Адиабатическая теорема

Адиабатическая теорема — это концепция квантовой механики . Его первоначальная форма, предложенная Максом Борном и Владимиром Фоком (1928), была сформулирована следующим образом:

Физическая система остается в своем мгновенном собственном состоянии если данное возмущение действует на нее достаточно медленно и если существует разрыв между собственным значением и остальной частью гамильтониана спектра , . ^[1]

Проще говоря, квантовомеханическая система, подвергающаяся постепенно меняющимся внешним условиям, адаптирует свою функциональную форму, но при воздействии быстро меняющихся условий у функциональной формы недостаточно времени для адаптации, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной.

Адиабатический маятник

На Сольвеевской конференции 1911 года Эйнштейн прочитал лекцию о квантовой гипотезе, в которой утверждалось, что $E=nh\nu$ для атомных генераторов. После лекции Эйнштейна Хендрик Лоренц заметил, что в классическом понимании, если простой маятник укорачивается, удерживая проволоку между двумя пальцами и смещая ее вниз, кажется, что его энергия будет плавно меняться по мере укорочения маятника. Кажется, это показывает, что квантовая гипотеза недействительна для макроскопических систем, и если макроскопические системы не следуют квантовой гипотезе, то, когда макроскопическая система становится микроскопической, кажется, что квантовая гипотеза будет признана недействительной. Эйнштейн ответил, что, хотя обе энергии $E$ и частота $\nu$ изменится их соотношение ${\frac {E}{\nu }}$ все равно сохранится, что сохранит квантовую гипотезу. ^[2]

Перед конференцией Эйнштейн только что прочитал статью Пауля Эренфеста об адиабатической гипотезе. ^[3] Мы знаем, что он прочитал ее, потому что упомянул об этом в письме Микеле Бессо, написанном перед конференцией. ^[4]^[5]

Диабатические и адиабатические процессы

Сравнение
Диабатический	Адиабатический
Быстро меняющиеся условия не позволяют системе адаптировать свою конфигурацию в ходе процесса, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной. Обычно не существует собственного состояния конечного гамильтониана с той же функциональной формой, что и исходное состояние. Система заканчивается линейной комбинацией состояний, сумма которых воспроизводит начальную плотность вероятности.	Постепенно меняющиеся условия позволяют системе адаптировать свою конфигурацию, следовательно, плотность вероятности изменяется в результате процесса. Если система начинается в собственном состоянии исходного гамильтониана, она закончится в соответствующем собственном состоянии конечного гамильтониана. ^[6]

В какой-то начальный момент $t_{0}$ квантовомеханическая система имеет энергию, определяемую гамильтонианом ${\hat {H}}(t_{0})$ ; система находится в собственном состоянии ${\hat {H}}(t_{0})$ помеченный $\psi (x,t_{0})$ . Изменение условий непрерывно изменяет гамильтониан, в результате чего получается окончательный гамильтониан. ${\hat {H}}(t_{1})$ в какое-то более позднее время $t_{1}$ . Система будет развиваться в соответствии с зависящим от времени уравнением Шредингера , чтобы достичь конечного состояния. $\psi (x,t_{1})$ . Адиабатическая теорема утверждает, что модификация системы критически зависит от времени $\tau =t_{1}-t_{0}$ во время которого происходит модификация.

Для истинно адиабатического процесса нам потребуется $\tau \to \infty$ ; в этом случае конечное состояние $\psi (x,t_{1})$ будет собственным состоянием окончательного гамильтониана ${\hat {H}}(t_{1})$ , с измененной конфигурацией:

|\psi (x,t_{1})|^{2}\neq |\psi (x,t_{0})|^{2}.

Степень, в которой данное изменение приближает адиабатический процесс, зависит как от энергетического разделения между $\psi (x,t_{0})$ и соседних состояний, а также отношение интервала $\tau$ характерным временным масштабам эволюции $\psi (x,t_{0})$ для независимого от времени гамильтониана $\tau _{int}=2\pi \hbar /E_{0}$ , где $E_{0}$ это энергия $\psi (x,t_{0})$ .

И наоборот, в пределе $\tau \to 0$ у нас есть бесконечно быстрый или диабатический переход; конфигурация состояния остается неизменной:

|\psi (x,t_{1})|^{2}=|\psi (x,t_{0})|^{2}.

Так называемое «условие разрыва», включенное в первоначальное определение Борна и Фока, данное выше, относится к требованию, спектр чтобы ${\hat {H}}$ дискретно состояние и невырождено , так что нет никакой двусмысленности в порядке состояний (можно легко установить, какое собственное ${\hat {H}}(t_{1})$ соответствует $\psi (t_{0})$ ). В 1999 году Дж. Э. Аврон и А. Элгарт переформулировали адиабатическую теорему, чтобы адаптировать ее к ситуациям без разрыва. ^[7]

Сравнение с адиабатической концепцией термодинамики.

Термин «адиабатический» традиционно используется в термодинамике для описания процессов без обмена теплом между системой и окружающей средой (см. Адиабатический процесс ), точнее эти процессы обычно протекают быстрее, чем временные рамки теплообмена. (Например, волна давления является адиабатической по отношению к тепловой волне, которая не является адиабатической.) Адиабатическая в контексте термодинамики часто используется как синоним быстрого процесса.

