Ми рассеяние

Mie Scattering Presentions

Mie Scattering при диаметре частиц изменяется от 0,1 до 1 длины волны. Индекс преломления сферы составляет 1,5.

Mie Scatatering, Художественный взгляд: линейно поляризованная патронная плоскость волна, разбросанная октаполярным резонансом.

Mie Resonances vs. Radius.

Моностатическое радарное сечение (RCS) идеально проводящей металлической сферы в зависимости от частоты (рассчитывается теорией MIE). В низкочастотном пределе рассеяния Рэлея , где окружность меньше, чем длина волны, нормализованные RCS-это ${\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 9(kR)^{4}$Полем В высокочастотном оптическом пределе, ${\tfrac {\sigma }{\pi R^{2}}}\sim 1$.

Ми рассеян из сферы. x - это волновое число времен радиуса сферы, а M - показатель преломления сферы, деленной на показатель преломления среды.

В электромагнетизме решение MIE с уравнениями Максвелла (также известное как раствор Лоренц -Ма , раствор Лоренц -Ми -Дебай или рассеяние MIE ) описывает рассеяние волны электромагнитной плоскости гомогенной сферой . Решение принимает форму бесконечной серии сферических мультипольных частичных волн . Это названо в честь немецкого физика Густава Ми .

Термин раствор MIE также используется для решений уравнений Максвелла для рассеяния стратифицированными сферами или бесконечными цилиндрами, или других геометрий, где можно написать отдельные уравнения для радиальной и угловой зависимости решений. Термин «Теория MIE» иногда используется для этой коллекции решений и методов; Это не относится к независимой физической теории или закону. В более широком смысле, формулы «рассеяния Mie» наиболее полезны в ситуациях, когда размер частиц рассеяния сравнится с длиной волны света, а не намного меньше или намного больше.

Mie Scatatering (иногда называемый не молекулярным рассеянием или рассеянием частиц аэрозоля ) происходит в нижних 4500 м (15 000 футов) атмосферы , где многие по существу сферические частицы с диаметрами приблизительно равны длине волны падающего луча . подарок. Теория рассеяния MIE не имеет ограничения верхнего размера и сходится к пределу геометрической оптики для больших частиц.

Введение

Угловая часть магнитных и электрических векторных сферических гармоник. Красные и зеленые стрелы показывают направление поля. Также представлены генерация скалярных функций, показаны только первые три порядка (диполи, квадруполи, октаколи).

Современная формулировка решения MIE в проблеме рассеяния на сфере может быть найдена во многих книгах, например, Ja Stratton электромагнитная теория . В этой формулировке волна падения, а также поле рассеяния расширяется в излучающую сферическую векторную сферическую гармонику . Внутреннее поле расширяется в регулярные сферические гармоники. Обеспечивая соблюдение граничного условия на сферической поверхности, могут быть рассчитаны коэффициенты расширения рассеянного поля.

Для частиц, намного больше или намного меньше длины волны рассеянного света, есть простые и точные приближения, которые достаточно для описания поведения системы. Но для объектов, размер которых находится в пределах нескольких порядков от длины волны, например, капли воды в атмосфере, латексных частиц в краске, капель в эмульсиях, включая молоко, а также биологические клетки и клеточные компоненты, необходим более подробный подход.

Решение MIE назван в честь своего разработчика, немецкого физика Густава Ми . Датский физик Людвиг Лоренц и другие независимо разработали теорию рассеяния волны электромагнитной плоскости диэлектрической сферой.

Формализм позволяет расчет электрических и магнитных полей внутри и снаружи сферического объекта и обычно используется для расчета либо того, сколько света разбросано (общий оптический поперечный сечение ), либо куда он идет (форм -фактор). Примечательными особенностями этих результатов являются резонансы MIE, размеры, которые рассеиваются особенно сильно или слабо. Это в отличие от рассеяния Рэлея для мелких частиц и рассеяния Рэлея -Ганс -Дейба (после лорда Рэлея , Ричарда Ганса и Питера Дебая ) для больших частиц. Существование резонансов и других особенностей рассеяния MIE делает его особенно полезным формализмом при использовании рассеянного света для измерения размера частиц.

