2 236 133 941 + 23# дает простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, найденную путем многократного добавления 23#, и заканчивающееся 5 136 341 251 . 23# также является общей разницей в арифметических прогрессиях пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое весьма составное число является произведением простых чисел (например, 360 = 2 × 6 × 30 ). ^[9]

Все первоначальные числа представляют собой целые числа без квадратов , и каждое из них имеет больше различных простых делителей , чем любое число, меньшее его. Для каждого простого $n$ дробь $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ φ ( n ) / n ⁠$ меньше, чем для любого меньшего целого числа, где $φ$ — функция Эйлера .

Любая полностью мультипликативная функция определяется своими значениями в простых числах, поскольку она определяется своими значениями в простых числах, которые можно восстановить путем деления соседних значений.

Базовые системы, соответствующие первоначальным числам (например, система счисления по основанию 30, не путать с первичной системой счисления ), имеют меньшую долю повторяющихся дробей , чем любая меньшая система счисления.

Каждое первородное число представляет собой разреженное число . ^[10]

-составное $n$ составного числа $n$ — это произведение всех составных чисел до $n$ включительно . ^[11] n $-$ композитарий равен $n$ - факториалу , делённому на первоначальный элемент $n #$ . Композиторы

1 , 4 , 24 , 192 , 1728 , 17 280 , 207 360 , 2 903 040 , 43 545 600 , 696 729 600 , ... ^[12]

Появление

Дзета- функция Римана в натуральных целых числах больше единицы может быть выражена ^[13] используя первоначальную функцию и функцию Жордана $J k (n)$ :

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots

Таблица первородных

$н$	$п #$	$п н$	$п н #$	Первобытное начало ?
$н$	$п #$	$п н$	$п н #$	п _н # + 1 ^[14]	п п _# - 1 ^[15]
0	1	—	1	Да	Нет
1	1	2	2	Да	Нет
2	2	3	6	Да	Да
3	6	5	30	Да	Да
4	6	7	210	Да	Нет
5	30	11	2 310	Да	Да
6	30	13	30 030	Нет	Да
7	210	17	510 510	Нет	Нет
8	210	19	9 699 690	Нет	Нет
9	210	23	223 092 870	Нет	Нет
10	210	29	6 469 693 230	Нет	Нет
11	2 310	31	200 560 490 130	Да	Нет
12	2 310	37	7 420 738 134 810	Нет	Нет
13	30 030	41	304 250 263 527 210	Нет	Да
14	30 030	43	13 082 761 331 670 030	Нет	Нет
15	30 030	47	614 889 782 588 491 410	Нет	Нет
16	30 030	53	32 589 158 477 190 044 730	Нет	Нет
17	510 510	59	1 922 760 350 154 212 639 070	Нет	Нет
18	510 510	61	117 288 381 359 406 970 983 270	Нет	Нет
19	9 699 690	67	7 858 321 551 080 267 055 879 090	Нет	Нет
20	9 699 690	71	557 940 830 126 698 960 967 415 390	Нет	Нет
21	9 699 690	73	40 729 680 599 249 024 150 621 323 470	Нет	Нет
22	9 699 690	79	3 217 644 767 340 672 907 899 084 554 130	Нет	Нет
23	223 092 870	83	267 064 515 689 275 851 355 624 017 992 790	Нет	Нет
24	223 092 870	89	23 768 741 896 345 550 770 650 537 601 358 310	Нет	Да
25	223 092 870	97	2 305 567 963 945 518 424 753 102 147 331 756 070	Нет	Нет
26	223 092 870	101	232 862 364 358 497 360 900 063 316 880 507 363 070	Нет	Нет
27	223 092 870	103	23 984 823 528 925 228 172 706 521 638 692 258 396 210	Нет	Нет
28	223 092 870	107	2 566 376 117 594 999 414 479 597 815 340 071 648 394 470	Нет	Нет
29	6 469 693 230	109	279 734 996 817 854 936 178 276 161 872 067 809 674 997 230	Нет	Нет
30	6 469 693 230	113	31 610 054 640 417 607 788 145 206 291 543 662 493 274 686 990	Нет	Нет
31	200 560 490 130	127	4 014 476 939 333 036 189 094 441 199 026 045 136 645 885 247 730	Нет	Нет
32	200 560 490 130	131	525 896 479 052 627 740 771 371 797 072 411 912 900 610 967 452 630	Нет	Нет
33	200 560 490 130	137	72 047 817 630 210 000 485 677 936 198 920 432 067 383 702 541 010 310	Нет	Нет
34	200 560 490 130	139	10 014 646 650 599 190 067 509 233 131 649 940 057 366 334 653 200 433 090	Нет	Нет
35	200 560 490 130	149	1 492 182 350 939 279 320 058 875 736 615 841 068 547 583 863 326 864 530 410	Нет	Нет
36	200 560 490 130	151	225 319 534 991 831 177 328 890 236 228 992 001 350 685 163 362 356 544 091 910	Нет	Нет
37	7 420 738 134 810	157	35 375 166 993 717 494 840 635 767 087 951 744 212 057 570 647 889 977 422 429 870	Нет	Нет
38	7 420 738 134 810	163	5 766 152 219 975 951 659 023 630 035 336 134 306 565 384 015 606 066 319 856 068 810	Нет	Нет
39	7 420 738 134 810	167	962 947 420 735 983 927 056 946 215 901 134 429 196 419 130 606 213 075 415 963 491 270	Нет	Нет
40	7 420 738 134 810	173	166 589 903 787 325 219 380 851 695 350 896 256 250 980 509 594 874 862 046 961 683 989 710	Нет	Нет