классической Определение и квантовой механики ^[8] вместо этого он ближе к термодинамической концепции квазистатического процесса , который представляет собой процессы, которые почти всегда находятся в равновесии (т.е. которые медленнее, чем временные масштабы взаимодействий по обмену внутренней энергией, а именно, «нормальная» атмосферная тепловая волна является квазистатической, а волны давления нет). Адиабатический в контексте механики часто используется как синоним медленного процесса.

В квантовом мире адиабатика означает, например, что время взаимодействия электронов и фотонов намного быстрее или почти мгновенно по сравнению со средним временем распространения электронов и фотонов. Следовательно, мы можем смоделировать взаимодействия как часть непрерывного распространения электронов и фотонов (т.е. состояний в равновесии) плюс квантовый скачок между состояниями (т.е. мгновенный).

Адиабатическая теорема в этом эвристическом контексте по существу говорит о том, что квантовых скачков желательно избегать и система пытается сохранить состояние и квантовые числа. ^[9]

Квантовомеханическое понятие адиабаты связано с адиабатическим инвариантом , оно часто используется в старой квантовой теории и не имеет прямого отношения к теплообмену.

Примеры систем

Простой маятник

В качестве примера рассмотрим маятник , колеблющийся в вертикальной плоскости. Если опору переместить, то режим колебаний маятника изменится. Если опору перемещать достаточно медленно , движение маятника относительно опоры останется неизменным. Постепенное изменение внешних условий позволяет системе адаптироваться, сохраняя свой первоначальный характер. Подробный классический пример доступен на странице адиабатических инвариантов и здесь. ^[10]

Квантовый гармонический осциллятор

Классическая природа маятника не позволяет полностью описать эффекты адиабатической теоремы. В качестве дальнейшего примера рассмотрим квантовый гармонический осциллятор как пружинную константу. $k$ увеличивается. Классически это эквивалентно увеличению жесткости пружины; квантово-механически эффект заключается в сужении кривой потенциальной энергии системы в гамильтониане .

Если $k$ увеличивается адиабатически ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to 0\right)}$ тогда система во времени $t$ будет в мгновенном собственном состоянии $\psi (t)$ текущего гамильтониана ${\hat {H}}(t)$ , соответствующий начальному собственному состоянию ${\hat {H}}(0)$ . Для частного случая такой системы, как квантовый гармонический осциллятор, описываемый одним квантовым числом , это означает, что квантовое число останется неизменным. На рисунке 1 показано, как гармонический осциллятор, первоначально находящийся в основном состоянии, $n=0$ , остается в основном состоянии при сжатии кривой потенциальной энергии; функциональная форма государства, адаптирующаяся к медленно меняющимся условиям.

При быстром увеличении жесткости пружины в системе происходит диабатический процесс. ${\textstyle \left({\frac {dk}{dt}}\to \infty \right)}$ при котором система не успевает адаптировать свою функциональную форму к меняющимся условиям. Хотя конечное состояние должно выглядеть идентично исходному состоянию $\left(|\psi (t)|^{2}=|\psi (0)|^{2}\right)$ для процесса, происходящего в течение исчезающего периода времени, не существует собственного состояния нового гамильтониана, ${\hat {H}}(t)$ , что напоминает исходное состояние. Конечное состояние состоит из линейной суперпозиции множества различных собственных состояний. ${\hat {H}}(t)$ сумма которых воспроизводит форму исходного состояния.

Предотвращение пересечения кривой

В качестве более широко применимого примера рассмотрим двухуровневый атом, находящийся под действием внешнего магнитного поля . ^[11] Штаты, помеченные $|1\rangle$ и $|2\rangle$ используя обозначение Бра-кета , можно рассматривать как атомные состояния углового момента , каждое из которых имеет особую геометрию. По причинам, которые станут ясными, эти состояния впредь будут называться диабатическими состояниями. Волновую функцию системы можно представить как линейную комбинацию диабатических состояний:

|\Psi \rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle .

В отсутствие поля энергетическое разделение диабатических состояний равно $\hbar \omega _{0}$ ; энергия государства $|1\rangle$ увеличивается с увеличением магнитного поля (состояние поиска слабого поля), а энергия состояния $|2\rangle$ уменьшается с увеличением магнитного поля (состояние поиска сильного поля). Считая зависимость магнитного поля линейной, матрицу Гамильтона для системы с приложенным полем можно записать

\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\mu B(t)-\hbar \omega _{0}/2&a\\a^{*}&\hbar \omega _{0}/2-\mu B(t)\end{pmatrix}}

где $\mu$ - магнитный момент атома, который считается одинаковым для двух диабатических состояний, и $a$ представляет собой некоторую независимую от времени связь между двумя состояниями. Диагональные элементы — это энергии диабатических состояний ( $E_{1}(t)$ и $E_{2}(t)$ ), однако, как $\mathbf {H}$ не является диагональной матрицей , ясно, что эти состояния не являются собственными состояниями $\mathbf {H}$ из-за недиагональной константы связи.

