Рядом с кольцом
В математике почти -кольцо (также около-кольцо или почти-кольцо ) — это алгебраическая структура , похожая на кольцо , но удовлетворяющая меньшему количеству аксиом . Почти-кольца естественным образом возникают из функций на группах .
| Алгебраические структуры |
|---|
Определение [ править ]
Множество , N вместе с двумя двоичными операциями + (называемыми сложением ) и ⋅ (называемыми умножением ) называется (правым) почти-кольцом если:
- N — группа (не обязательно абелева ) относительно сложения;
- умножение ассоциативно (поэтому N является полугруппой при умножении); и
- умножение справа распределяет по сложению: для любых x , y , z в N справедливо соотношение ( x + y )⋅ z = ( x ⋅ z ) + ( y ⋅ z ). [1]
Аналогично можно определить левое почти-кольцо , заменив правый дистрибутивный закон соответствующим левым дистрибутивным законом. В литературе встречаются как правые, так и левые околокольца; например, книга Пильца [2] используются правые околокольца, а в книге Клея [3] использует левые ближние кольца.
Непосредственным следствием этого одностороннего закона распределения является то, что верно, что 0⋅ x = 0, но не обязательно верно, что x ⋅0 = 0 для любого x в N . Другое непосредственное следствие состоит в том, что (− x )⋅ y = −( x ⋅ y ) для любых x , y из N , но не обязательно, чтобы x ⋅(− y ) = −( x ⋅ y ). Почти-кольцо является кольцом тогда и только тогда, когда сложение коммутативно, а умножение также дистрибутивно по отношению к сложению слева . Если почтикольцо имеет мультипликативное тождество, то дистрибутивности с обеих сторон достаточно, и автоматически следует коммутативность сложения.
Сопоставления группы с самой собой [ править ]
Пусть G — группа, записанная аддитивно, но не обязательно абелева , и пусть M ( G ) — множество { f | f : G → G } всех функций из G в G . Операция сложения может быть определена на M ( G ): если заданы f , g в M ( G ), то отображение f + g из G в G задается формулой ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) для всех x в G . Тогда ( M ( G ), +) также является группой, которая абелева тогда и только тогда, когда G абелева. Взяв композицию отображений за произведение ⋅, M ( G ) становится почти-кольцом.
0-элемент почти-кольца M ( G ) — это нулевое отображение , т. е. отображение, которое переводит каждый элемент G в единичный G. элемент Аддитивное обратное − f к f в M ( G ) совпадает с естественным поточечным то есть (− f )( x ) = −( f ( x )) для всех x в G. определением ,
Если G имеет хотя бы два элемента, то M ( G ) не является кольцом, даже если G абелева. (Рассмотрим постоянное отображение g из G элемент g ≠ 0 из G ; тогда g ⋅0 = g ≠ 0. ) Однако существует подмножество E ( G ) из M ( G ), состоящее из всех групповых эндоморфизмов G в фиксированный , то есть все отображения f : G → G такие, что f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) для всех x , y в G . Если ( G , +) абелева, обе почтикольцевые операции на M ( G ) замкнуты на E ( G ), и ( E ( G ), +, ⋅) является кольцом. Если ( G , +) неабелева, то E ( G ) вообще не замкнута относительно околокольцевых операций; но замыкание E ( G ) при околокольцевых операциях является околокольцевым.
Многие подмножества M ( G ) образуют интересные и полезные почти-кольца. Например: [1]
- Отображения, для которых f (0) = 0 .
- Постоянные отображения, т. е. те, которые отображают каждый элемент группы в один фиксированный элемент.
- Набор отображений, порожденный сложением и отрицанием эндоморфизмов группы («аддитивное замыкание» множества эндоморфизмов). Если G абелева, то множество эндоморфизмов уже аддитивно замкнуто, так что аддитивное замыкание представляет собой не что иное, как множество эндоморфизмов G и образует не просто почти-кольцо, а кольцо.
Дополнительные примеры встречаются, если группа имеет дополнительную структуру, например:
- Непрерывные отображения в топологической группе .
- Полиномиальные функции на кольце с единицей при сложении и полиномиальной композиции.
- Аффинные отображения в векторном пространстве .
Каждое почти-кольцо изоморфно подпочти-кольцу M ( G для некоторого G. )
Приложения [ править ]
Многие приложения включают подкласс близких колец, известный как ближние поля ; об этом см. статью о ближнем поле.
Существуют различные применения собственных околоколец, т. е. тех, которые не являются ни кольцами, ни ближними полями.
Наиболее известным является балансирование неполных блочных конструкций. [2] с использованием плоских околоколец. Это способ получить разностные семейства, используя орбиты без неподвижных точек группы автоморфизмов группы. Джеймс Р. Клей и другие распространили эти идеи на более общие геометрические конструкции. [3]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Г. Пильц, (1982), «Ближние кольца: что они такое и для чего они хороши» в журнале Contemp. Математика. , 9, стр. 97–119. амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1981.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Г. Пильц, « Близкие кольца, теория и ее приложения », Северная Голландия, Амстердам, 2-е издание, (1983).
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Дж. Клэй, «Ближе: Бытие и применение», Оксфорд, (1992).
- Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Неринги: некоторые события, связанные с полугруппами и группами . Академическое издательство Клювер. ISBN 978-1-4613-0267-4 .