Квадратичная взаимность

Гаусс опубликовал первое и второе доказательства закона квадратичной взаимности для искусств 125–146 и 262 из Disquisitiones Arithmeticae в 1801 году.

В теории чисел закон квадратичной взаимности — это теорема о модулярной арифметике , которая дает условия разрешимости квадратных уравнений по модулю простых чисел . В силу своей тонкости он имеет множество формулировок, но самая стандартная формулировка такова:

Закон квадратичной взаимности . Пусть p и q — различные нечетные простые числа, и определите символ Лежандра как:

$\left({\frac {q}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}n^{2}\equiv q{\bmod {p}}{\text{ for some integer }}n\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Затем:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

Этот закон вместе с дополнениями к нему позволяет легко вычислить любой символ Лежандра, давая возможность определить, существует ли целочисленное решение для любого квадратного уравнения вида $x^{2}\equiv a{\bmod {p}}$ за нечетное простое число $p$; то есть определить «совершенные квадраты» по модулю $p$. Однако это неконструктивный результат: он вообще не помогает найти конкретное решение; для этого необходимы другие методы. Например, в случае $p\equiv 3{\bmod {4}}$ используя критерий Эйлера, можно дать явную формулу для «квадратных корней» по модулю $p$ квадратичного вычета $a$, а именно,

$\pm a^{\frac {p+1}{4}}$

действительно,

$\left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}\right)^{2}=a^{\frac {p+1}{2}}=a\cdot a^{\frac {p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}}\right)=a{\bmod {p}}.$

Эта формула работает только в том случае, если заранее известно, что $a$ является квадратичным вычетом , который можно проверить с помощью закона квадратичной взаимности.

Квадратичная теорема взаимности была выдвинута Эйлером и Лежандром и впервые доказана Гауссом . который назвал ее «фундаментальной теоремой» в своих Disquisitiones Arithmeticae и своих статьях, написав

Фундаментальную теорему, безусловно, следует считать одной из самых элегантных в своем роде. (Статья 151)

В частном порядке Гаусс называл это «золотой теоремой». Он опубликовал шесть доказательств этого, и еще два были найдены в его посмертных статьях. Сейчас опубликовано более 240 доказательств. приведено самое короткое известное доказательство Ниже вместе с краткими доказательствами дополнений к закону (символы Лежандра -1 и 2).

Обобщение закона взаимности на высшие степени было ведущей проблемой в математике и имело решающее значение для развития большей части механизма современной алгебры , теории чисел и алгебраической геометрии , достигнув кульминации в взаимности Артина , теории полей классов и теории Ленглендса. программа .

Мотивирующие примеры

Квадратичная взаимность возникает из-за определенных тонких схем факторизации, включающих идеальные квадратные числа. В этом разделе мы приведем примеры, которые приводят к общему случаю.

Факторинг n ²  − 5

Рассмотрим полином $f(n)=n^{2}-5$ и его значения для $n\in \mathbb {N} .$ Простые факторизации этих значений задаются следующим образом:

н	⁠ $f(n)$⁠			н	⁠ $f(n)$⁠			н	⁠ $f(n)$⁠
1	−4	−2 2		16	251	251		31	956	2 2 ⋅239
2	−1	−1		17	284	2 2 ⋅71		32	1019	1019
3	4	2 2		18	319	11⋅29		33	1084	2 2 ⋅271
4	11	11		19	356	2 2 ⋅89		34	1151	1151
5	20	2 2 ⋅5		20	395	5⋅79		35	1220	2 2 ⋅5⋅61
6	31	31		21	436	2 2 ⋅109		36	1291	1291
7	44	2 2 ⋅11		22	479	479		37	1364	2 2 ⋅11⋅31
8	59	59		23	524	2 2 ⋅131		38	1439	1439
9	76	2 2 ⋅19		24	571	571		39	1516	2 2 ⋅379
10	95	5⋅19		25	620	2 2 ⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	2 2 ⋅29		26	671	11⋅61		41	1676	2 2 ⋅419
12	139	139		27	724	2 2 ⋅181		42	1759	1759
13	164	2 2 ⋅41		28	779	19⋅41		43	1844	2 2 ⋅461
14	191	191		29	836	2 2 ⋅11⋅19		44	1931	1931
15	220	2 2 ⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020	2 2 ⋅5⋅101

Основные факторы $p$ разделяющий $f(n)$ являются $p=2,5$, и каждое простое число, последняя цифра которого равна $1$ или $9$; нет простых чисел, оканчивающихся на $3$ или $7$ когда-нибудь появиться. Сейчас, $p$ является основным фактором некоторых $n^{2}-5$ в любое время $n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}$, то есть всякий раз, когда $n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},$ т.е. всякий раз, когда 5 является квадратичным вычетом по модулю $p$. Это происходит за $p=2,5$ и эти простые числа с $p\equiv 1,4{\bmod {5}},$ и последние цифры $1=(\pm 1)^{2}$ и $4=(\pm 2)^{2}$ являются в точности квадратичными вычетами по модулю $5$. Поэтому, кроме $p=2,5$, у нас это есть $5$ является квадратичным вычетом по модулю $p$ если только $p$ является квадратичным вычетом по модулю $5$.

Закон квадратичной взаимности дает аналогичную характеристику простых делителей чисел. $f(n)=n^{2}-q$ для любого простого числа q , что приводит к характеризации любого целого числа $q$.

