Функция плотности вероятности

Ящичный график и функция плотности вероятности нормального распределения N (0, σ ² ) .

Геометрическая визуализация моды , медианы и среднего значения произвольной унимодальной функции плотности вероятности.

В теории вероятностей функция плотности вероятности ( PDF ), функция плотности или плотность — абсолютно непрерывной случайной величины это функция , значение которой в любой заданной выборке (или точке) в выборочном пространстве (набор возможных значений, принимаемых случайная величина) можно интерпретировать как предоставление относительной вероятности того, что значение случайной величины будет равно этой выборке. Другими словами, плотность вероятности — это вероятность на единицу длины, иными словами, в то время как абсолютная вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо конкретное значение, равна 0 (поскольку изначально существует бесконечное множество возможных значений), значение PDF Для двух разных выборок можно использовать, чтобы в любом конкретном выборе случайной величины сделать вывод, насколько более вероятно, что случайная величина будет близка к одной выборке по сравнению с другой выборкой.

Точнее, PDF используется для указания вероятности случайной величины попадания в определенный диапазон значений , а не для принятия какого-либо одного значения. Эта вероятность определяется интегралом PDF этой переменной в этом диапазоне, то есть она определяется площадью под функцией плотности, но над горизонтальной осью и между самым низким и самым большим значениями диапазона. Функция плотности вероятности всюду неотрицательна, а площадь под всей кривой равна 1.

Термины «функция распределения вероятностей» и «функция вероятности» также иногда использовались для обозначения функции плотности вероятности. Однако такое использование не является стандартным среди вероятностников и статистиков. В других источниках «функция распределения вероятностей» может использоваться, когда распределение вероятностей определяется как функция по общим наборам значений, или оно может относиться к кумулятивной функции распределения , или это может быть функция массы вероятности (PMF), а не функция массы вероятности (PMF), а не функция распределения вероятностей. плотность. Сама «функция плотности» также используется для функции массы вероятности, что приводит к дальнейшей путанице. Однако в целом PMF используется в контексте дискретных случайных величин (случайных величин, которые принимают значения в счетном наборе), тогда как PDF используется в контексте непрерывных случайных величин.

Пример

Примеры четырех непрерывных функций плотности вероятности.

Предположим, бактерии определенного вида обычно живут от 20 до 30 часов. Вероятность того, что бактерия проживет ровно 5 часов, равна нулю. Многие бактерии живут примерно 5 часов, но нет шанса, что какая-либо бактерия погибнет ровно через 5 часов. Однако вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5,01 часа, поддается количественной оценке. Предположим, ответ равен 0,02 (т. е. 2%). Тогда вероятность того, что бактерия погибнет между 5 и 5,001 часами, должна быть около 0,087, поскольку этот временной интервал составляет одну десятую длины предыдущего. Вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5,0001 часа, должна составлять около 0,0087 и так далее.

В данном примере соотношение (вероятность проживания в течение интервала)/(продолжительность интервала) примерно постоянно и равно 2 в час (или 2 часа). ⁻¹ ). Например, существует вероятность 0,02 умереть в интервале 0,01 часа между 5 и 5,01 часами и (вероятность 0,02 / 0,01 часа) = 2 часа. ⁻¹ . Это количество 2 часа ⁻¹ называется плотностью вероятности смерти примерно через 5 часов. Следовательно, вероятность того, что бактерия погибнет через 5 часов, можно записать как (2 часа ⁻¹ ) дт . Это вероятность того, что бактерия погибнет в течение бесконечно малого промежутка времени около 5 часов, где dt — продолжительность этого окна. Например, вероятность того, что он проживет дольше 5 часов, но меньше (5 часов + 1 наносекунда), равна (2 часа ⁻¹ )×(1 наносекунда) ≈ 6 × 10 ⁻¹³ (с использованием перевода единиц 3,6 × 10 ¹² наносекунды = 1 час).

Существует функция плотности вероятности f с f (5 часов) = 2 часа. ⁻¹ . Интеграл . от f в любом временном окне (не только в бесконечно малых, но и в больших окнах) представляет собой вероятность того, что бактерия погибнет в этом окне

Абсолютно непрерывные одномерные распределения

Функция плотности вероятности чаще всего связана с абсолютно непрерывными одномерными распределениями . величина Случайная $X$ имеет плотность $f_{X}$, где $f_{X}$ является неотрицательной интегрируемой по Лебегу функцией, если: $$\Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.$$

Следовательно, если $F_{X}$ — распределения кумулятивная функция $X$, затем: $$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du,$$и (если $f_{X}$ является непрерывным в $x$) $$f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x).$$

Интуитивно можно подумать $f_{X}(x)\,dx$ как вероятность $X$ попадающий в бесконечно малый интервал $[x,x+dx]$.