Приближения

Приближение Рэлея (рассеяние)

Основная статья: Рэйли рассеяние

Изменение цвета неба на закате (красный ближайший солнце, синий, самый дальний,) вызвано рассеянием Rayleigh от частиц атмосферного газа, которые намного меньше, чем длины волн видимого света. Серый/белый цвет облаков вызван рассеянием Mie с помощью капель воды, которые имеют сопоставимый размер с длиной волн видимого света.

Rayleigh Scattering описывает упругое рассеяние света сферами, которые намного меньше длины волны света. Интенсивность I рассеянного излучения дается

$I=I_{0}\left({\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2R^{2}}}\right)\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{4}\left({\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\right)^{2}\left({\frac {d}{2}}\right)^{6},$

Если i ₀ - интенсивность света перед взаимодействием с частицей, r - это расстояние между частицами и наблюдателем, θ - угол рассеяния, λ - длина рассматриваемого света, n - показатель преломления частицы и и D - диаметр частицы.

Из приведенного выше уравнения видно, что рассеяние Рэлея сильно зависит от размера частицы и длина волн. Интенсивность рассеянного излучения Рэлея быстро увеличивается с увеличением отношения частиц к длине волны. Кроме того, интенсивность рассеянного излучения Рэлея идентична в направлениях переднего и обратного.

Модель рассеяния Рэлея разрушается, когда размер частиц становится больше, чем около 10% от длины волны падающего излучения. В случае частиц с размерами, превышающими это, модель рассеяния Mie может быть использована для поиска интенсивности рассеянного излучения. Интенсивность рассеянного излучения MIE дается суммированием бесконечной серии терминов, а не простом математическим выражением. Однако можно показать, что рассеяние в этом диапазоне размеров частиц отличается от рассеяния Рэлея в нескольких отношениях: оно примерно не зависит от длины волны и больше в прямом направлении, чем в обратном направлении. Чем больше размер частиц, тем больше света разбросана в прямом направлении.

Синий цвет неба происходит от рассеяния Рэлея, поскольку размер газовых частиц в атмосфере намного меньше длины волны видимого света. Рэйли рассеяние намного больше для синего света, чем для других цветов из -за его более короткой длины волны. Когда солнечный свет проходит через атмосферу, его синий компонент очень рассеивается с помощью атмосферных газов, но более длинные длина волны (например, красный/желтый) компоненты не являются. Солнечный свет, прибывающий прямо с солнца, выглядит слегка желтым, в то время как свет, разбросанный по остальной части неба, кажется синим. Во время восходов солнца и закатов влияние рассеяния Рэлея на спектр передаваемого света намного больше из-за большего расстояния, которое световые лучи должны проходить через воздух высокой плотности вблизи поверхности Земли.

Напротив, капли воды, которые составляют облака, имеют сопоставимый размер с длиной волн в видимом свете, и рассеяние описывается моделью Ми, а не в Рэлее. Здесь все длины волн видимого света разбросаны приблизительно идентично, а облака, следовательно, кажутся белыми или серыми.

Рэйли -Ганс приближение

Аппроксимация Рэлея -Ганса является приблизительным решением для рассеяния света, когда относительный показатель преломления частицы близок к среде, а ее размер намного меньше по сравнению с длиной волны света, деленной на | n - 1 |, где n - показатель преломления :

${\begin{aligned}|n-1|&\ll 1\\kd|n-1|&\ll 1\end{aligned}}$

где ${\textstyle k}$ это волновой вектор света ( ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$), и $d$ относится к линейному измерению частицы. Первое условие часто называют оптически мягким , а приближение сохраняется для частиц произвольной формы.

Аномальное приближение дифракции Ван де Хульста

Аномальное приближение дифракции является достоверным для больших (по сравнению с длиной волны) и оптически мягких сфер; Мягкий в контексте оптики подразумевает, что показатель преломления частицы (M) лишь немного отличается от показателя преломления окружающей среды, и частица подвергает волне только небольшому сдвигу фазы. Эффективность вымирания в этом приближении дается

$Q=2-{\frac {4}{p}}\sin p+{\frac {4}{p^{2}}}(1-\cos p),$

где Q является коэффициентом эффективности рассеяния, который определяется как отношение рассеянного поперечного сечения и геометрического поперечного сечения π a ² .