Закономерности среди квадратичных остатков

Пусть p — нечетное простое число. Число по модулю p является квадратичным вычетом , если оно конгруэнтно квадрату (mod p ); в противном случае это квадратичный невычет. («Квадратичный» можно опустить, если это ясно из контекста.) Здесь мы исключаем ноль как особый случай. Тогда как следствие того, что мультипликативная группа конечного поля порядка p является циклической порядка p-1 , справедливы следующие утверждения:

• Квадратичных остатков и невычетов одинаковое количество; и
• Произведение двух квадратичных остатков является остатком, произведение остатка и невычета является невычетом, а произведение двух невычетов является остатком.

Во избежание сомнений, эти утверждения не верны, если модуль не является простым. Например, в мультипликативной группе по модулю 15 всего 3 квадратичных вычета (1, 4 и 9). Более того, хотя 7 и 8 являются квадратичными невычетами, их произведение 7x8 = 11 также является квадратичным невычетом, в отличие от простого случая.

Квадратичные остатки отображаются в виде записей в следующей таблице, индексированных по номеру строки как модулю и номеру столбца как корню:

Простые числа по модулю квадратов

н	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
н 2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625
в сторону 3	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1
против 5	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0
против 7	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2
около 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9
около 13	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1	0	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1
около 17	1	4	9	16	8	2	15	13	13	15	2	8	16	9	4	1	0	1	4	9	16	8	2	15	13
около 19	1	4	9	16	6	17	11	7	5	5	7	11	17	6	16	9	4	1	0	1	4	9	16	6	17
к 23	1	4	9	16	2	13	3	18	12	8	6	6	8	12	18	3	13	2	16	9	4	1	0	1	4
к 29	1	4	9	16	25	7	20	6	23	13	5	28	24	22	22	24	28	5	13	23	6	20	7	25	16
к 31	1	4	9	16	25	5	18	2	19	7	28	20	14	10	8	8	10	14	20	28	7	19	2	18	5
против 37	1	4	9	16	25	36	12	27	7	26	10	33	21	11	3	34	30	28	28	30	34	3	11	21	33
к 41	1	4	9	16	25	36	8	23	40	18	39	21	5	32	20	10	2	37	33	31	31	33	37	2	10
против 43	1	4	9	16	25	36	6	21	38	14	35	15	40	24	10	41	31	23	17	13	11	11	13	17	23
против 47	1	4	9	16	25	36	2	17	34	6	27	3	28	8	37	21	7	42	32	24	18	14	12	12	14

Эта таблица полна для нечетных простых чисел меньше 50. Чтобы проверить, является ли число m квадратичным вычетом по модулю одного из этих простых чисел p , найдите a ≡ m (mod p ) и 0 ≤ a < p . Если a находится в строке p , то m является остатком (mod p ); если a не находится в строке p таблицы, то m является невычетом (mod p ).

Квадратичный закон взаимности — это утверждение, что определенные закономерности, найденные в таблице, в целом верны.

Версия Лежандра

Другой способ упорядочить данные — посмотреть, какие простые числа являются остатками по модулю других простых чисел, как показано в следующей таблице. Запись в строки p столбце q равна R, если q — квадратичный вычет (mod p ); если это невычет, запись N. равна

Если строка, столбец или оба значения ≡ 1 (по модулю 4), запись имеет синий или зеленый цвет; если и строка, и столбец ≡ 3 (по модулю 4), он желтый или оранжевый.

Синие и зеленые записи симметричны вокруг диагонали: запись для строки p и столбца q равна R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q и столбце p равна R (соответственно N ).

Желтый и оранжевый, с другой стороны, антисимметричны: запись для строки p и столбца q равна R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q и столбце p равна N (соответственно R ).

Закон взаимности утверждает, что эти закономерности справедливы для всех p и q .

Легенда

Р	q — остаток (mod p )	q ≡ 1 (по модулю 4) или p ≡ 1 (по модулю 4) (или оба) (отвечая взаимностью)
Н	q — невычет (mod p )
Р	q — остаток (mod p )	д ≡ р ≡ 3 (по модулю 4) (без взаимности)
Н	q — невычет (mod p )

		д
		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
п	3		Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Р	Н	Н	Р
	5	Н		Н	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н
	7	Н	Н		Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н
	11	Р	Р	Н		Н	Н	Н	Р	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Р
	13	Р	Н	Н	Н		Р	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Н	Н
	17	Н	Н	Н	Н	Р		Р	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н
	19	Н	Р	Р	Р	Н	Р		Р	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н
	23	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Н		Р	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Н
	29	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Р		Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Н
	31	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Н		Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Н	Р
	37	Р	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Н		Р	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Р	Н	Н
	41	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Р	Р		Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н
	43	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Р		Р	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Р
	47	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Н		Р	Р	Р	Н	Р	Н	Р	Р	Р	Р
	53	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Р		Р	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р
	59	Р	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Н	Р		Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н
	61	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н		Н	Н	Р	Н	Р	Н	Р
	67	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н		Р	Р	Н	Р	Р	Н
	71	Р	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Н		Р	Р	Р	Р	Н
	73	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Р		Р	Н	Р	Р
	79	Н	Р	Н	Р	Р	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Р		Р	Р	Р
	83	Р	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Р	Р	Р	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Н		Н	Н
	89	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н		Р
	97	Р	Н	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Р

Упорядочение строк и столбцов по модулю 4 делает рисунок более понятным.