Собственные векторы матрицы $\mathbf {H}$ являются собственными состояниями системы, которые мы обозначим $|\phi _{1}(t)\rangle$ и $|\phi _{2}(t)\rangle$ , с соответствующими собственными значениями ${\begin{aligned}\varepsilon _{1}(t)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}\\[4pt]\varepsilon _{2}(t)&=+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}.\end{aligned}}$

Важно понимать, что собственные значения $\varepsilon _{1}(t)$ и $\varepsilon _{2}(t)$ являются единственными разрешенными выходными данными для любого отдельного измерения энергии системы, тогда как диабатические энергии $E_{1}(t)$ и $E_{2}(t)$ соответствуют математическим ожиданиям энергии системы в диабатических состояниях $|1\rangle$ и $|2\rangle$ .

На рис. 2 представлена зависимость диабатической и адиабатической энергий от величины магнитного поля; обратите внимание, что для ненулевой связи собственные значения гамильтониана не могут быть вырожденными , и, таким образом, мы имеем возможность избежать пересечения. Если атом изначально находится в состоянии $|\phi _{2}(t_{0})\rangle$ в нулевом магнитном поле (на красной кривой, крайний слева) адиабатическое увеличение магнитного поля ${\textstyle \left({\frac {dB}{dt}}\to 0\right)}$ будет гарантировать, что система останется в собственном состоянии гамильтониана $|\phi _{2}(t)\rangle$ на протяжении всего процесса (следует красной кривой). Диабатическое увеличение магнитного поля ${\textstyle \left({\frac {dB}{dt}}\to \infty \right)}$ будет гарантировать, что система следует диабатическому пути (пунктирная синяя линия), так что система переходит в состояние $|\phi _{1}(t_{1})\rangle$ . Для конечных скоростей нарастания магнитного поля ${\textstyle \left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}$ будет конечная вероятность найти систему в любом из двух собственных состояний. подходы Ниже приведены к расчету этих вероятностей.

Эти результаты чрезвычайно важны в атомной и молекулярной физике для контроля распределения энергетических состояний в популяции атомов или молекул.

Математическое утверждение

При медленно меняющемся гамильтониане $H(t)$ с мгновенными собственными состояниями $|n(t)\rangle$ и соответствующие энергии $E_{n}(t)$ , квантовая система эволюционирует из начального состояния $|\psi (0)\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)|n(0)\rangle$ до конечного состояния $|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)|n(t)\rangle ,$ где коэффициенты претерпевают изменение фазы $c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{i\theta _{n}(t)}e^{i\gamma _{n}(t)}$

с динамической фазой $\theta _{m}(t)=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{m}(t')dt'$

и геометрическая фаза $\gamma _{m}(t)=i\int _{0}^{t}\langle m(t')|{\dot {m}}(t')\rangle dt'.$

В частности, $|c_{n}(t)|^{2}=|c_{n}(0)|^{2}$ , поэтому, если система начинается в собственном состоянии $H(0)$ , он остается в собственном состоянии $H(t)$ в ходе эволюции только со сменой фазы.

Доказательства

Сакурай в современной квантовой механике ^[12]

This proof is partly inspired by one given by Sakurai in Modern Quantum Mechanics.^[12] The instantaneous eigenstates $|n(t)\rangle$ and energies $E_{n}(t)$ , by assumption, satisfy the time-independent Schrödinger equation $H(t)|n(t)\rangle =E_{n}(t)|n(t)\rangle$ at all times $t$ . Thus, they constitute a basis that can be used to expand the state $|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)|n(t)\rangle$ at any time $t$ . The evolution of the system is governed by the time-dependent Schrödinger equation $i\hbar |{\dot {\psi }}(t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle ,$ where ${\dot {}}=d/dt$ (see Notation for differentiation § Newton's notation). Insert the expansion of $|\psi (t)\rangle$ , use $H(t)|n(t)\rangle =E_{n}(t)|n(t)\rangle$ , differentiate with the product rule, take the inner product with $|m(t)\rangle$ and use orthonormality of the eigenstates to obtain $i\hbar {\dot {c}}_{m}(t)+i\hbar \sum _{n}c_{n}(t)\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle =c_{m}(t)E_{m}(t).$

This coupled first-order differential equation is exact and expresses the time-evolution of the coefficients in terms of inner products $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle$ between the eigenstates and the time-differentiated eigenstates. But it is possible to re-express the inner products for $m\neq n$ in terms of matrix elements of the time-differentiated Hamiltonian ${\dot {H}}(t)$ . To do so, differentiate both sides of the time-independent Schrödinger equation with respect to time using the product rule to get ${\dot {H}}(t)|n(t)\rangle +H(t)|{\dot {n}}(t)\rangle ={\dot {E}}_{n}(t)|n(t)\rangle +E_{n}(t)|{\dot {n}}(t)\rangle .$

Again take the inner product with $|m(t)\rangle$ and use $\langle m(t)|H(t)=E_{m}(t)\langle m(t)|$ and orthonormality to find $\langle m(t)|{\dot {n}}(t)\rangle =-{\frac {\langle m(t)|{\dot {H}}(t)|n(t)\rangle }{E_{m}(t)-E_{n}(t)}}\qquad (m\neq n).$