Формальное определение

( Это определение можно распространить на любое распределение вероятностей, используя теоретико -мерное определение вероятности . )

величина Случайная $X$ со значениями в измеримом пространстве $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ (обычно $\mathbb {R} ^{n}$ с борелевскими множествами как измеримыми подмножествами) имеет в качестве распределения вероятностей меру X _∗ P на $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$: плотность ​ $X$ относительно эталонной меры $\mu$ на $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ – производная Радона–Никодима : $$f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.$$

То есть f — это любая измеримая функция, обладающая свойством: $$\Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu$$для любого измеримого множества $A\in {\mathcal {A}}.$

Обсуждение

В описанном выше случае непрерывной одномерной меры эталонной мерой является мера Лебега . Функция массы вероятности дискретной случайной величины — это плотность относительно меры подсчета в выборочном пространстве (обычно наборе целых чисел или некотором его подмножестве).

Невозможно определить плотность относительно произвольной меры (например, нельзя выбрать меру отсчета в качестве эталона для непрерывной случайной величины). Более того, когда она существует, плотность почти уникальна, а это означает, что любые две такие плотности совпадают почти везде .

Дополнительная информация

В отличие от вероятности, функция плотности вероятности может принимать значения больше единицы; например, непрерывное равномерное распределение на интервале [0, 1/2] имеет плотность вероятности f ( x ) = 2 для 0 ≤ x ≤ 1/2 и f ( x ) = 0 в других местах.

Стандартное нормальное распределение имеет плотность вероятности $$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}.$$

( если Если задана случайная величина X и ее распределение допускает функцию плотности вероятности ожидаемое значение существует ) f , то ожидаемое значение X можно рассчитать как $$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.$$

Не каждое распределение вероятностей имеет функцию плотности: распределения дискретных случайных величин ее не имеют; не делает этого и распределение Кантора , даже если оно не имеет дискретной компоненты, т. е. не приписывает положительную вероятность какой-либо отдельной точке.

Распределение имеет функцию плотности тогда и только тогда, когда его кумулятивная функция распределения F ( x ) непрерывна абсолютно . В этом случае: F дифференцируема почти всюду , и ее производную можно использовать в качестве плотности вероятности: $${\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).$$

Если распределение вероятностей допускает плотность, то вероятность каждого одноточечного набора { a } равна нулю; то же самое справедливо для конечных и счетных множеств.

Две плотности вероятности f и g представляют одно и то же распределение вероятностей , если они различаются только на множестве Лебега нулевой меры .

В области статистической физики неформальная переформулировка приведенного выше соотношения между производной кумулятивной функции распределения в качестве определения функции плотности вероятности обычно используется и функцией плотности вероятности. Это альтернативное определение следующее:

Если dt — бесконечно малое число, вероятность того, что X входит в интервал ( t , t + dt ) , равна f ( t ) dt , или: $$\Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.$$

Связь между дискретным и непрерывным распределениями

Некоторые дискретные случайные величины, а также случайные величины, включающие как непрерывную, так и дискретную часть, можно представить с помощью обобщенной функции плотности вероятности, используя дельта-функцию Дирака . (Это невозможно с функцией плотности вероятности в том смысле, который определен выше, это можно сделать с распределением .) Например, рассмотрим двоичную дискретную случайную величину, имеющую распределение Радемахера , то есть принимая в качестве значений -1 или 1, с вероятностью По 1 ⁄ 2 каждый. Плотность вероятности, связанная с этой переменной, равна: $$f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).$$

В более общем смысле, если дискретная переменная может принимать n различных значений среди действительных чисел, то соответствующая функция плотности вероятности имеет вид: $$f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),$$где $x_{1},\ldots ,x_{n}$ дискретные значения, доступные переменной и $p_{1},\ldots ,p_{n}$ — вероятности, связанные с этими значениями.

Это существенно унифицирует трактовку дискретных и непрерывных распределений вероятностей. Приведенное выше выражение позволяет определить статистические характеристики такой дискретной переменной (такие как среднее значение , дисперсия и эксцесс ), исходя из формул, данных для непрерывного распределения вероятности.

Семейства плотностей

Обычно функции плотности вероятности (и функции массы вероятности ) параметризуются, то есть характеризуются неуказанными параметрами . Например, нормальное распределение параметризуется с точки зрения среднего значения и дисперсии , обозначаемых как $\mu$ и $\sigma ^{2}$ соответственно, давая семейство плотностей $$f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.$$Разные значения параметров описывают разные распределения разных случайных величин на одном и том же выборочном пространстве (один и тот же набор всех возможных значений переменной); это выборочное пространство является областью семейства случайных величин, которые описывает это семейство распределений. Заданный набор параметров описывает одно распределение внутри семейства, имеющее функциональную форму плотности. С точки зрения данного распределения параметры являются константами, а члены функции плотности, которые содержат только параметры, но не переменные, являются частью коэффициента нормализации распределения (мультипликативный коэффициент, который гарантирует, что площадь под плотностью — вероятность того, что что-то произойдет в области, равна 1). Этот коэффициент нормализации находится за пределами ядра распределения.