См. также

Примечания

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Первобытный» . Математический мир .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б (последовательность A002110 в OEIS )
^ (последовательность A034386 в OEIS )
^ Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева» . Математический мир .
^ Г.Х. Харди, Э.М. Райт: Введение в теорию чисел . 4-е издание. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд, 1975. ISBN 0-19-853310-1 .
Теорема 415, с. 341
^ Хэнсон, Денис (март 1972 г.). «О произведении простых чисел» . Канадский математический бюллетень . 15 (1): 33–37. дои : 10.4153/cmb-1972-007-7 . ISSN 0008-4395 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Россер, Дж. Баркли; Шенфельд, Лоуэлл (1 марта 1962 г.). «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел» . Иллинойсский математический журнал . 6 (1). дои : 10.1215/ijm/1255631807 . ISSN 0019-2082 .
^ Л. Шенфельд: Более точные оценки функций Чебышева $\theta (x)$ и $\psi (x)$ . II. Математика. Комп. Том. 34, № 134 (1976) 337–360; п. 359.
Цитируется по: Робин Г.: Оценка функции Чебышева. $\theta$ по $k$ -му простому числу и большим значениям функции $\omega (n)$ , количество простых делителей $n$ . Акта Арифм. XLII (1983) 367–389 ( PDF, 731 КБ ); п. 371
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Массер, Вашингтон ; Шиу, П. (1986). «О малочисленных числах» . Тихоокеанский математический журнал . 121 (2): 407–426. дои : 10.2140/pjm.1986.121.407 . ISSN 0030-8730 . МР 0819198 . Збл 0538.10006 .
^ Уэллс, Дэвид (2011). Простые числа: самые загадочные цифры в математике . Джон Уайли и сыновья. п. 29. ISBN 9781118045718 . Проверено 16 марта 2016 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A036691 (Составные числа: произведение первых n составных чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Мезё, Иштван (2013). «Первоначальная и дзета-функция Римана». Американский математический ежемесячник . 120 (4): 321.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014545 (первичный плюс 1 простой индекс)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A057704 (первоначальная — 1 простой индекс)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

Ссылки

Дубнер, Харви (1987). «Факториал и первоначальные простые числа». Дж. Рекр. Математика. 19 : 197–203.
Спенсер, Адам «Топ-100», номер 59, часть 4.

[mathworld-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Первобытный» . Математический мир .

[OEIS_A002110-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б (последовательность A002110 в OEIS )

[OEIS_A034386-3] (последовательность A034386 в OEIS )

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева» . Математический мир .

[5] Г.Х. Харди, Э.М. Райт: Введение в теорию чисел . 4-е издание. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд, 1975. ISBN 0-19-853310-1 .
Теорема 415, с. 341

[6] Хэнсон, Денис (март 1972 г.). «О произведении простых чисел» . Канадский математический бюллетень . 15 (1): 33–37. дои : 10.4153/cmb-1972-007-7 . ISSN 0008-4395 .

[RosserSchoenfeld1962-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Россер, Дж. Баркли; Шенфельд, Лоуэлл (1 марта 1962 г.). «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел» . Иллинойсский математический журнал . 6 (1). дои : 10.1215/ijm/1255631807 . ISSN 0019-2082 .

[8] Л. Шенфельд: Более точные оценки функций Чебышева $\theta (x)$ и $\psi (x)$ . II. Математика. Комп. Том. 34, № 134 (1976) 337–360; п. 359.
Цитируется по: Робин Г.: Оценка функции Чебышева. $\theta$ по $k$ -му простому числу и большим значениям функции $\omega (n)$ , количество простых делителей $n$ . Акта Арифм. XLII (1983) 367–389 ( PDF, 731 КБ ); п. 371

[9] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002182 (Высокосоставные числа)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[10] Массер, Вашингтон ; Шиу, П. (1986). «О малочисленных числах» . Тихоокеанский математический журнал . 121 (2): 407–426. дои : 10.2140/pjm.1986.121.407 . ISSN 0030-8730 . МР 0819198 . Збл 0538.10006 .

[Wells_2011-11] Уэллс, Дэвид (2011). Простые числа: самые загадочные цифры в математике . Джон Уайли и сыновья. п. 29. ISBN 9781118045718 . Проверено 16 марта 2016 г.

[12] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A036691 (Составные числа: произведение первых n составных чисел.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[mezo-13] Мезё, Иштван (2013). «Первоначальная и дзета-функция Римана». Американский математический ежемесячник . 120 (4): 321.

[14] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A014545 (первичный плюс 1 простой индекс)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[15] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A057704 (первоначальная — 1 простой индекс)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]