Insert this into the differential equation for the coefficients to obtain ${\dot {c}}_{m}(t)+\left({\frac {i}{\hbar }}E_{m}(t)+\langle m(t)|{\dot {m}}(t)\rangle \right)c_{m}(t)=\sum _{n\neq m}{\frac {\langle m(t)|{\dot {H}}|n(t)\rangle }{E_{m}(t)-E_{n}(t)}}c_{n}(t).$

This differential equation describes the time-evolution of the coefficients, but now in terms of matrix elements of ${\dot {H}}(t)$ . To arrive at the adiabatic theorem, neglect the right hand side. This is valid if the rate of change of the Hamiltonian ${\dot {H}}(t)$ is small and there is a finite gap $E_{m}(t)-E_{n}(t)\neq 0$ between the energies. This is known as the adiabatic approximation. Under the adiabatic approximation, ${\dot {c}}_{m}(t)=i\left(-{\frac {E_{m}(t)}{\hbar }}+i\langle m(t)|{\dot {m}}(t)\rangle \right)c_{m}(t)$ which integrates precisely to the adiabatic theorem $c_{m}(t)=c_{m}(0)e^{i\theta _{m}(t)}e^{i\gamma _{m}(t)}$ with the phases defined in the statement of the theorem.

The dynamical phase $\theta _{m}(t)$ is real because it involves an integral over a real energy. To see that the geometric phase $\gamma _{m}(t)$ is purely real, differentiate the normalization $\langle m(t)|m(t)\rangle =1$ of the eigenstates and use the product rule to find that

$0={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}\langle m(t)|m(t)\rangle {\Bigr )}=\langle {\dot {m}}(t)|m(t)\rangle +\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle =\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle ^{*}+\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle =2\,\operatorname {Re} {\Bigl (}\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle {\Bigr )}.$

Thus, $\langle m(t))|{\dot {m}}(t)\rangle$ is purely imaginary, so the geometric phase $\gamma _{m}(t)$ is purely real.

Адиабатическое приближение ^[13]^[14]

Proof with the details of the adiabatic approximation^[13]^[14] We are going to formulate the statement of the theorem as follows:

For a slowly varying Hamiltonian

{\hat {H}}

in the time range T the solution of the schroedinger equation

\Psi (t)

with initial conditions

\Psi (0)=\psi _{n}(0)

where

\psi _{n}(t)

is the eigenvector of the instantaneous Schroedinger equation

{\hat {H}}(t)\psi _{n}(t)=E_{n}(t)\psi _{n}(t)

can be approximated as:

\left\|{\Psi (t)-\psi _{\text{adiabatic}}(t)}\right\|\approx O({\frac {1}{T}})

where the adiabatic approximation is:

|\psi _{\text{adiabatic}}(t)\rangle =e^{i\theta _{n}(t)}e^{i\gamma _{n}(t)}|\psi _{n}(t)\rangle

and

\theta _{n}(t)=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{t}E_{n}(t')dt'

\gamma _{n}(t)=\int _{0}^{t}\nu _{n}(t')dt'

also called Berry phase

\nu _{n}(t)=i\langle \psi _{n}(t)|{\dot {\psi }}_{n}(t)\rangle

And now we are going to prove the theorem.

Consider the time-dependent Schrödinger equation $i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}({\tfrac {t}{T}})|\psi (t)\rangle$ with Hamiltonian ${\hat {H}}(t).$ We would like to know the relation between an initial state $|\psi (0)\rangle$ and its final state $|\psi (T)\rangle$ at $t=T$ in the adiabatic limit $T\to \infty .$

First redefine time as $\lambda ={\tfrac {t}{T}}\in [0,1]$ : $i\hbar {\partial \over \partial \lambda }|\psi (\lambda )\rangle =T{\hat {H}}(\lambda )|\psi (\lambda )\rangle .$ At every point in time ${\hat {H}}(\lambda )$ can be diagonalized ${\hat {H}}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle =E_{n}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle$ with eigenvalues $E_{n}$ and eigenvectors $|\psi _{n}(\lambda )\rangle$ . Since the eigenvectors form a complete basis at any time we can expand $|\psi (\lambda )\rangle$ as: $|\psi (\lambda )\rangle =\sum _{n}c_{n}(\lambda )|\psi _{n}(\lambda )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )},$ where $\theta _{n}(\lambda )=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{0}^{\lambda }E_{n}(\lambda ')d\lambda '.$ The phase $\theta _{n}(t)$ is called the dynamic phase factor. By substitution into the Schrödinger equation, another equation for the variation of the coefficients can be obtained: $i\hbar \sum _{n}({\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle +c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle +ic_{n}|\psi _{n}\rangle T{\dot {\theta }}_{n})e^{iT\theta _{n}}=\sum _{n}c_{n}TE_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.$ The term ${\dot {\theta }}_{n}$ gives $-E_{n}/\hbar$ , and so the third term of left side cancels out with the right side, leaving $\sum _{n}{\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}=-\sum _{n}c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.$

Now taking the inner product with an arbitrary eigenfunction $\langle \psi _{m}|$ , the $\langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle$ on the left gives $\delta _{nm}$ , which is 1 only for m = n and otherwise vanishes. The remaining part gives ${\dot {c}}_{m}=-\sum _{n}c_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}.$

For $T\to \infty$ the $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ will oscillate faster and faster and intuitively will eventually suppress nearly all terms on the right side. The only exceptions are when $\theta _{n}-\theta _{m}$ has a critical point, i.e. $E_{n}(\lambda )=E_{m}(\lambda )$ . This is trivially true for $m=n$ . Since the adiabatic theorem assumes a gap between the eigenenergies at any time this cannot hold for $m\neq n$ . Therefore, only the $m=n$ term will remain in the limit $T\to \infty$ .