		д
		83	79	71	67	59	47	43	31	23	19	11	7	3	5	13	17	29	37	41	53	61	73	89	97
п	83		Н	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н
	79	Р		Н	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Р
	71	Р	Р		Н	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н
	67	Р	Н	Р		Р	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н
	59	Н	Р	Р	Н		Н	Н	Н	Н	Р	Н	Р	Р	Р	Н	Р	Р	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Н
	47	Р	Р	Р	Н	Р		Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Р	Н	Р	Р
	43	Р	Р	Н	Р	Р	Р		Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Н	Р
	31	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н		Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р
	23	Н	Н	Р	Н	Р	Р	Н	Р		Н	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Н
	19	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Р		Р	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н
	11	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н	Р	Р	Н		Н	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Р
	7	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Р		Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н
	3	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Р		Н	Р	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Р
	5	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Р	Н	Н		Н	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н	Р	Н
	13	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Н		Р	Р	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Н
	17	Р	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р		Н	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Н
	29	Р	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Р	Н		Н	Н	Р	Н	Н	Н	Н
	37	Р	Н	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Н	Н		Р	Р	Н	Р	Н	Н
	41	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Н	Н	Р		Н	Р	Р	Н	Н
	53	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Р	Р	Р	Н		Н	Н	Р	Р
	61	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Н	Р	Н		Р	Н	Р
	73	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Н	Р		Р	Р
	89	Н	Р	Р	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Н	Р		Р
	97	Н	Р	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Н	Н	Р	Н	Р	Н	Н	Н	Н	Н	Н	Р	Р	Р	Р

Дополнения к квадратичной взаимности

В дополнениях представлены решения конкретных случаев квадратичной взаимности. Их часто цитируют как частичные результаты, не прибегая к полной теореме.

q = ±1 и первое дополнение

Тривиально 1 является квадратичным вычетом для всех простых чисел. Вопрос становится более интересным для −1. Исследуя таблицу, мы находим -1 в строках 5, 13, 17, 29, 37 и 41, но не в строках 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 или 47. Все первые простые числа конгруэнтны. равны 1 по модулю 4, а последние конгруэнтны 3 по модулю 4.

Первое дополнение к квадратичной взаимности. Конгруэнтность $x^{2}\equiv -1{\bmod {p}}$ разрешима тогда и только тогда, когда $p$ соответствует 1 по модулю 4.

q = ±2 и второе дополнение

Исследуя таблицу, мы находим 2 в строках 7, 17, 23, 31, 41 и 47, но не в строках 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 или 43. Все первые простые числа равны ≡ ± 1 (по модулю 8), а последние все ≡ ±3 (по модулю 8). Это приводит к

Второе дополнение к квадратичной взаимности. Конгруэнтность $x^{2}\equiv 2{\bmod {p}}$ разрешима тогда и только тогда, когда $p$ конгруэнтно ±1 по модулю 8.

-2 находится в строках 3, 11, 17, 19, 41, 43, но не в строках 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 или 47. Первые равны ≡ 1 или ≡ 3 (по модулю 8) , а последние ≡ 5, 7 (по модулю 8).

q = ±3

3 находится в строках 11, 13, 23, 37 и 47, но не в строках 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 или 43. Первые равны ≡ ±1 (по модулю 12), а вторые все ≡ ±5 (по модулю 12).

−3 находится в строках 7, 13, 19, 31, 37 и 43, но не в строках 5, 11, 17, 23, 29, 41 или 47. Первые равны ≡ 1 (mod 3), а вторые ≡ 2. (мод 3).

Поскольку единственный вычет (mod 3) равен 1, мы видим, что −3 является квадратичным вычетом по модулю каждого простого числа, который является вычетом по модулю 3.

q = ±5

5 находится в строках 11, 19, 29, 31 и 41, но не в строках 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 или 47. Первые равны ≡ ±1 (по модулю 5), а вторые ≡ ±2 (мод. 5).

Поскольку единственные вычеты (по модулю 5) равны ±1, мы видим, что 5 является квадратичным вычетом по модулю каждого простого числа, которое является вычетом по модулю 5.

−5 находится в строках 3, 7, 23, 29, 41, 43 и 47, но не в строках 11, 13, 17, 19, 31 или 37. Первые равны ≡ 1, 3, 7, 9 (по модулю 20 ), а последние ≡ 11, 13, 17, 19 (по модулю 20).

Высшее q

Наблюдения относительно −3 и 5 продолжают сохраняться: −7 является вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 7, −11 является вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 11, 13 является остаток (mod p ) тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 13 и т. д. Более сложные на вид правила для квадратичных символов 3 и -5, которые зависят от сравнений по модулю 12 и 20 соответственно, — это просто правила для — 3 и 5 работают с первой добавкой.

Пример. Чтобы −5 был остатком (mod p ), либо оба 5 и −1 должны быть остатками (mod p ), либо они оба должны быть невычетами: т. е. p ≡ ±1 (mod 5) и p ≡ 1. (по модулю 4) или p ≡ ±2 (по модулю 5) и p ≡ 3 (по модулю 4). Используя китайскую теорему об остатках, они эквивалентны p ≡ 1,9 (по модулю 20) или p ≡ 3,7 (по модулю 20).

Обобщением правил для −3 и 5 является утверждение Гаусса о квадратичной взаимности.