Термин p = 4πa ( n - 1)/λ имеет в качестве физического значения, что фазовая задержка волны, проходящей через центр сферы, где a - радиус сферы, n - это отношение преломления внутри и за пределами Сфера и λ длины волны света.

Этот набор уравнений был впервые описан Ван де Халстом в (1957).

Математика

Рассеяние плоской волны, направление падения параллельно оси z , поляризация параллельна оси x , радиус наночастиц -это

Разброс с помощью сферической наночастицы решается в точности независимо от размера частиц. Мы рассматриваем рассеяние по плоской волне, распространяемой вдоль оси z , поляризованной вдоль оси x . Диэлектрическая и магнитная проницаемость частицы $\varepsilon _{1}$ и $\mu _{1}$, и $\varepsilon$ и $\mu$ для окружающей среды.

Чтобы решить проблему рассеяния, Сначала мы пишем решения векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах, поскольку поля внутри и за пределами частиц должны удовлетворить его. Уравнение Гельмгольца:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\quad \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2}\mathbf {H} =0.$

В дополнение к уравнению Гельмгольца поля должны удовлетворить условия $\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ и $\nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H}$, $\nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E}$Полем Векторные сферические гармоники обладают всеми необходимыми свойствами, представленными следующим образом:

$\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)$ - Магнитные гармоники (TE),

$\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}$ - Электрические гармоники (TM),

где

${\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}$

${\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r),}$

и $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ - связанные полиномы Legendre и $z_{n}({k}r)$ - любая из сферических функций Бесселя .

Далее мы расширяем волну падения плоскости в векторных сферических гармониках:

${\begin{aligned}\mathbf {E} _{\text{inc}}&=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right),\\\mathbf {H} _{\text{inc}}&={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right).\end{aligned}}$

Здесь суперпид $(1)$ означает, что в радиальной части функций $\psi _{^{e}_{o}mn}$ сферические функции Бесселя первого вида. Коэффициенты расширения получают путем принятия интегралов формы

${\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{\text{inc}}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\right|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}.$

В этом случае все коэффициенты в $m\neq 1$ ноль, так как интеграл над углом $\varphi$ В числитере ноль.

Затем навязываются следующие условия:

1. Условия интерфейса на границе между сферой и окружающей средой (что позволяет нам связывать коэффициенты расширения инцидентных, внутренних и рассеянных полей)
2. Условие, которое решение ограничено в начале координат (поэтому в радиальной части генерирующих функций $\psi _{^{e}_{o}mn}$, сферические функции Бесселя первого рода выбираются для внутреннего поля),
3. Для рассеянного поля асимптотики в бесконечности соответствуют расходящейся сферической волне (в связи с этим, для рассеянного поля в радиальной части генерирующих функций $\psi _{^{e}_{o}mn}$ Выбираются сферические функции первого рода).

Расселенные поля написаны с точки зрения экспансии векторной гармоники как

$\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right),$

$\mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right).$

Здесь суперпид $(3)$ означает, что в радиальной части функций $\psi _{^{e}_{o}mn}$ сферические функции бакала $(4)$), и $E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}$,

Внутренние поля:

$\mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right),$

$\mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right).$

${\textstyle k={\frac {\omega }{c}}n}$ вектор волны вне частицы ${\textstyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$ Является ли волновой вектор в среде из материала частицы, $n$ и $n_{1}$ являются индексами преломления среды и частицы.

После применения условий интерфейса мы получаем выражения для коэффициентов:

$c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},$

$d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},$

$b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},$

$a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},$

где

$\rho =ka,$

$\rho _{1}=k_{1}a$ с $a$ быть радиусом сферы.

$j_{n}$ и $h_{n}$ Представляют сферические функции Бесселя и Ханкеля первого вида соответственно.

Рассеяние и вымирание поперечные сечения

Мультипольные спектры рассеяния поперечных сечений

По золотой наносферу , радиус 100 нм

На наносферу, радиус 100 нм, показатель преломления n = 4

Кремниевой наносферой , радиус 100 нм

Значения, обычно рассчитываемые с использованием теории MIE, включают коэффициенты эффективности для вымирания $Q_{e}$, рассеяние $Q_{s}$и поглощение $Q_{a}$. Эти коэффициенты эффективности являются соотношением поперечного сечения соответствующего процесса, $\sigma _{i}$, в защищенную части, $Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}$, где А является радиусом частиц. В соответствии с определением вымирания,

$\sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}$ и $Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}$.