In order to show this more rigorously we first need to remove the $m=n$ term. This can be done by defining $d_{m}(\lambda )=c_{m}(\lambda )e^{\int _{0}^{\lambda }\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{m}\rangle d\lambda }=c_{m}(\lambda )e^{-i\gamma _{m}(\lambda )}.$

We obtain: ${\dot {d}}_{m}=-\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}.$ This equation can be integrated: ${\begin{aligned}d_{m}(1)-d_{m}(0)&=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \\&=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}(d_{n}-d_{n}(0))\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda -\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \end{aligned}}$ or written in vector notation ${\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)=-\int _{0}^{1}{\hat {A}}(T,\lambda )({\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0))d\lambda -{\vec {\alpha }}(T).$ Here ${\hat {A}}(T,\lambda )$ is a matrix and $\alpha _{m}(T)=\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda$ is basically a Fourier transform. It follows from the Riemann-Lebesgue lemma that ${\vec {\alpha }}(T)\to 0$ as $T\to \infty$ . As last step take the norm on both sides of the above equation: $\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert +\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert \Vert {\vec {d}}(\lambda )-{\vec {d}}(0)\Vert d\lambda$ and apply Grönwall's inequality to obtain $\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert e^{\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda )\Vert d\lambda }.$ Since ${\vec {\alpha }}(T)\to 0$ it follows $\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \to 0$ for $T\to \infty$ . This concludes the proof of the adiabatic theorem.

In the adiabatic limit the eigenstates of the Hamiltonian evolve independently of each other. If the system is prepared in an eigenstate $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ its time evolution is given by: $|\psi (\lambda )\rangle =|\psi _{n}(\lambda )\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda )}e^{i\gamma _{n}(\lambda )}.$

So, for an adiabatic process, a system starting from nth eigenstate also remains in that nth eigenstate like it does for the time-independent processes, only picking up a couple of phase factors. The new phase factor $\gamma _{n}(t)$ can be canceled out by an appropriate choice of gauge for the eigenfunctions. However, if the adiabatic evolution is cyclic, then $\gamma _{n}(t)$ becomes a gauge-invariant physical quantity, known as the Berry phase.

Общее доказательство в пространстве параметров

Let's start from a parametric Hamiltonian $H({\vec {R}}(t))$ , where the parameters are slowly varying in time, the definition of slow here is defined essentially by the distance in energy by the eigenstates (through the uncertainty principle, we can define a timescale that shall be always much lower than the time scale considered).

This way we clearly also identify that while slowly varying the eigenstates remains clearly separated in energy (e.g. also when we generalize this to the case of bands as in the TKNN formula the bands shall remain clearly separated). Given they do not intersect the states are ordered and in this sense this is also one of the meanings of the name topological order.

We do have the instantaneous Schrödinger equation: $H({\vec {R}}(t))|\psi _{m}(t)\rangle =E_{m}(t)|\psi _{m}(t)\rangle$ And instantaneous eigenstates: $\langle \psi _{m}(t)|\psi _{n}(t)\rangle =\delta _{mn}$ The generic solution: $\Psi (t)=\sum a_{n}(t)|\psi _{n}(t)\rangle$ plugging in the full Schrödinger equation and multiplying by a generic eigenvector: $\langle \psi _{m}(t)|i\hbar \partial _{t}|\Psi (t)\rangle =\langle \psi _{m}(t)|H({\vec {R}}(t))|\Psi (t)\rangle$ ${\dot {a}}_{m}+\sum _{n}\langle \psi _{m}(t)|\partial _{\vec {R}}|\psi _{n}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}a_{n}=-{\frac {i}{\hbar }}E_{m}(t)a_{m}$ And if we introduce the adiabatic approximation: $|\langle \psi _{m}(t)|\partial _{\vec {R}}|\psi _{n}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}a_{n}|\ll |a_{m}|$ for each $m\neq n$ We have ${\dot {a}}_{m}=-\langle \psi _{m}(t)|\partial _{\vec {R}}|\psi _{m}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}a_{m}-{\frac {i}{\hbar }}E_{m}(t)a_{m}$ and $a_{m}(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}E_{m}(t')dt'}e^{i\gamma _{m}(t)}a_{m}(t_{0})$ where $\gamma _{m}(t)=i\int _{t_{0}}^{t}\langle \psi _{m}(t)|\partial _{\vec {R}}|\psi _{m}(t)\rangle {\dot {\vec {R}}}dt'=i\int _{C}\langle \psi _{m}({\vec {R}})|\partial _{\vec {R}}|\psi _{m}({\vec {R}})\rangle d{\vec {R}}$ And C is the path in the parameter space,

This is the same as the statement of the theorem but in terms of the coefficients of the total wave function and its initial state.^[15]

Now this is slightly more general than the other proofs given we consider a generic set of parameters, and we see that the Berry phase acts as a local geometric quantity in the parameter space. Finally integrals of local geometric quantities can give topological invariants as in the case of the Gauss-Bonnet theorem.^[16] In fact if the path C is closed then the Berry phase persists to Gauge transformation and becomes a physical quantity.