Формулировка теоремы

Квадратичная взаимность (утверждение Гаусса). Если $q\equiv 1{\bmod {4}}$, то сравнение $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ разрешима тогда и только тогда, когда $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ разрешима. Если $q\equiv 3{\bmod {4}}$ и $p\equiv 3{\bmod {4}}$, то сравнение $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ разрешима тогда и только тогда, когда $x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}$ разрешимо.

Квадратичная взаимность (комбинированное утверждение). Определять $q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q$. Тогда соответствие $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ разрешима тогда и только тогда, когда $x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}$ разрешимо.

Квадратичная взаимность (утверждение Лежандра). Если p или q равны 1 по модулю 4, то: $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ разрешима тогда и только тогда, когда $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ разрешима. Если p и q равны 3 по модулю 4, то: $x^{2}\equiv q{\bmod {p}}$ разрешима тогда и только тогда, когда $x^{2}\equiv p{\bmod {q}}$ неразрешима.

Последнее немедленно эквивалентно современной форме, указанной во введении выше. Это простое упражнение, позволяющее доказать эквивалентность утверждений Лежандра и Гаусса – оно требует не более чем первого дополнения и фактов умножения вычетов и невычетов.

Доказательство

Основная статья: Доказательства квадратичной взаимности

По-видимому, самое короткое известное доказательство было опубликовано Б. Векличем в American Mathematical Monthly .

Доказательства добавок

Значение символа Лежандра $-1$ (использованное в доказательстве выше) следует непосредственно из критерия Эйлера :

$\left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod {p}}$

по критерию Эйлера, но обе стороны этого сравнения являются числами вида $\pm 1$, поэтому они должны быть равны.

Ли $2$ является квадратичным вычетом, можно сделать вывод, если известно число решений уравнения $x^{2}+y^{2}=2$ с $x,y\in \mathbb {Z} _{p},$ которую можно решить стандартными методами. А именно, все ее решения, где $xy\neq 0,x\neq \pm y$ можно сгруппировать в восьмерки вида $(\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)$, и осталось четыре решения вида $(\pm 1,\pm 1)$ и, возможно, четыре дополнительных решения, где $x^{2}=2,y=0$ и $x=0,y^{2}=2$, которые существуют именно тогда, когда $2$ является квадратичным вычетом. То есть, $2$ является квадратичным вычетом именно в том случае, если число решений этого уравнения делится на $8$. И это уравнение здесь можно решить точно так же, как и над рациональными числами: подставить $x=a+1,y=at+1$, где мы требуем, чтобы $a\neq 0$ (опуская два решения $(1,\pm 1)$), то исходное уравнение преобразуется в

$a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.$

Здесь $t$ может иметь любое значение, не приводящее к нулю знаменатель – для чего существуют $1+\left({\frac {-1}{p}}\right)$ возможности (т.е. $2$ если $-1$ представляет собой остаток, $0$ если нет) – и тоже не делает $a$ ноль, что исключает еще один вариант, $t=-1$. Таким образом, существуют

$p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1$

возможности для $t$, и поэтому вместе с двумя исключенными решениями имеется общее количество $p-\left({\frac {-1}{p}}\right)$ решения исходного уравнения. Поэтому, $2$ это остаточный модуль $p$ тогда и только тогда, когда $8$ делит $p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}$. Это переформулировка приведенного выше условия.

История и альтернативные утверждения

Теорема была сформулирована во многих отношениях до ее современной формы: у Эйлера и Лежандра не было обозначения сравнения Гаусса, а у Гаусса не было символа Лежандра.

В этой статье p и q всегда относятся к различным положительным нечетным простым числам, а x и y — к неопределенным целым числам.

Ферма

Ферма доказал (или утверждал, что доказал) ряд теорем о выражении простого числа через квадратичную форму:

${\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {3}}\\\end{aligned}}$

Он не сформулировал закон квадратичной взаимности, хотя случаи −1, ±2 и ±3 легко выводятся из этих и других его теорем.

Он также утверждал, что у него есть доказательство того, что если простое число p заканчивается на 7 (по основанию 10), а простое число q заканчивается на 3 и p ≡ q ≡ 3 (по модулю 4), то

$pq=x^{2}+5y^{2}.$

Эйлер предположил, а Лагранж доказал, что

${\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}$

Доказательство этих и других утверждений Ферма было одним из тех, что привело математиков к теореме взаимности.

Эйлер

В переводе на современные обозначения Эйлер заявил: что для различных нечетных простых чисел p и q :

1. Если q ≡ 1 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b такое, что p ≡ b. ² (мод q ).
2. Если q ≡ 3 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b , которое нечетно и не делится на q такое, что p ≡ ± b ² (против 4 q ).

Это эквивалентно квадратичной взаимности.

Он не смог этого доказать, но доказал второе дополнение.