Коэффициенты рассеяния и вымирания могут быть представлены как бесконечная серия:

$Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\left(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2}\right)$

$Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})$

Взносы в этих суммах, индексированные с n , соответствуют порядкам мультипольного расширения с n = 1 , являющимся дипольным членом, n = 2 является членом квадраполя и т. Д.

Применение к более крупным частицам

Если размер частицы равен нескольким длин волн в материале, то рассеянные поля имеют некоторые функции. Кроме того, форма электрического поля является ключевой, поскольку магнитное поле получается из него путем взятия сгиба .

Все коэффициенты MIE зависят от частоты и имеют максимум, когда знаменатель близок к нулю (точное равенство до нуля достигается для сложных частот). В этом случае возможно, что вклад одной конкретной гармоники доминирует в рассеянии. Затем на больших расстояниях от частицы радиационная картина рассеянного поля будет аналогична соответствующей рисунке излучения угловой части векторных сферических гармоник. Гармоники $\mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}$ соответствуют электрическим диполям (если вклад этой гармоники доминирует в расширении электрического поля, то поле аналогично электрическому дипольному полю), $\mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}$ соответствуют электрическому полю магнитного диполя, $\mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}$ и $\mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}$ - Электрические и магнитные квадруполи, $\mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}$ и $\mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}$ - Octupoles, и так далее. Максимумы коэффициентов рассеяния (а также изменение их фазы на $\pi$) называются мультипольными резонансами, а нули можно назвать анаполами .

Зависимость рассеяния поперечного сечения от длины волны и вклад специфических резонансов сильно зависит от материала частицы. Например, для частицы золота с радиусом 100 нм вклад электрического диполя в рассеяние преобладает в оптическом диапазоне, в то время как для частицы кремния существуют выраженные магнитные диполь и квадрупольные резонансы. Для частиц металлов пик, видимый в поперечном сечении рассеяния, также называется локализованным плазмонным резонансом .

В пределе мелких частиц или длинных длин волн электрический дипольный вклад доминирует в поперечном сечении рассеяния.

Другие направления волны плоскости падения

В случае x -поляризованной плоской волны, инцидентной вдоль оси z , разложения всех полей содержали только гармоники с m = 1, но для произвольной волны падения это не так. Для вращающейся плоской волны можно получить коэффициенты расширения, например, с использованием того факта, что во время вращения векторные сферические гармоники преобразуются через друг друга Wigner D-матрицами .

В этом случае рассеянное поле будет разложена всеми возможными гармониками:

$\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))$

Затем поперечное сечение рассеяния будет выражено с точки зрения коэффициентов следующим образом:

$C_{\text{sca}}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}\times \left[\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}\left(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2}\right)+2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}\right].$

Подземелье

Эффект Керкера является явлением в направлении рассеяния, которое возникает, когда представлены различные ответы мультиполя, а не незначительны.

Особый (дипольный) случай эффекта керкера. Общее электрическое поле скрещенных магнитных и электрических диполей, излучающихся в фазе. Радиационный рисунок асимметричен, в одном направлении поля взаимно разрушены, а в другом они складываются.

В 1983 году в работе Керкера , Ван и Джайлса , направление рассеяния частицами с $\mu \neq 1$ был исследован. В частности, было показано, что для гипотетических частиц с $\mu =\varepsilon$ Обратное рассеяние полностью подавлено. Это можно рассматривать как разгибание на сферическую поверхность результатов Джайлса и Дикого для отражения на плоской поверхности с равными показателями преломления, где отражение и передача постоянны и не зависят от угла заболеваемости.

Кроме того, рассеяние поперечных сечений в направлениях вперед и назад просто выражаются с точки зрения коэффициентов MIE:

${\begin{aligned}C_{\text{sca}}^{\text{backward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n})\right|^{2}\\C_{\text{sca}}^{\text{forward}}&={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}\left|\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n})\right|^{2}\end{aligned}}$

Для определенных комбинаций коэффициентов приведенные выше выражения могут быть сведены к минимуму.