Примеры приложений

Часто твердый кристалл моделируется как набор независимых валентных электронов, движущихся в среднем идеально периодическом потенциале, создаваемом жесткой решеткой ионов. С помощью адиабатической теоремы мы также можем вместо этого включить движение валентных электронов поперек кристалла и тепловое движение ионов, как в приближении Борна-Оппенгеймера . ^[17]

Это объясняет многие явления в области:

термодинамика : температурная зависимость теплоемкости , теплового расширения , плавления.
явления переноса : температурная зависимость удельного электросопротивления проводников Некоторые свойства , температурная зависимость электропроводности в изоляторах , низкотемпературной сверхпроводимости
оптика : оптическое поглощение в инфракрасном диапазоне для ионных кристаллов , рассеяние Бриллюэна , комбинационное рассеяние.

Вывод условий для диабатического и адиабатического прохождения

Теперь мы проведем более строгий анализ. ^[18] Используя обозначение бра-кета , вектор состояния системы в момент времени $t$ можно написать

|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}^{A}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|\phi _{n}\rangle ,

где упомянутая ранее пространственная волновая функция представляет собой проекцию вектора состояния на собственные состояния оператора положения

\psi (x,t)=\langle x|\psi (t)\rangle .

Поучительно рассмотреть предельные случаи, в которых $\tau$ бывает очень большим (адиабатическое или постепенное изменение) и очень малым (диабатическим или внезапным изменением).

Рассмотрим гамильтониан системы, претерпевающий непрерывное изменение от начального значения ${\hat {H}}_{0}$ , во время $t_{0}$ , до окончательного значения ${\hat {H}}_{1}$ , во время $t_{1}$ , где $\tau =t_{1}-t_{0}$ . Эволюцию системы можно описать в картине Шрёдингера оператором эволюции во времени, определяемым интегральным уравнением

{\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t'){\hat {U}}(t',t_{0})dt',

что эквивалентно уравнению Шредингера .

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0}),

вместе с начальным состоянием ${\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1$ . Учитывая знание волновой функции системы при $t_{0}$ , эволюция системы до более позднего времени $t$ можно получить с помощью

|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .

Задача определения адиабатичности данного процесса эквивалентна установлению зависимости ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$ на $\tau$ .

Чтобы определить справедливость адиабатического приближения для данного процесса, можно вычислить вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором она началась. Используя обозначение Бракета и определение $|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle$ , у нас есть:

\zeta =\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle -\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0})|0\rangle \langle 0|{\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle .

Мы можем расширить ${\hat {U}}(t_{1},t_{0})$

{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1+{1 \over i\hbar }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt+{1 \over (i\hbar )^{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt'\int _{t_{0}}^{t'}dt''{\hat {H}}(t'){\hat {H}}(t'')+\cdots .

В пертурбативном пределе мы можем взять только первые два члена и подставить их в наше уравнение для $\zeta$ , признавая, что

{1 \over \tau }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt\equiv {\bar {H}}

– гамильтониан системы, усредненный по интервалу $t_{0}\to t_{1}$ , у нас есть:

\zeta =\langle 0|(1+{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})(1-{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle -\langle 0|(1+{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle \langle 0|(1-{\tfrac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})|0\rangle .

После расширения продуктов и внесения соответствующих изменений у нас осталось:

\zeta ={\frac {\tau ^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(\langle 0|{\bar {H}}^{2}|0\rangle -\langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \right),

предоставление

\zeta ={\frac {\tau ^{2}\Delta {\bar {H}}^{2}}{\hbar ^{2}}},

где $\Delta {\bar {H}}$ – среднеквадратическое отклонение гамильтониана системы, усредненное по интересующему интервалу.

Внезапное приближение справедливо, когда $\zeta \ll 1$ (вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от того, в котором она была запущена, стремится к нулю), таким образом, условие справедливости имеет вид

\tau \ll {\hbar  \over \Delta {\bar {H}}},

что является утверждением время-энергетической формы принципа неопределенности Гейзенберга .

Диабатический переход

В пределе $\tau \to 0$ мы имеем бесконечно быстрый или диабатический переход:

\lim _{\tau \to 0}{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1.

Функциональная форма системы остается неизменной:

|\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}=\left|\langle x|\psi (t_{0})\rangle \right|^{2}.

Иногда это называют внезапным приближением. Справедливость приближения для данного процесса можно охарактеризовать вероятностью того, что состояние системы останется неизменным:

P_{D}=1-\zeta .

Адиабатический проход

В пределе $\tau \to \infty$ мы имеем бесконечно медленный, или адиабатический переход. Система развивается, адаптируя свою форму к меняющимся условиям.

|\langle x|\psi (t_{1})\rangle |^{2}\neq |\langle x|\psi (t_{0})\rangle |^{2}.