Лежандр и его символ

Ферма доказал, что если p — простое число и a — целое число,

$a^{p}\equiv a{\bmod {p}}.$

Таким образом, если p не делит a , используя неочевидный факт (см., например, Айрленд и Розен ниже), что вычеты по модулю p образуют поле и, следовательно, в частности, мультипликативная группа является циклической, следовательно, может быть не более двух решений квадратное уравнение:

$a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.$

Лежандр пусть a и A представляют положительные простые числа ≡ 1 (по модулю 4), а b и B — положительные простые числа ≡ 3 (по модулю 4), и представляет таблицу из восьми теорем, которые вместе эквивалентны квадратичной взаимности:

Теорема	Когда	отсюда следует, что
я	$b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$	$a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}$
II	$a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}$	$b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}$
III	$a^{\frac {A-1}{2}}\equiv 1{\bmod {A}}$	$A^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$
IV	$a^{\frac {A-1}{2}}\equiv -1{\bmod {A}}$	$A^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}$
V	$a^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}$	$b^{\frac {a-1}{2}}\equiv 1{\bmod {a}}$
МЫ	$b^{\frac {a-1}{2}}\equiv -1{\bmod {a}}$	$a^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}$
VII	$b^{\frac {B-1}{2}}\equiv 1{\bmod {B}}$	$B^{\frac {b-1}{2}}\equiv -1{\bmod {b}}$
VIII	$b^{\frac {B-1}{2}}\equiv -1{\bmod {B}}$	$B^{\frac {b-1}{2}}\equiv 1{\bmod {b}}$

Он говорит, что поскольку выражения вида

$N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1$

будут появляться так часто, что он будет сокращать их так:

$\left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}}=\pm 1.$

Теперь он известен как символ Лежандра и его эквивалент. определение используется сегодня: для всех целых чисел a и всех нечетных простых чисел p

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}$

Версия квадратичной взаимности Лежандра

$\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}$

Он отмечает, что их можно комбинировать:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

Ряд доказательств, особенно основанных на лемме Гаусса , явно вычислить эту формулу.

Дополнительные законы с использованием символов Лежандра

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Из этих двух дополнений мы можем получить третий закон взаимности для квадратичного характера -2 следующим образом:

Чтобы -2 был квадратичным остатком, либо -1, либо 2 являются квадратичными остатками, либо оба не являются вычетами: ${\bmod {p}}$.

Итак, либо: ${\frac {p-1}{2}}{\text{ or }}{\frac {p^{2}-1}{8}}$ оба четные или оба нечетные. Сумма этих двух выражений равна

${\frac {p^{2}+4p-5}{8}}$ что является целым числом. Поэтому,

${\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Попытка Лежандра доказать взаимность основана на его теореме:

Теорема Лежандра. Пусть a , b и c — целые числа, где любая пара из трех относительно проста. Более того, предположим, что хотя бы один из ab , bc или ca отрицателен (т. е. не все они имеют одинаковый знак). Если

${\begin{aligned}u^{2}&\equiv -bc{\bmod {a}}\\v^{2}&\equiv -ca{\bmod {b}}\\w^{2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}$

разрешимы, то следующее уравнение имеет нетривиальное решение в целых числах:

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.$

Пример. Теорема I реализуется, если считать a ≡ 1 и b ≡ 3 (mod 4) простыми числами и предположить, что $\left({\tfrac {b}{a}}\right)=1$ и, вопреки теореме, что $\left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.$ Затем $x^{2}+ay^{2}-bz^{2}=0$ имеет решение, и сравнение (по модулю 4) приводит к противоречию.

Этот метод не работает для теоремы VIII. Пусть b ≡ B ≡ 3 (mod 4) и предположим, что

$\left({\frac {B}{b}}\right)=\left({\frac {b}{B}}\right)=-1.$

Тогда если существует другое простое число p ≡ 1 (mod 4) такое, что

$\left({\frac {p}{b}}\right)=\left({\frac {p}{B}}\right)=-1,$

разрешимость $Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0$ приводит к противоречию (мод. 4). должно существовать Но Лежандр не смог доказать, что такое простое число p ; Позже он смог показать, что все, что требуется, это:

Лемма Лежандра. Если p — простое число, конгруэнтное 1 по модулю 4, то существует нечетное простое число q такое, что $\left({\tfrac {p}{q}}\right)=-1.$

но и этого он не смог доказать. Символ Гильберта (ниже) описывает, как методы, основанные на существовании решений $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ можно заставить работать.

Гаусс

Часть статьи 131 первого издания (1801 г.) Disquisitiones , в которой перечислены 8 случаев квадратичной взаимности.

Гаусс первым доказывает дополнительные законы. Он устанавливает основу индукции, доказав теорему для ±3 и ±5. Отмечая что легче утверждать для −3 и +5, чем для +3 или −5, утверждает он. общую теорему в виде:

Если p — простое число формы 4 n + 1, то p , но если p имеет форму 4 n + 3, то − p , является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) каждого простого числа, которое с положительным знаком является остатком (соответственно невычетом) числа p . В следующем предложении он называет это «фундаментальной теоремой» (Гаусс никогда не использовал слово «взаимность»).

