Ассоциэдр
Каждая вершина на приведенной выше диаграмме Хассе имеет овалы трех соседних граней. Лица, овалы которых пересекаются, не соприкасаются.
В математике ассоциаэдр в K n — это ( n – 2) -мерный выпуклый многогранник , в котором каждая вершина соответствует способу правильной вставки открывающих и закрывающих скобок строку из n букв, а ребра соответствуют однократному применению ассоциативности . правило. Эквивалентно, вершины ассоциэдра соответствуют триангуляциям правильного многоугольника с n + 1 сторонами, а ребра соответствуют переворотам ребер, при которых одна диагональ удаляется из триангуляции и заменяется другой диагональю. Ассоциэдры также называют многогранниками Сташефа в честь работы Джима Сташеффа , который заново открыл их в начале 1960-х годов. [1] после более ранней работы над ними Дова Тамари . [2]
Примеры
[ редактировать ]Одномерный ассоциэдр K 3 представляет собой две скобки (( xy ) z ) и ( x ( yz )) трех символов или две триангуляции квадрата. Это сам по себе сегмент прямой.
Двумерный ассоциаэдр К 4 представляет собой пять скобок четырех символов или пять триангуляций правильного пятиугольника. Он сам по себе является пятиугольником и связан с пятиугольной диаграммой моноидальной категории .
Трехмерный ассоциэдр К 5 представляет собой эннеаэдр с девятью гранями (три непересекающихся четырехугольника и шесть пятиугольников) и четырнадцатью вершинами, а двойственным ему является триаугментированная треугольная призма .
Реализация
[ редактировать ]
Первоначально Джим Сташефф рассматривал эти объекты как криволинейные многогранники. Впоследствии им были присвоены координаты в виде выпуклых многогранников несколькими разными способами; см. введение Ceballos, Santos & Ziegler (2015) для обзора. [3]
Один из способов реализации ассоциаэдра — использовать его как вторичный многогранник правильного многоугольника. [3] В этой конструкции каждой триангуляции правильного многоугольника с n +1 сторонами соответствует точка в ( n +1)-мерном евклидовом пространстве , i- я координата которой есть суммарная площадь треугольников, инцидентных i -й вершине многоугольника. . Например, две триангуляции единичного квадрата таким образом порождают две четырехмерные точки с координатами (1, 1/2, 1, 1/2) и (1/2, 1, 1/2, 1). . Выпуклая оболочка этих двух точек есть реализация ассоциэдра К 3 . Хотя он живет в четырехмерном пространстве, он образует отрезок (одномерный многогранник) внутри этого пространства. Аналогично ассоциаэдр К 4 можно реализовать таким образом как правильный пятиугольник в пятимерном евклидовом пространстве, координатами вершин которого являются циклические перестановки вектора (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) где φ обозначает золотое сечение . Поскольку возможные треугольники внутри правильного шестиугольника имеют площади, кратные друг другу, эту конструкцию можно использовать для задания целочисленных координат (в шести измерениях) трехмерного ассоциэдра. К 5 ; показывает пример К4 однако (как уже ) эта конструкция вообще приводит к иррациональным числам в качестве координат.
Другая реализация, принадлежащая Жану-Луи Лоде , основана на соответствии вершин ассоциаэдра с n -листьями двоичным деревьям и непосредственно создает целочисленные координаты в ( n - 2)-мерном пространстве. -я координата i реализации Лодея — это a i b i , где a i — количество листьев-потомков левого дочернего элемента i- го внутреннего узла дерева (в порядке слева направо), а b i — число листовых потомков правого потомка. [4]
Ассоциэдр можно реализовать непосредственно в ( n - 2)-мерном пространстве как многогранник, для которого все векторы нормали грани имеют координаты 0, +1 или -1. Существует экспоненциально много комбинаторно различных способов сделать это. [3] [5]
Поскольку K 5 представляет собой многогранник только с вершинами, в которых 3 ребра сходятся вместе, возможно существование углеводорода (аналогичного платоновым углеводородам ), химическая структура которого представлена скелетом K 5 . [6] Этот « ассоциэдр » C 14 H 14 будет иметь обозначение SMILES : C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. Его ребра будут примерно одинаковой длины, но вершины каждой грани не обязательно будут копланарными.
Действительно, К 5 — это почти твердое тело Джонсона : кажется, что его можно составить из квадратов и правильных пятиугольников, но это не так. Либо вершины не будут полностью копланарными, либо грани придется немного исказить в сторону от регулярности.
Количество k -граней
[ редактировать ]к н | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | С |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 3 | |||
| 3 | 1 | 5 | 5 | 11 | ||
| 4 | 1 | 9 | 21 | 14 | 45 | |
| 5 | 1 | 14 | 56 | 84 | 42 | 197 |
Число ( n − k )-мерных граней ассоциэдра порядка n (K n +1 ) определяется числовым треугольником [7] ( n , k ), показано справа.
Число вершин в K n +1 есть n -е число Каталана (правая диагональ треугольника).
Число граней в K n +1 (для n ≥2) равно n -му треугольному числу минус один (второй столбец в треугольнике), поскольку каждая грань соответствует 2- подмножеству из n объектов, группировки которых образуют Тамари. решетка T n , за исключением 2-подмножества, содержащего первый и последний элементы.