Так, например, когда термины с $n>1$ можно пренебречь ( дипольное приближение ), $(a_{1}-b_{1})=0$, соответствует минимуму в обратном рассеянии (магнитные и электрические диполи одинаковы по величине и находятся в фазе, это также называется первым условием интенсивности керкера или нулевого перехода ) И $(a_{1}+b_{1})=0$ соответствует минимуму в прямом рассеянии, это также называется вторым условием Керкера (или условием интенсивности прямого прямого вперед ). Из оптической теоремы показано, что для пассивной частицы $(a_{1}=-b_{1})$ невозможно. Для точного решения проблемы необходимо принять во внимание взносы всех мультиулов. Сумма электрических и магнитных диполей образует источник Huygens

Для диэлектрических частиц максимальное прямое рассеяние наблюдается на длине волн дольше, чем длина волны магнитного дипольного резонанса, и максимальное обратное рассеяние при более коротких.

Позже были обнаружены другие разновидности эффекта. Например, поперечный эффект керкера, с почти полным одновременным подавление как вперед, так и назад рассеянных полей (схемы бокового рассеяния), Оптомеханический эффект подземелья, в акустическом рассеянии, а также найден в растениях.

также есть короткое видео На YouTube с объяснением эффекта.

Функция диадического Грина в сфере

Функция Грина является решением следующего уравнения:

$\nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),$

где ${\hat {\bf {1}}}$ - Матрица личности $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )$ для $r<a$, и $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon$ для $r>a$Полем Поскольку все поля являются вектором, зеленая функция представляет собой матрицу 3 на 3 и называется диадикой. Если поляризация $\mathbf {P} (\mathbf {r} )$ индуцируется в системе, когда поля написаны как

$\mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')$

Так же, как и поля, функция Грина может быть разложена на векторные сферические гармоники. Функция Dyadic Green в свободном пространстве: A:

${\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})\\{}={}&{\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad {\begin{cases}\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r<r'\\\left(\left(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)+\left({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right),&{\text{if }}r>r'\end{cases}}\end{aligned}}$

В присутствии сферы функция Грина также разлагается на векторные сферические гармоники. Его внешний вид зависит от среды, в которой точки $\mathbf {r}$ и $\mathbf {r} '$ расположены.

Когда обе точки находятся за пределами сферы ( $r>a,r'>a$):

${\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(0)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)+b_{n}^{(0)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}$

где коэффициенты:

${\begin{aligned}a_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\b_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}$

Когда обе точки находятся внутри сферы ( $r<a,r'<a$) :

${\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)+d_{n}^{(1)}(\omega )\left({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right),\end{aligned}}$

Коэффициенты:

${\begin{aligned}c_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\d_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}$

Источник находится внутри сферы, а точка наблюдения находится снаружи ( $r>a,r'<a$):

${\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )\left(\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']\right)\right)\end{aligned}}$

Коэффициенты:

${\begin{aligned}a_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},\\b_{n}^{(1)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.\end{aligned}}$

Источник находится за пределами сферы, а точка наблюдения находится внутри ( $r<a,r'>a$) :

${\begin{aligned}&{\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})\\{}={}&{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot {}\\&\quad \left(c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])\right)\end{aligned}}$

Коэффициенты:

${\begin{aligned}c_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},\\d_{n}^{(0)}(\omega )&={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.\end{aligned}}$

Вычислительные коды

Mie Solutions реализуются в ряде программ, написанных на разных компьютерных языках, таких как Fortran , Matlab и Mathematica . Эти решения приближаются к бесконечному ряду и обеспечивают в качестве выхода расчет функции фазы рассеяния, вымирания, рассеяния и эффективности поглощения и других параметров, таких как параметры асимметрии или крутящий момент излучения. Текущее использование термина «решение Mie» указывает на последовательное приближение к решению уравнений Максвелла. Есть несколько известных объектов, которые допускают такой раствор: сферы, концентрические сферы, бесконечные цилиндры, кластеры сфер и кластеры цилиндров. Существуют также известные последовательные решения для рассеяния эллипсоидальными частицами. Список кодов, реализующих эти специализированные решения, представлен в следующем:

• Коды для электромагнитного рассеяния сферами - растворы для одной сферы, сферы с покрытием, многослойной сферы и кластера сфер;
• Коды для электромагнитного рассеяния цилиндрами - растворы для одного цилиндра, многослойных цилиндров и кластера цилиндров.