Вводя обозначение a R b (соответственно a N b ), чтобы обозначить, что a является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) (mod b ), и позволяя a , a ′ и т. д. представлять положительные простые числа ≡ 1 (mod 4) и b , b ′ и т. д. положительные простые числа ≡ 3 (по модулю 4), он разбивает его на те же 8 случаев, что и Лежандр:

Случай	Если	Затем
1)	± а р а ′	± а ′ Р а
2)	± а N а ′	± а ′ Н а
3)	+ а р б − а н б	± б Р а
4)	+ а н б − а р б	± б Н а
5)	± б Р а	+ а р б − а н б
6)	± б Н а	+ а н б − а р б
7)	+ б р б ′ - б N б ′	− б ′ Н б + б ′ р б
8)	- б N б ′ + б р б ′	+ б ′ р б − б ′ Н б

В следующей статье он обобщает это на основные правила для символа Якоби (ниже) . Пусть A , A ′ и т. д. представляют собой любые (простые или составные) положительные числа ≡ 1 (по модулю 4), а B , B ′ и т. д. положительные числа ≡ 3 (по модулю 4):

Случай	Если	Затем
9)	± а Р А	± А Р а
10)	± б Р А	+ А Р б − А Н б
11)	+ а Р Б	± Б Р а
12)	− а Р Б	± Б Н а
13)	+ б Р Б	− Б Н б + Н Р б
14)	- б р б	+ б Р Б − Б Н б

Все эти случаи принимают форму «если простое число является остатком (по модулю составного), то составное является остатком или невычетом (по модулю простого числа), в зависимости от сравнений (по модулю 4)». Он доказывает, что они следуют из случаев 1) — 8).

Гаусс нуждался и смог доказать: лемма, подобная той, которая нужна Лежандру:

Лемма Гаусса. Если p — простое число, конгруэнтное 1 по модулю 8, то существует нечетное простое число q такое, что:

$q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.$

Доказательство квадратичной взаимности использует полную индукцию .

Версия Гаусса в символах Лежандра.

$\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}$

Их можно комбинировать:

Комбинированная версия Гаусса в символах Лежандра. Позволять

$q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.$

Другими словами:

$|q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.$

Затем:

$\left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).$

Ряд доказательств теоремы, особенно основанных на суммах Гаусса. или расщепление простых чисел в полях алгебраических чисел , вывести эту формулу.

Другие заявления

Утверждения в этом разделе эквивалентны квадратичной взаимности: если, например, предполагается версия Эйлера, из нее можно вывести версию Лежандра-Гаусса, и наоборот.

Формулировка Эйлера квадратичной взаимности. Если $p\equiv \pm q{\bmod {4a}}$ затем $\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).$

Это можно доказать с помощью леммы Гаусса .

Квадратичная взаимность (Гаусс; четвертое доказательство). Пусть a , b , c ,... — неравные положительные нечетные простые числа, произведение которых равно n , и пусть m — их количество, равное ≡ 3 (mod 4); проверить, является ли n / a остатком a , является ли n / b остатком b , .... Число найденных невычетов будет четным, когда m ≡ 0, 1 (mod 4), и нечетным, если м ≡ 2, 3 (по модулю 4).

Четвертое доказательство Гаусса состоит из доказательства этой теоремы (путем сравнения двух формул для значения суммы Гаусса) и последующего ограничения ее двумя простыми числами. Затем он приводит пример: пусть a = 3, b = 5, c = 7 и d = 11. Три из них: 3, 7 и 11 ≡ 3 (mod 4), поэтому m ≡ 3 (mod 4). 5×7×11 Р 3; 3×7×11 Р 5; 3×5×11 Р 7; и 3×5×7 N 11, так что невычетов нечетное количество.

Формулировка Эйзенштейном квадратичной взаимности. Предполагать

$p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\bmod {4}},\quad q\equiv q'{\bmod {4}}.$

Затем

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).$

Формулировка Морделла квадратичной взаимности. Пусть a , b и c — целые числа. Для каждого простого числа p , делящего abc , если выполнено сравнение

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {4abc}{p}}}$

имеет нетривиальное решение, то оно имеет и такое же решение:

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {4abc}}.$

Формулировка дзета-функции

Как упоминалось в статье о дзета-функциях Дедекинда , квадратичная взаимность эквивалентна тому, что дзета-функция квадратичного поля является произведением дзета-функции Римана и некоторой L-функции Дирихле.

Символ Якоби

Основная статья: символ Якоби

Символ Якоби является обобщением символа Лежандра; Основное отличие состоит в том, что нижнее число должно быть положительным и нечетным, но не обязательно простым. Если оно простое, два символа совпадают. Он подчиняется тем же правилам манипуляции, что и символ Лежандра. В частности

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}$

и если оба числа положительны и нечетны (иногда это называют «законом взаимности Якоби»):

$\left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).$

Однако если символ Якоби равен 1, но знаменатель не является простым числом, из этого не обязательно следует, что числитель является квадратичным вычетом знаменателя. Случаи Гаусса 9)–14), приведенные выше, можно выразить через символы Якоби:

$\left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),$

и поскольку p — простое число, левая часть является символом Лежандра, и мы знаем, является ли M вычетом по модулю p или нет.

Формулы, перечисленные в предыдущем разделе, верны для символов Якоби, если эти символы определены. Формулу Эйлера можно записать

$\left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.$

Пример.

$\left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.$

2 — остаток по модулю простых чисел 7, 23 и 31:

$3^{2}\equiv 2{\bmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\bmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}.$

Но 2 не является квадратичным вычетом по модулю 5, поэтому оно не может быть единицей по модулю 15. Это связано с проблемой Лежандра: если $\left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,$ тогда a является невычетом по модулю каждого простого числа в арифметической прогрессии m + 4 a , m + 8 a , ..., если в этом ряду есть простые числа, но это было доказано только спустя десятилетия после Лежандра.

Формула Эйзенштейна требует условий относительной простоты (которые верны, если числа простые).