Если система изначально находится в собственном состоянии ${\hat {H}}(t_{0})$ , через некоторое время $\tau$ оно перейдет в соответствующее собственное состояние ${\hat {H}}(t_{1})$ .

Это называется адиабатическим приближением. Справедливость аппроксимации для данного процесса можно определить по вероятности того, что конечное состояние системы отличается от начального состояния:

P_{A}=\zeta .

Расчет вероятностей адиабатического прохождения

Формула Ландау–Цинера.

В 1932 году аналитическое решение проблемы вычисления вероятностей адиабатического перехода было опубликовано отдельно Львом Ландау и Кларенсом Зинером . ^[19] для частного случая линейно меняющегося возмущения, в котором изменяющаяся во времени компонента не связывает соответствующие состояния (следовательно, связь в диабатической матрице гамильтониана не зависит от времени).

Ключевым показателем качества в этом подходе является скорость Ландау–Зинера: $v_{\text{LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},$ где $q$ - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение системы), и $E_{1}$ и $E_{2}$ – энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большой $v_{\text{LZ}}$ приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.

Используя формулу Ландау – Зинера, вероятность $P_{\rm {D}}$ , диабатического перехода определяется выражением

${\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\\\end{aligned}}$

Численный подход

Для перехода, связанного с нелинейным изменением возмущающей переменной или зависящей от времени связи между диабатическими состояниями, уравнения движения динамики системы не могут быть решены аналитически. Вероятность диабатического перехода все еще можно получить, используя одну из широких разновидностей алгоритмов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений .

Уравнения, которые необходимо решить, можно получить из зависящего от времени уравнения Шредингера:

$i\hbar {\dot {\underline {c}}}^{A}(t)=\mathbf {H} _{A}(t){\underline {c}}^{A}(t),$

где ${\underline {c}}^{A}(t)$ - вектор, содержащий амплитуды адиабатического состояния, $\mathbf {H} _{A}(t)$ - зависящий от времени адиабатический гамильтониан, ^[11] а лишняя точка представляет собой производную по времени.

Сравнение используемых начальных условий со значениями амплитуд состояний после перехода может дать вероятность диабатического перехода. В частности, для двухгосударственной системы: $P_{D}=|c_{2}^{A}(t_{1})|^{2}$ для системы, которая началась с $|c_{1}^{A}(t_{0})|^{2}=1$ .

См. также

Ссылки

^ М. Борн и В. А. Фок (1928). «Доказательство адиабатической теоремы». Журнал физики А. 51 (3–4): 165–180. Бибкод : 1928ZPhy...51..165B . дои : 10.1007/BF01343193 . S2CID 122149514 .
^ Институты Сольвея, Брюссельский международный институт физики, Совет физики; Сольвей, Эрнест; Ланжевен, Поль; Бройль, Морис де; Эйнштейн, Альберт (1912). Теория излучения и квантов: доклады и дискуссии совещания, состоявшегося в Брюсселе с 30 октября по 3 ноября 1911 г. под эгидой М. Е. Сольвея . Библиотека Университета Британской Колумбии. Париж: Готье-Виллар. п. 450.
^ ЭРЕНФЕСТ, П. (1911): «Какие особенности квантовой гипотезы света играют существенную роль в теории теплового излучения?» Annals of Physics 36, 91-118. Перепечатано в KLEIN (1959), 185–212.
^ «Письмо Микеле Бессо от 21 октября 1911 года, переведенное в томе 5: Швейцарские годы: переписка, 1902–1914 (приложение к английскому переводу), страница 215» . einsteinpapers.press.princeton.edu . Проверено 17 апреля 2024 г.
^ Лейдлер, Кейт Дж. (1 марта 1994 г.). «Смысл слова «адиабатический» » . Канадский химический журнал . 72 (3): 936–938. дои : 10.1139/v94-121 . ISSN 0008-4042 .
^ Т. Като (1950). «К адиабатической теореме квантовой механики». Журнал Физического общества Японии . 5 (6): 435–439. Бибкод : 1950JPSJ....5..435K . дои : 10.1143/JPSJ.5.435 .
^ Дж. Э. Аврон и А. Элгарт (1999). «Адиабатическая теорема без условия разрыва». Связь в математической физике . 203 (2): 445–463. arXiv : math-ph/9805022 . Бибкод : 1999CMaPh.203..445A . дои : 10.1007/s002200050620 . S2CID 14294926 .
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). «10». Введение в квантовую механику . Пирсон Прентис Холл. ISBN 0-13-111892-7 .
^ Цвибах, Бартон (весна 2018 г.). «Л15.2 Классический адиабатический инвариант» . Массачусетский технологический институт 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г.
^ Цвибах, Бартон (весна 2018 г.). «Классический аналог: генератор с медленно меняющейся частотой» . Массачусетский технологический институт 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б С. Стенхольм (1994). «Квантовая динамика простых систем». 44-я летняя школа по физике шотландского университета : 267–313.
^ Jump up to: ^а ^б Сакураи, Джей-Джей; Наполитано, Джим (17 сентября 2020 г.). Современная квантовая механика (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Bibcode : 2020mqm..книга.....S . дои : 10.1017/9781108587280 . ISBN 978-1-108-58728-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Цвибах, Бартон (весна 2018 г.). «L16.1 Изложена квантовая адиабатическая теорема» . Массачусетский технологический институт 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б «MIT 8.06 Квантовая физика III» .
^ Берневиг, Б. Андрей; Хьюз, Тейлор Л. (2013). Топологические изоляторы и топологические сверхпроводники . Издательство Принстонского университета. пп. гл. 1.
^ Холдейн. «Нобелевская лекция» (PDF) .
^ Мессия, Альберт (1999). «XVII». Квантовая механика . Дуврские публикации. ISBN 0-486-40924-4 .
^ К. Зинер (1932). «Неадиабатическое пересечение энергетических уровней» . Труды Лондонского королевского общества, серия A. 137 (6): 692–702. Бибкод : 1932RSPSA.137..696Z . дои : 10.1098/rspa.1932.0165 . JSTOR 96038 .