Количество граней всех измерений (включая сам ассоциэдр как грань, но не включая пустое множество) представляет собой число Шредера – Гиппарха (суммы строк треугольника). [8]
Диаметр
[ редактировать ]В конце 1980-х годов в связи с проблемой расстояния вращения Дэниел Слитор , Роберт Тарьян и Уильям Тёрстон предоставили доказательство того, что диаметр n -мерного ассоциэдра K n + 2 не превышает 2 n − 4 для бесконечного числа n и для всех «достаточно больших» значений n . [9] Они также доказали, что эта верхняя граница точна, когда n достаточно велико, и предположили, что «достаточно большое» означает «строго больше 9». Эту гипотезу доказал в 2012 году Лионель Пурнен. [10]
Амплитуды рассеяния
[ редактировать ]В 2017 году Мизера [11] и Аркани-Хамед и др. [12] показал, что ассоциаэдр играет центральную роль в теории амплитуд рассеяния для бисопряженной кубической скалярной теории. В частности, в пространстве кинематики рассеяния существует ассоциэдр, а амплитуда рассеяния на уровне дерева представляет собой объем двойственного ассоциэдра. [12] Ассоциэдр также помогает объяснить отношения между амплитудами рассеяния открытых и закрытых струн в теории струн . [11]
См. также
[ редактировать ]- Циклоэдр , многогранник, определение которого позволяет заключать круглые скобки в циклическом порядке .
- Флип-граф , обобщение 1-скелета ассоциэдра.
- Пермутоэдр — многогранник, который определяется из коммутативности аналогично определению ассоциаэдра из ассоциативности.
- Пермутоассоциэдр — многогранник, вершины которого представляют собой перестановки в квадратных скобках.
- Решетка Тамари — решетка , графом которой является скелет ассоциэдра.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Сташефф, Джеймс Диллон (1963), «Гомотопическая ассоциативность H -пространств. I, II», Труды Американского математического общества , 108 : 293–312, doi : 10.2307/1993609 , MR 0158400 . Переработано из докторской диссертации 1961 года. диссертация, Принстонский университет, MR 2613327 .
- ^ Тамари, Дов (1951), Предупорядоченные моноиды и цепи Мальцева , Диссертация, Парижский университет, MR 0051833 .
- ^ Перейти обратно: а б с Себальос, Сезар; Сантос, Франциско ; Циглер, Гюнтер М. (2015), «Многие неэквивалентные реализации ассоциаэдра», Combinatorica , 35 (5): 513–551, arXiv : 1109.5544 , doi : 10.1007/s00493-014-2959-9 .
- ^ Лодей, Жан-Луи (2004), «Реализация многогранника Сташефа», Archiv der Mathematik , 83 (3): 267–278, arXiv : math/0212126 , doi : 10.1007/s00013-004-1026-y , MR 2108555 .
- ^ Хольвег, Кристоф; Ланге, Карстен EMC (2007), «Реализации ассоциаэдра и циклоэдра», Дискретная и вычислительная геометрия , 37 (4): 517–543, arXiv : math.CO/0510614 , doi : 10.1007/s00454-007-1319-6 , МР 2321739 .
- ^ Документ IPME о мини-фуллеренах - страница 30 (страница 9 в этом PDF-файле) показана в главе «7. Фуллерен из четырнадцати атомов углерода C 14 » под «b) Треугольная бипирамида с усеченным основанием (рис. 16)» K 5 многогранник
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A033282 (Треугольник читается по строкам: T(n, k) — количество диагональных разрезов выпуклого n-угольника на k+1 область.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Хольткамп, Ральф (2006), «О структурах алгебры Хопфа над свободными операдами», Advances in Mathematics , 207 (2): 544–565, arXiv : math/0407074 , doi : 10.1016/j.aim.2005.12.004 , MR 2271016 .
- ^ Слитор, Дэниел ; Тарьян, Роберт ; Терстон, Уильям (1988), «Расстояние вращения, триангуляции и гиперболическая геометрия», Журнал Американского математического общества , 1 (3): 647–681, doi : 10.1090/S0894-0347-1988-0928904-4 , MR 0928904 .
- ^ Пурнен, Лайонел (2014), «Диаметр ассоциэдров», Успехи в математике , 259 : 13–42, arXiv : 1207.6296 , doi : 10.1016/j.aim.2014.02.035 , MR 3197650 .
- ^ Перейти обратно: а б Мизера, Себастьян (2017). «Комбинаторика и топология отношений Каваи-Льюэллена-Тая». Журнал физики высоких энергий . 2017 : 97. arXiv : 1706.08527 . дои : 10.1007/JHEP08(2017)097 .
- ^ Перейти обратно: а б Аркани-Хамед, Нима; Бай, Юньтао; Он, Сун; Ян, Гонгван (2018), «Формы рассеяния и положительная геометрия кинематики, цвета и мирового листа», Журнал физики высоких энергий , 2018 : 96, arXiv : 1711.09102 , doi : 10.1007/JHEP05(2018)096 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Брайан Джейкобс. «Ассоциэдр» . Математический мир .
- Странные ассоциации - колонка AMS об ассоциэдрах
- Лекция Циглера об ассоциаэдре . Заметки из лекции Гюнтера Циглера в Автономном университете Барселоны , 2009 год.
- Лекция об ассоциэдрах и циклоэдрах . Конспекты лекций ИИГГ.