Позволять $a,b,a',b'$ быть положительными нечетными целыми числами такими, что:

${\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}}\\&b\equiv b'{\bmod {4}}\end{aligned}}$

Затем

$\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).$

Символ Гильберта

Квадратичный закон взаимности можно сформулировать через символ Гильберта. $(a,b)_{v}$ где a и b — любые два ненулевых рациональных числа, а v пробегает все нетривиальные абсолютные значения рациональных чисел (архимедово и p -адические абсолютные значения для простых чисел p ). Символ Гильберта $(a,b)_{v}$ равно 1 или −1. Оно определяется как 1 тогда и только тогда, когда уравнение $ax^{2}+by^{2}=z^{2}$ имеет решение в пополнении рациональных чисел в v, отличное от $x=y=z=0$. Закон взаимности Гильберта гласит, что $(a,b)_{v}$, при фиксированных a и b и варьирующемся v , равно 1 для всех, кроме конечного числа v , и произведения $(a,b)_{v}$ по всем v равно 1. (Формально это напоминает теорему о вычетах из комплексного анализа.)

Доказательство взаимности Гильберта сводится к проверке нескольких частных случаев, причем нетривиальные случаи оказываются эквивалентными основному закону и двум дополнительным законам квадратичной взаимности для символа Лежандра. В законе взаимности Гильберта нет взаимности; его название просто указывает на исторический источник результата квадратичной взаимности. В отличие от квадратичной взаимности, которая требует условий знака (а именно положительности участвующих простых чисел) и специального обращения с простым числом 2, закон взаимности Гильберта рассматривает все абсолютные значения рациональных чисел на равных основаниях. Следовательно, это более естественный способ выражения квадратичной взаимности с целью обобщения: закон взаимности Гильберта с очень небольшими изменениями распространяется на все глобальные поля , и это расширение можно по праву считать обобщением квадратичной взаимности на все глобальные поля.

Связь с круговыми полями

Ранние доказательства квадратичной взаимности относительно неясны. Ситуация изменилась, когда Гаусс использовал суммы Гаусса , чтобы показать, что квадратичные поля являются подполями круговых полей , и неявно вывел квадратичную взаимность из теоремы взаимности для круговых полей. Его доказательство было представлено в современной форме более поздними теоретиками алгебраических чисел. Это доказательство послужило шаблоном для теории полей классов , которую можно рассматривать как обширное обобщение квадратичной взаимности.

Роберт Ленглендс сформулировал программу Ленглендса , которая дает предположительное обширное обобщение теории полей классов. Он написал:

Признаюсь, что, будучи студентом, не знающим истории предмета и не знающим связи с циклотомией, я не находил закон или его так называемые элементарные доказательства привлекательными. Полагаю, хотя я бы и не выразился (и не мог) так, что видел в этом не более чем математическую диковинку, подходящую скорее для любителей, чем для внимания серьезного математика, которым я тогда надеялся стать. Это было только в книге Германа Вейля по алгебраической теории чисел. что я ценил это как нечто большее.

Другие кольца

Существуют также квадратичные законы взаимности в кольцах, отличных от целых чисел.

Гауссовы целые числа

Во второй монографии о четвертой взаимности Гаусс установил квадратичную взаимность для кольца $\mathbb {Z} [i]$ гауссовских целых чисел , говоря, что это следствие биквадратичного закона в $\mathbb {Z} [i],$ но не предоставил доказательства ни одной теоремы. Дирихле показало, что закон в $\mathbb {Z} [i]$ можно вывести из закона $\mathbb {Z}$ без использования четвертой степени взаимности.

Для нечетного гауссовского простого числа $\pi$ и гауссово целое число $\alpha$ относительно простой для $\pi ,$ определить квадратичный характер для $\mathbb {Z} [i]$ к:

$\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Позволять $\lambda =a+bi,\mu =c+di$ — различные простые гауссовы числа, где a и c нечетны, а b и d четны. Затем

$\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).$

Целые числа Эйзенштейна

Рассмотрим следующий третий корень из единицы:

$\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}.$

Кольцо целых чисел Эйзенштейна $\mathbb {Z} [\omega ].$ Для простого числа Эйзенштейна $\pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,$ и целое число Эйзенштейна $\alpha$ с $\gcd(\alpha ,\pi )=1,$ определить квадратичный характер для $\mathbb {Z} [\omega ]$ по формуле

$\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Пусть λ = a + bω и µ = c + dω — различные простые числа Эйзенштейна, где a и c не делятся на 3, а b и d делятся на 3. Эйзенштейн доказал

$\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).$

Мнимые квадратичные поля

Вышеупомянутые законы являются частными случаями более общих законов, которые справедливы для кольца целых чисел в любом мнимом поле квадратичных чисел . Пусть k — мнимое поле квадратичных чисел с кольцом целых чисел. ${\mathcal {O}}_{k}.$ Для главного идеала ${\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ с нечетной нормой $\mathrm {N} {\mathfrak {p}}$ и $\alpha \in {\mathcal {O}}_{k},$ определить квадратичный характер для ${\mathcal {O}}_{k}$ как

$\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\bmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}$

для произвольного идеала ${\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ учтены в главных идеалах ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}$ определять

$\left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},$

и для $\beta \in {\mathcal {O}}_{k}$ определять

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}\right]_{2}.$

Позволять ${\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2},$ то есть $\left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}$ является неотъемлемой основой для ${\mathcal {O}}_{k}.$ Для $\nu \in {\mathcal {O}}_{k}$ с нечетной нормой $\mathrm {N} \nu ,$ определить (обычные) целые числа a , b , c , d с помощью уравнений,