[Born-Fock-1] М. Борн и В. А. Фок (1928). «Доказательство адиабатической теоремы». Журнал физики А. 51 (3–4): 165–180. Бибкод : 1928ZPhy...51..165B . дои : 10.1007/BF01343193 . S2CID 122149514 .

[2] Институты Сольвея, Брюссельский международный институт физики, Совет физики; Сольвей, Эрнест; Ланжевен, Поль; Бройль, Морис де; Эйнштейн, Альберт (1912). Теория излучения и квантов: доклады и дискуссии совещания, состоявшегося в Брюсселе с 30 октября по 3 ноября 1911 г. под эгидой М. Е. Сольвея . Библиотека Университета Британской Колумбии. Париж: Готье-Виллар. п. 450.

[3] ЭРЕНФЕСТ, П. (1911): «Какие особенности квантовой гипотезы света играют существенную роль в теории теплового излучения?» Annals of Physics 36, 91-118. Перепечатано в KLEIN (1959), 185–212.

[4] «Письмо Микеле Бессо от 21 октября 1911 года, переведенное в томе 5: Швейцарские годы: переписка, 1902–1914 (приложение к английскому переводу), страница 215» . einsteinpapers.press.princeton.edu . Проверено 17 апреля 2024 г.

[5] Лейдлер, Кейт Дж. (1 марта 1994 г.). «Смысл слова «адиабатический» » . Канадский химический журнал . 72 (3): 936–938. дои : 10.1139/v94-121 . ISSN 0008-4042 .

[Kato-6] Т. Като (1950). «К адиабатической теореме квантовой механики». Журнал Физического общества Японии . 5 (6): 435–439. Бибкод : 1950JPSJ....5..435K . дои : 10.1143/JPSJ.5.435 .

[Avron-Elgart-7] Дж. Э. Аврон и А. Элгарт (1999). «Адиабатическая теорема без условия разрыва». Связь в математической физике . 203 (2): 445–463. arXiv : math-ph/9805022 . Бибкод : 1999CMaPh.203..445A . дои : 10.1007/s002200050620 . S2CID 14294926 .

[Griffiths-8] Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). «10». Введение в квантовую механику . Пирсон Прентис Холл. ISBN 0-13-111892-7 .

[:1-9] Цвибах, Бартон (весна 2018 г.). «Л15.2 Классический адиабатический инвариант» . Массачусетский технологический институт 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г.

[:2-10] Цвибах, Бартон (весна 2018 г.). «Классический аналог: генератор с медленно меняющейся частотой» . Массачусетский технологический институт 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г.

[Stenholm-11] Jump up to: ^а ^б С. Стенхольм (1994). «Квантовая динамика простых систем». 44-я летняя школа по физике шотландского университета : 267–313.

[Modern_Quantum_Mechanics-12] Jump up to: ^а ^б Сакураи, Джей-Джей; Наполитано, Джим (17 сентября 2020 г.). Современная квантовая механика (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Bibcode : 2020mqm..книга.....S . дои : 10.1017/9781108587280 . ISBN 978-1-108-58728-0 .

[Zwiebach-13] Jump up to: ^а ^б Цвибах, Бартон (весна 2018 г.). «L16.1 Изложена квантовая адиабатическая теорема» . Массачусетский технологический институт 8.06 Квантовая физика III. Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г.

[MIT_8.06_Quantum_Physics_III-14] Jump up to: ^а ^б «MIT 8.06 Квантовая физика III» .

[15] Берневиг, Б. Андрей; Хьюз, Тейлор Л. (2013). Топологические изоляторы и топологические сверхпроводники . Издательство Принстонского университета. пп. гл. 1.

[16] Холдейн. «Нобелевская лекция» (PDF) .

[Bottani-17] © Карло Э. Боттани (2017–2018). Конспект лекций по физике твердого тела . стр. 64–67.

[Messiah-18] Мессия, Альберт (1999). «XVII». Квантовая механика . Дуврские публикации. ISBN 0-486-40924-4 .

[Zener-19] К. Зинер (1932). «Неадиабатическое пересечение энергетических уровней» . Труды Лондонского королевского общества, серия A. 137 (6): 692–702. Бибкод : 1932RSPSA.137..696Z . дои : 10.1098/rspa.1932.0165 . JSTOR 96038 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]