Поскольку параметры являются постоянными, перепараметризация плотности с точки зрения других параметров, чтобы дать характеристику другой случайной величины в семействе, означает просто подстановку в формулу новых значений параметров вместо старых.

Плотности, связанные с несколькими переменными

Для непрерывных случайных величин X ₁ , ..., X _n также можно определить функцию плотности вероятности, связанную с набором в целом, часто называемую совместной функцией плотности вероятности . Эта функция плотности определяется как функция n переменных, такая, что для любой области D в n -мерном пространстве значений переменных X ₁ , ..., X _n вероятность того, что реализация набора область D переменные попадают в $$\Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.$$

Если F ( x ₁ , ..., x _n ) = Pr( X ₁ ≤ x ₁ , ..., X _n ≤ x _n ) является кумулятивной функцией распределения вектора ( X ₁ , ..., X _n ) , то совместную функцию плотности вероятности можно вычислить как частную производную $$f(x)=\left.{\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}\right|_{x}$$

Предельная плотность

Для i = 1, 2, ..., n пусть f _{X i} ( x _i ) будет функцией плотности вероятности, связанной только с переменной X _i . Это называется функцией предельной плотности, и ее можно вывести из плотности вероятности, связанной со случайными величинами X ₁ , ..., X _n, путем интегрирования по всем значениям других n - 1 переменных: $$f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.$$

Независимость

Непрерывные случайные величины X ₁ , ..., X _n, допускающие совместную плотность, независимы друг от друга тогда и только тогда, когда $$f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).$$

Следствие

Если совместную функцию плотности вероятности вектора из n случайных величин можно разложить в произведение n функций одной переменной $$f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),$$(где каждое f _i не обязательно является плотностью), тогда все n переменных в наборе независимы друг от друга, и предельная функция плотности вероятности каждой из них определяется выражением $$f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.$$

Пример

Этот элементарный пример иллюстрирует приведенное выше определение многомерных функций плотности вероятности в простом случае функции набора двух переменных. Давайте позвоним ${\vec {R}}$ двумерный случайный вектор координат ( X , Y ) : вероятность получить ${\vec {R}}$ в четверти плоскости x и y положительных $$\Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.$$

Функция случайных величин и замена переменных в функции плотности вероятности

Если функция плотности вероятности случайной величины (или вектора) X задана как f _X ( x ) , можно (но часто не обязательно; см. ниже) вычислить функцию плотности вероятности некоторой переменной Y = g ( X ) . Это также называется «заменой переменной» и на практике используется для генерации случайной величины произвольной формы f _{g ( X )} = f _Y с использованием известного (например, однородного) генератора случайных чисел.

Соблазнительно думать, что для того, чтобы найти ожидаемое значение ( g ( X )) нужно сначала найти плотность вероятности fg _{E ( X )} новой случайной величины Y = g ( X ) . Однако вместо вычислений $$\operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,$$вместо этого можно найти $$\operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.$$

Значения двух интегралов одинаковы во всех случаях, когда и X , и g ( X ) фактически имеют функции плотности вероятности. Не обязательно, чтобы g была взаимно однозначной функцией . В некоторых случаях последний интеграл вычисляется гораздо проще, чем первый. См. Закон бессознательного статистика .

Скаляр в скаляр

Позволять $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ будет монотонной функцией , то результирующая функция плотности будет равна $$f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.$$

Здесь г ⁻¹ обозначает обратную функцию .

Это следует из того, что вероятность, содержащаяся в дифференциальной области, должна быть инвариантной относительно замены переменных. То есть, $$\left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,$$или $$f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={\left|\left(g^{-1}\right)'(y)\right|}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.$$

Для функций, которые не являются монотонными, функция плотности вероятности для y равна $$\sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},$$где n ( y ) — количество решений по x для уравнения $g(x)=y$, и $g_{k}^{-1}(y)$ это решения.

Вектор в вектор

Предположим, что x — n -мерная случайная величина с плотностью соединений f . Если y = G ( x ) , где — биективная дифференцируемая функция , то y имеет плотность pY _G : $$p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right|$$с дифференциалом, рассматриваемым как якобиан обратного G (⋅) , оцененного в y .