Обобщение, которое позволяет обрабатывать более общепризнанные частицы,-это метод T-Matrix , который также опирается на последовательное приближение к решениям уравнений Максвелла.

См. Также внешние ссылки для других кодов и калькуляторов.

Приложения

Теория MIE очень важна в метеорологической оптике , где соотношение диаметром к длине волны от порядка единства и большее характерно для многих проблем, касающихся дымки и облака рассеяния . Дальнейшее применение в характеристике частиц путем измерений оптического рассеяния. Решение MIE также важно для понимания появления общих материалов, таких как молоко , биологическая ткань и латексная краска.

Атмосферная наука

Разброс MIE происходит, когда диаметры атмосферных частиц аналогичны или больше длины волн света. Пыль , пыльца , дым и микроскопические капли воды , которые образуют облака, являются общими причинами рассеяния MIE. Разброс MIE происходит в основном в нижних частях атмосферы, где более крупные частицы более распространены и доминируют в облачных условиях.

Обнаружение и скрининг рака

Теория MIE была использована для определения того, соответствует ли рассеянный свет из ткани здоровым или раковым ядрам с использованием угла, разрешенной углами, интерферометрии с низким содержанием покрытия .

Клинический лабораторный анализ

Теория MIE является центральным принципом в применении нефелометрических анализов, широко используемых в медицине для измерения различных белков плазмы . Широкий спектр плазменных белков может быть обнаружен и количественно определен с нефелометрией.

Магнитные частицы

Ряд необычных эффектов электромагнитного рассеяния возникает для магнитных сфер. Когда относительная диэлектрическая проницаемость равна проницаемости , усиление обратного рассеяния равен нулю. Кроме того, рассеянное излучение поляризовано в том же смысле, что и падающее излучение. В ограничении мелкой (или длинной длины) условия могут возникать условия для нулевого прямого рассеяния, для полной поляризации рассеянного излучения в других направлениях и для асимметрии прямого рассеяния до обратного рассеяния. Специальный корпус в пределе мелкой партии обеспечивает интересные особые экземпляры полной поляризации и асимметрии прямого рассеяния до спиртного рассеяния.

Метаматериал

Теория MIE использовалась для разработки метаматериалов . Они обычно состоят из трехмерных композитов металла или неметаллических включений, периодически или случайно встроенных в матрицу с низкой промежуткой. В такой схеме отрицательные конститутивные параметры предназначены для появления резонансов включений MIE: негативная эффективная диэлектрическая проницаемость разработана вокруг резонанса коэффициента электроэнергетического дипольного рассеяния диэлектрическая MIE . Магнитный коэффициент рассеяния дипольного рассеяния и двойной отрицательный материал (DNG) разработан вокруг перекрытия резонансов электрического и магнитного дипольного рассеяния коэффициенты. У частицы обычно есть следующие комбинации:

1. Один набор магнитодиэлектрических частиц со значениями относительной диэлектрической проницаемости и проницаемости намного больше одного и близко друг к другу;
2. два разных диэлектрических частица с одинаковой диэлектрической проницаемостью, но разными размерами;
3. Две разные диэлектрические частицы с одинаковым размером, но различной диэлектрической проницаемостью.

Теоретически, частицы, проанализированные теорией MIE, обычно сферические, но на практике частицы обычно изготовлены в виде кубиков или цилиндров для простоты изготовления. Чтобы соответствовать критериям гомогенизации, которые могут быть указаны в форме, что постоянная решетки намного меньше, чем длина работы волны, относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрических частиц должна быть намного больше 1, например, $\varepsilon _{\text{r}}>78(38)$ Для достижения отрицательной эффективной диэлектрической проницаемости (проницаемости).

Размер частиц

Теория MIE часто применяется в лазерном дифракционном анализе, чтобы осмотреть эффект размера частиц. В то время как ранние компьютеры в 1970 -х годах были способны вычислять только дифракционные данные с более простой приближением Фраунгофера, MIE широко используется с 1990 -х годов и официально рекомендуется для частиц ниже 50 микрометров в руководящих указаниях ISO 13320: 2009.