${\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}$

и функция

$\chi (\nu ):=\imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.$

Если m = Nμ и n = Nν оба нечетны, Херглотц доказал

$\left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.$

Кроме того, если

$\mu \equiv \mu '{\bmod {4}}\quad {\text{and}}\quad \nu \equiv \nu '{\bmod {4}}$

Затем

$\left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.$

Полиномы над конечным полем

Пусть F — конечное поле с q = p ^н элементы, где p — нечетное простое число, а n положительное число, и пусть F [ x ] — кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами из F. — Если $f,g\in F[x]$ и f неприводим моник , : и имеет положительную степень, определите квадратичный характер для F [ x ] обычным способом

$\left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}$

Если $f=f_{1}\cdots f_{n}$ является произведением монических неприводимых, пусть

$\left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).$

Дедекинд доказал, что если $f,g\in F[x]$ моники и имеют положительные степени,

$\left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.$

Высшие силы

Дополнительная информация: Кубическая взаимность , Квартическая взаимность , Октическая взаимность и взаимность Эйзенштейна.

Попытка обобщить квадратичную взаимность для степеней выше второй была одной из главных целей, которые привели математиков 19 века, в том числе Карла Фридриха Гаусса , Питера Густава Лежена Дирихле , Карла Густава Якоба Якоби , Готхольда Эйзенштейна , Рихарда Дедекинда , Эрнста Куммера и Давида. Гильберта к изучению общих полей алгебраических чисел и их колец целых чисел; в частности, Куммер изобрел идеалы, чтобы сформулировать и доказать высшие законы взаимности.

Девятая просила в списке из 23 нерешённых задач , которые Давид Гильберт предложил Конгрессу математиков в 1900 году, «Доказательство наиболее общего закона взаимности [f] или произвольного числового поля». Опираясь на работы Филиппа Фуртвенглера , Тейджи Такаги , Хельмута Хассе и других, Эмиль Артин открыл в 1923 году взаимность Артина , общую теорему, для которой все известные законы взаимности являются частными случаями, и доказал ее в 1927 году.

См. также

• Дзета-функция Дедекинда
• Закон рациональной взаимности
• Zolotarev's lemma

Ссылки

Disquisitiones Arithmeticae переведена (с латыни) на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает все статьи Гаусса по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратной взаимности и неопубликованные заметки. Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae, имеют форму «Gauss, DA, Art. n ».

• Гаусс, Карл Фридрих (1986). Арифметические исследования . Перевод Кларка, Артура А. (Второе, исправленное изд.). Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  0-387-96254-9 .
• Гаусс, Карл Фридрих (1965). Исследования по высшей арифметике (Disquisitiones Arithemeticae и другие статьи по теории чисел) . Перевод Мазера, Германа (второе изд.). Нью-Йорк: Челси. ISBN  0-8284-0191-8 .

Две монографии Гаусса, опубликованные по биквадратичной взаимности, имеют последовательную нумерацию разделов: первая содержит §§ 1–23, вторая – §§ 24–76. Сноски, ссылающиеся на них, имеют форму «Gauss, BQ, § n ».

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Теория биквадратичных вычетов, Первый комментарий , Геттинген: Комментарий. Соц. королевская наука, Геттинген 6
• Гаусс, Карл Фридрих (1832), Теория биквадратичных вычетов, Второй комментарий , Геттинген: Комментарий. Соц. королевская наука, Геттинген 7

Гаусса» Они находятся в «Сочинениях , том II, стр. 65–92 и 93–148. Немецкие переводы находятся на стр. 511–533 и 534–586 книги « Исследования по высшей арифметике».

В каждом учебнике по элементарной теории чисел (и немало по теории алгебраических чисел ) есть доказательство квадратичной взаимности. Особенно примечательны два:

Книга Франца Леммермейера «Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна » содержит множество доказательств (некоторые в упражнениях) как квадратичных, так и высших законов взаимности, а также обсуждение их истории. Его огромная библиография включает литературные цитаты для 196 различных опубликованных доказательств квадратичного закона взаимности .

Книга Кеннета Айрленда и Майкла Розена « Классическое введение в современную теорию чисел» также содержит множество доказательств квадратичной взаимности (и множество упражнений), а также охватывает кубические и биквадратичные случаи. Упражнение 13.26 (с. 202) говорит само за себя.

Подсчитайте количество доказательств квадратичного закона взаимности, приведенных до сих пор в этой книге, и придумайте еще одно.

• Бах, Эрик; Шалит, Джеффри (1966), Алгоритмическая теория чисел (Том I: Эффективные алгоритмы) , Кембридж: MIT Press , ISBN  0-262-02405-5
• Эдвардс, Гарольд (1977), Последняя теорема Ферма , Нью-Йорк: Springer , ISBN  0-387-90230-9
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN  3-540-66957-4 , МР   1761696
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN  0-387-97329-Х

Внешние ссылки

• «Квадратичный закон взаимности» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Теорема квадратичной взаимности от MathWorld
• Пьеса , сравнивающая два доказательства квадратичного закона взаимности.
• Доказательство этой теоремы на PlanetMath.
• Другое доказательство на MathPages
• Хронология и библиография доказательств квадратичного закона взаимности Ф. Леммермейера (332 доказательства)