Например, в двумерном случае x = ( x ₁ , x ₂ ) предположим, что преобразование G задается как y ₁ = G ₁ ( x ₁ , x ₂ ) , y ₂ = G ₂ ( x ₁ , x _{2 )} ) с обратными x ₁ = G ₁ ⁻¹ ( y1 , y2 ₂ ) , x2 ₂ = G_G2 ⁻¹ ( у ₁ , у ₂ ) . Совместное распределение для y = ( y ₁ , y ₂ ) имеет плотность $$p_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}G_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),G_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .$$

Вектор в скаляр

Позволять $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ быть дифференцируемой функцией и $X$ быть случайным вектором, принимающим значения в $\mathbb {R} ^{n}$, $f_{X}$ быть функцией плотности вероятности $X$ и $\delta (\cdot )$ быть дельта-функцией Дирака . Используя приведенные выше формулы, можно определить $f_{Y}$, функция плотности вероятности $Y=V(X)$, который будет задан $$f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .$$

Этот результат приводит к закону бессознательного статистика : $$\operatorname {E} _{Y}[Y]=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].$$

Доказательство:

Позволять $Z$ быть сжатой случайной величиной с функцией плотности вероятности $p_{Z}(z)=\delta (z)$ (т.е. константа, равная нулю). Пусть случайный вектор ${\tilde {X}}$ и преобразование $H$ быть определен как $$H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}.$$

Ясно, что $H$ является биективным отображением, а якобиан $H^{-1}$ дается: $${\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}},$$которая представляет собой верхнетреугольную матрицу с единицами на главной диагонали, поэтому ее определитель равен 1. Применяя теорему о замене переменной из предыдущего раздела, получаем, что $$f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )},$$которые, если их маргинализировать $x$ приводит к желаемой функции плотности вероятности.

Суммы независимых случайных величин

См. Также: Список сверток распределений вероятностей.

Функция плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин U и V , каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, представляет собой свертку их отдельных функций плотности: $$f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)$$

Предыдущее соотношение можно обобщить на сумму N независимых случайных величин с плотностями 1 _, ..., UN _: U $$f_{U_{1}+\cdots +U}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)$$

Это можно получить в результате двусторонней замены переменных, включающей Y = U + V и Z = V , аналогично примеру ниже для фактора независимых случайных величин.

Произведения и факторы независимых случайных величин

См. также: Распределение продуктов и Распределение соотношений.

Учитывая две независимые случайные величины U и V , каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, плотность произведения Y = UV и частного Y = U / V можно вычислить путем замены переменных.

Пример: распределение частных

Чтобы вычислить частное Y = U / V двух независимых случайных величин U и V , определите следующее преобразование: $${\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}$$

Затем плотность соединений p ( y , z ) можно вычислить путем замены переменных с U , V на Y , Z , а Y можно получить, исключив Z из плотности соединений.

Обратное преобразование $${\begin{aligned}U&=YZ\\V&=Z\end{aligned}}$$

Абсолютное значение матрицы Якоби определителя $J(U,V\mid Y,Z)$ этого преобразования: $$\left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}z&y\\0&1\end{bmatrix}}\right|=|z|.$$

Таким образом: $$p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.$$

А распределение Y можно вычислить, исключив Z : $$p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz$$

Этот метод критически требует, чтобы преобразование от U , V к Y , Z было биективным . Вышеупомянутое преобразование удовлетворяет этому требованию, поскольку Z можно напрямую отобразить обратно в V , и для данного V частное U / V является монотонным . То же самое относится и к сумме U + V , разности U − V и произведению UV .

Точно такой же метод можно использовать для вычисления распределения других функций от нескольких независимых случайных величин.

Пример: частное двух стандартных нормалей.

Учитывая две стандартные нормальные переменные U и V , частное можно вычислить следующим образом. Во-первых, переменные имеют следующие функции плотности: $${\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}$$

Трансформируем, как описано выше: $${\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}$$

Это приводит к: $${\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}$$

Это плотность стандартного распределения Коши .

См. также

• Оценка плотности - оценка ненаблюдаемой основной функции плотности вероятности.
• Оценка плотности ядра — страницы оценщика, отображающие краткие описания без пробелов.
• Функция правдоподобия - функция, связанная со статистикой и теорией вероятностей.
• Список вероятностных распределений
• Амплитуда вероятности - комплексное число, квадрат абсолютного значения которого является вероятностью.
• Функция массы вероятности - Распределение вероятностей дискретной переменной
• Вторичная мера
• используется В качестве плотности вероятности позиции :
  • Атомная орбиталь - функция, описывающая электрон в атоме.
  • Домашний ареал – территория, на которой животное живет и периодически перемещается.

Дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1979). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Торонто, Лондон: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-00710-2 .
• Казелла, Джордж ; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (второе изд.). Томсон Обучение. стр. 34–37. ISBN  0-534-24312-6 .
• Стирзакер, Дэвид (2003). Элементарная вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42028-8 . Главы с 7 по 9 посвящены непрерывным переменным.

Внешние ссылки

• Ушаков, Н.Г. (2001) [1994], «Плотность распределения вероятностей» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция плотности вероятности» . Математический мир .