Теория MIE использовалась при обнаружении концентрации масла в загрязненной воде.

Mie Scatatering является основным методом оценки одиночных сонолуминесзийных пузырьков воздуха в воде и действителен для полостей в материалах, а также частицах в материалах, если окружающий материал по сути не впитывает.

Паразитология

Он также использовался для изучения структуры Plasmodium falciparum , особенно патогенной формы малярии .

Расширения

В 1986 году PA Bobbert и J. Vlieger расширили модель MIE, чтобы вычислить рассеяние по сфере в однородной среде, размещенной на плоской поверхности: модель Bobbert - Vlieger (BV). Как и модель MIE, расширенная модель может быть применена к сферам с радиусом почти длиной волны падающего света. Модель была реализована в C ++ исходном коде . Последние события связаны с рассеянием эллипсоидом. Современные исследования идут на хорошо известные исследования Рэйли.

Смотрите также

• Коды для электромагнитного рассеяния сферами
• Вычислительная электромагнетика
• Рассеяние света по частицам
• Список атмосферных кодов переноса переноса
• Оптические свойства воды и льда

Дальнейшее чтение

• Керкер, М. (1969). Рассеяние света и другого электромагнитного излучения . Нью -Йорк: академический.
• Парикмахер, PW; Хилл, С.С. (1990). Свет рассеяние по частицам: вычислительные методы . Сингапур: World Scientific. ISBN  978-9971-5-0813-5 .
• Mishchenko, M.; Трэвис, Л.; Лакис, А. (2002). Рассеяние, поглощение и излучение света мелкими частицами . Нью -Йорк: издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78252-4 .
• Frisvad, J.; Christensen, N.; Дженсен, Х. (2007). «Вычисление рассеянных свойств участвующих средств массовой информации с использованием теории Lorenz-Mie» (PDF) . ACM транзакции на графике . 26 (3): 60. doi : 10.1145/1276377.1276452 .
• Вридт, Томас (2008). «Mie Theory 1908, на мобильном телефоне 2008». Журнал количественной спектроскопии и радиационной передачи . 109 (8): 1543–1548. BIBCODE : 2008JQSRT.109.1543W . doi : 10.1016/j.jqsrt.2008.01.009 .
• Лоренц, Людвиг (1890). «Световое движение внутри и снаружи одного из плоских волн освещало мяч». Королевское датское общество наук об обществе . 6 (6): 1–62.

Внешние ссылки

• ScatterLib и Scattport.org - это коллекции кодов рассеяния света с реализациями решений MIE в Fortran , C ++ , IDL , Pascal , Mathematica и Mathcad
• JMIE (2D C ++ Код для расчета аналитических полей вокруг бесконечного цилиндра, разработанного Джеффри М. МакМэхоном)
• Scatlab . Mie Scattering Software для Windows.
• Стратификация кода рассеяния MATLAB от многослойных сфер в тех случаях, когда источник представляет собой точечный диполь и плоская волна. Описание в Arxiv: 2006.06512
• Scattnlay с открытым исходным C ++ , пакет решений кодом с обертками Python и JavaScript . Обеспечивает результаты моделирования дальнего и ближнего поля для многослойных сфер.
• Онлайн-калькулятор рассеяния MIE обеспечивает моделирование свойств рассеяния (включая мультипольное разложение) и карты ближнего поля для объемных, основных и многослойных сфер. Параметры материала включают все файлы NK-DATA с веб-сайта RefractiveIndex.info . Исходный код является частью проекта Scattnlay .
• Онлайн -калькулятор решения MIE доступен с документацией на немецком и английском языке.
• Онлайн -калькулятор Scatater Scattering создает красивые графики в диапазоне параметров.
• Phpmie Online Mie Scattering Calculator, написанный на PHP .
• Mie Reonance опосредованная диффузия света и случайное кожа.
• Решение Mie для сферических частиц .
• Pymiescatt , пакет решений MIE, написанный на Python .
• Pymieforall , пакет решений с открытым исходным кодом C ++ Mie с Python Purper.